周生贤-失败是成功之母的例子

逻辑推理案例分析
新疆骨干教师培训高中数学班 李国庆 王云霞 赵飞 裴庆庆

新一轮的课程改革即将轰轰烈烈的展开。对高中数学而言新的课程标准（初< br>稿）已经将数学核心素养提到了一个很显眼的位置。逻辑推理作为六大核心素养
之一是指从一些事 实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。
逻辑推理过程主要是根据一个或几个已知的判 断来推定一个新的判断的思
维过程。一般数学中的各种猜想，初步划分推理有合情推理和演绎推理，而合 情
推理又有归纳推理和类比推理。因为合情推理，是根据已有的事实，经过观察、
分析、比较、 联想，在进行归纳、类比，然后以猜想形式得出结论。如大家熟知
的哥德巴赫猜想、费马猜想、地图的“ 四色”猜想等等，就源于推理。这些猜想
主要应用归纳、类比推理发现新的事实，推得新的结论，不断促 进数学科学发展。
有些猜想甚至让数学家耗费了毕生心血。哥德巴赫猜想，就是如此。我国数学家
陈景润为其奋斗终生，也只是刚刚到了解决它的边缘，最终未能完成；而有些猜
想后来被人证明是错的 ，如费马猜想就被欧拉证明是错的。不论猜想是对是错，
都会促进数学科学向前发展。但这也只是能是猜 想而已，是对是错，是需要经过
严格的证明的。这往往有要利用演绎推理进行论证，合情推理和演绎推理 相辅相
成。

1.逻辑推理的结构分析
1.1逻辑推理在高中数学中的类型



归纳结论


归纳推理



归纳方法


合情推理
逻辑推理


类比结论





类比推理

类比方法



演绎推理

本文主要以归纳结论和类比结 论，演绎推理为主。
1.2高中阶段合情推理推理分类与评价方式
水平 探究 猜想
通过归纳
猜想出一
个一般性
的结论
非正式解释
条理清晰的
对自己得到
的结论进行
解释
判断论据
要证明此结论
的正确性需要
借助的定理和
方法
证明与论证
用已有的定
理、公理，
证明结论的
正确性
观察、分析
归纳此类事物具
推理 有的共同特
征

分析比较两通过类比
类比
类事件的相得出结论
推理
同点和不同
点
条理清晰的
对自己得到
的结论进行
解释
要证明此结论
的正确性需要
借助的定理和
方法
用实验或已
有的定理证
明结论的正
确性

1.3高中阶段演绎推理分类与评价方式
水平
演绎推理
分析小前提 寻找大前提 推理论证
根据题目的已知，根据小前提寻找经过推理规则进
要求证对象，找出所 有可能需要的行严格的论证
小前提 大前提
2.高中数学逻辑推理的教学案例分析
2.1归纳推理
2.1.1概念：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征
的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳
推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
2.1.2例题分析
例1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc

。
sinAsinBsinC
分析：
(1).探究
在直角三角形中，有
sinA
ab
,sinB< br>，由两式中都有
c
，可变形得到
cc

ab
c< br>，而
C
，
sinC1
，从形式的对称性，美观角度可以写为2
sinAsinB
abc

。
sinAsinBsinC
大家可以看出在直角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。那么，在锐角
三角形，钝角三 角形中是否也存在着此关系呢？
在锐角三角形中选取特例等边三角形，显然满足此关系。
在钝角三角形中选取顶角为
2

的等腰三角形，也满足此关系。
3
由此，可以进行归纳猜想推广到一般情形。
(2).猜想

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc

。
sinAsinBsinC
(3).非正式解释
对于任意一个三角形都可测量其边长和内角，然后求出三边与对应内角正弦之比
为同一常数。
(4).判断论据
对于上式当中都有边和角的正弦，可以联想到三角形的面积公式
S
ABC

111
absinCbcsinAacsinB
。
222
(5).证明与论证
利用演绎推理的方法来证明
.分析小前提 ：已知三角形三边和三内角，配合结论可以看出是证明三角形三
边与对分析应内角正弦之关系，因此大前 提可找与此相关的结论，定理。
.寻找大前提：一个三角角形的面积是确定的，与结论相关的面积求 法有
S
ABC

111
absinCbcsinAacsin B
。
222
.推理论证：
证明：在
ABC
中， < br>
S
ABC

111
absinCbcsinAacs inB
222

111
absinCbcsinAbcsinB
22 2

abcabcabc
sinCsinAsinB


cab
即：

abc

证毕
sinAsinBsinC
2.1.3归纳推理的几个特点;
(1).归纳是依据特 殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所
包容的范围.
(2).归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具
有猜测性.
(3).归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上。
2.1.4归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶ 检验猜想。
2.2类比推理
2.2.1概念：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象
也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.2.2例题分析
例2：定理：直径所对的圆周角为直角。
转化：经过圆心的任 意弦的两端点与圆上任意一点的（出这两个端点外）的连线
斜率之积为定值-1.
利用类比猜 想：有心圆锥曲线经过中心的任意弦的两端点与曲线上任意一点的
（除去这两个端点外）的连线斜率之积 为定值.
有心圆锥曲线：椭圆和双曲线
分析：
（1）探究
圆与有心圆 锥曲线的共同点：都有中心，是中心对称图形，并且都是轴对称图形，
它们都有弦，且均为二次曲线。
圆与有心圆锥曲线的不同点：圆不存在离心率，无准线；而有心圆锥曲线存在离
心率，有准线。
通过共同点进行类比猜想。
（2）猜想
有心圆锥曲线经过中心的任意弦的两端点与 曲线上任意一点的（除去这两个端点
外）的连线斜率之积为定值.
（3）非正式解释
利用有心圆锥曲的中心对称性和轴对称性可知，任意弦的两端点与曲线上任意一
点的（除去这两个端点 外）的连线所成的的角，他们可能在某两个或某四个位置
所成的角都相等。
（4）判断论据
利用斜率计算。
（5）证明与论证
利用演绎推理的方法来证明（以椭圆为例）
x
2
y
2
.分析小前提：已知椭圆方程
2
2

1(
ab
0),
配合结论可看出该问题与弦
a b
的斜率有关。

.寻找大前提：直线存在斜率的都可计算斜率。
.推理论证：
x
2
y
2
证明：设椭圆方程为
2

2
1(ab0),
在椭圆上任取一点
P(x,y)
，
ab
过中心的弦与椭圆的一个交点设为
A(x
0
,y
0
)
，有中心对称性可知另一交点为
B(x
0
,y
0)
，则
k
PA

yy
0
(x
x x
0
x
0
)
，
k
PB

2
yy
0
(x
x
0
)
，
xx
0
k
PA
k
PB
y
0
yy
0
y y
0
，
2
2
2
xx
0
xx< br>0
x
x
0
y
2

22
x
2
y
2
由于点
P(x,y)
在椭圆上，所以满足椭圆方程为
2

2
1(ab0),

ab
xy< br>由于点
A(x
0
,y
0
)
在椭圆上，所以满足椭圆方 程为
0
2

0
2
1(ab0),

ab
由-得：
x
x
0
2
2
a
2

y
b
2
2
y
2
0
0< br>，变形得：
y
2
2
2
b
2
2
2
y

2
(x
x
0
)

0
a
2
所以有：
k
PA
k
PB
2
yy
0
yy
0
y
y
0
b
(定值)< br>证毕。

2

22
xx
0
xx
0
x
x
0
a
通过演绎推理证明，发现猜想是错误的，需要 加强条件才能保证结论的正确性。
修正为：有心圆锥曲线经过中心的任意弦的两端点与曲线上任意一点 的（除去这
两个端点外及这两点关于椭圆对称轴的对称点）的连线斜率之积为定值.
双曲线可类比此法证明。
2.2.3类比推理的几个特点：
(1).类比是从人们 已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以
旧有的认识为基础,类比出新的结果.
(2).类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性。
(3).类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能。
2.2.4类比推理的一般步骤:
(1).找出两类对象之间可以确切表述的相似特征
(2).用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想
(3).检测猜想
2.3.演绎推理
2.3.1概念：从一般性的原理出发，推出 某个特殊情况下的结论，我们把这种推

理称为演绎推理。
2.3.2例题分析
前面例1，例2的论证方法都是采用了演绎推理，如例1，例2当中（5 ）
推理与论证，因此本文不再单独举例。
2.3.3要点：由一般到特殊的推理。
2.3.4演绎推理的一般模式：
第一段：大前提——已知的一般原理；
第二段：小前提——所研究的特殊情况；
第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
数学具有严谨逻辑性的特点,逻辑推理能力应该是学生必须具有的基本数学
能力之一。 数学研究中合情 推理，是数学证明的前提。只有对数学问题的猜想，
才会激发学生解决问题的兴的趣，启迪学生的创造思 维，从而发现问题、解决问
题。它也是在已有数学知识和数学事实的基础上，对求知量及其规律做出的似 真
判断，是科学假说在数学的体现，它一旦得到论证便上升为数学理论。合情推理
是逻辑推理的 前奏，逻辑推理是合情推理的升华；逻辑推理能力越强，合情推理
就越活跃，推理结果也越可靠，因此也 可以说逻辑推理是合情推理的基础，两者
相辅相成，互相补充，缺一不可。在高中数学教学中，许多命题 的发现、性质的
得出、思路的形成和方法的创造，都可以通过数学猜想而得到。通过猜想不仅有
利于学生牢固地掌握知识，也有利于培养他们的推理能力。引导学生把这些已有
的知识和资料进行分析、 逻辑、推理，也就培养了学生的推理能力。