南京科技馆-关于孔子的歇后语

选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理(3课时)
第一课时 2.1.1 合情推理（一）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理 ，体会并认识归纳
推理在数学发现中的作用.
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两
个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，
我 国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为
“1 +2”.
2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对
F
0
2
2
13
，
F
1
2
2
15
，
F
2
2
2
2
01
117
，
F
3
2
2
1257
，
F
4
2
2
165537
的观察，发现其结果都是素数 ，于是提出猜想：
n
34
对所有的自然数
n
，任何形如
F< br>n
2
2
1
的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现
F
5
2
2
5
142949672976416700417
不是素数，推翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发
现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色 ，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色
猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国 数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电
子计算机上，用1200个小时，作了100亿 逻辑判断，完成证明.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由某类事物 的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者
由个别事实概括出一般 结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的
推理.
② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(i ii)观察等式：
1342
2
,13593
2
,1 3579164
2
，能得出怎样的结论？
③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2. 教学例题：
① 出示例题 ：已知数列

a
n

的第1项
a
1
2< br>，且
a
n1

a
n
1a
n
(n 1,2,

)
，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想
a
n
→如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

- 1 -

② 思考：证得某命题在n＝n
0
时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也 成立. 由
这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
③ 练习：已知
f(1)0,af(n)bf(n1)1,

n2,a0,b0
，推测
f(n)
的表达式.
3. 小结： ①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通
项公式的 归纳.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P
87
1、2题. 2. 作业：教材P
93
习题A组 1、2、3题.

第二课时 2.1.1 合情推理（二）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归 纳和类比等进行简单的推理，体会并
认识合情推理在数学发现中的作用.
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知
a
i
0(i1,2,,n)
，考察下列式 子：
(i)a
1

(iii)(a
1
a
2
a
3
)(
1
a
1

1
a
2< br>
1
a
3
)9
1
a
1
1
；
(ii)(a
1
a
2
)(
1
a
1< br>
1
a
2
)4
；
. 我们可以归纳出，对
a
1
,a
2
,,a
n
也成立的类似不等式为 .
1
2. 猜想数列
1
13
,
1
3557< br>,
1
,
79
,

的通项公式是 .
3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命， 火星与地
球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合 生物生存，
科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特
征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
② 类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
2. 教学例题：
① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度 实数的加法 实数的乘法

- 2 -

运算结果
运算律
若
a,bR,
则
abR

abba
( ab)ca(bc)
若
a,bR,
则
abR

abba
(ab)ca(bc)

逆运算
加法的逆运算是减 法，使得方
程
ax0
有唯一解
xa

乘法的逆运算 是除法，使得
方程
ax1
有唯一解
x
a11

1
a

单位元
a0a

② 出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角 形中，
C90
0
，3条边的长度
a,b,c
，2条直角边
a,b
和1条斜边
c
；
→3个面两两垂直的四面体中，
PDF PDEEDF90
0
，4个面的面积
S
1
,S
2
,S
3
和
S

3个“直角面”
S
1
,S
2
,S
3
和1个“斜面”
S
. → 拓展：三角形到四面体的类比.
3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分 析、比较、联想，再进行归纳、类比，
然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
三、巩固练习：1. 练习：教材P
87
3题. 2. 探究：教材P
84
例4 3.作业：P
93
4、5题.

第三课时 2.1.2 演绎推理
教学要求：结合已学过的数学实例和生活 中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，
并能运用它们进行一些简单的推理。.
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)
2
的大小关系？
②在平面内，若
ac,bc
，则
ab
. 类比到空间，你会得到什么结论 ？（结论：在空间中，若
ac,bc
，
则
ab
；或在空间中，若



,



,则



.
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

- 3 -

合情推理


归纳推理：由特殊到一般
< br>类比推理：由特殊到特殊
；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察教材P
88
引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所 研究的
特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题：
① 出示例1：证明函数f(x)x
2
2x
在

,1

上 是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
② 出示例2：在锐角三角形ABC中，
ADBC,BEAC
，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E
的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
③ 讨论：因为指数函数
ya
x
是增 函数，
y()
x
是指数函数，则结论是什么？
2
1
（结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）
④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3. 比 较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证
合情 推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
三、巩固练习：1. 练习：P
91
2、3题 2. 探究：P
91
阅读与思考 3.作业：P
93
6题，B组1题.


- 4 -