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[中国高考数学母题一千题]
(第0001号)
愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:)
三法巧解逻辑推理题
逻辑推理题的三种解法

逻辑推理题最早是数学游戏,后出现在数学竞赛中; 近年来,在国家公务员考试和事业单位行测考试中,逻辑推理题是
必考的题型;与时俱进,自2014年 起课标高考数学试题中开始出现逻辑推理题,并成为课标高考数学试题的亮点.
[母题结构]:
逻辑推理问题主要是由一些相互联系的条件组成,解决过程中推理性极强且不需要太多数学知识的问题. [解题方法]:
解答逻辑推理问题,要从题设条件出发,利用它们的相互联系,根据相关逻辑知识分 析推理,排除不可能的
情况,从而得出正确的结论;常用方法有:直接推理法、枚举筛选法和表格辅助法 .

1.直接推理法

子题类型Ⅰ:
(2014年课标 Ⅰ高考试题)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市
比乙多, 但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .
[解析]:
由丙说:我们三人去过同一个城市,甲说:没去过B城市,乙说:我没去过C城 市

三人只可能同去A市

乙去过
A市;若乙去过B市,则乙去过2 市=甲去过的城市数,与甲说:“我去过的城市比乙多”矛盾.故乙去过的城市只有A市.
[点评]:
对于一些简单的逻辑推理问题,往往只需以似真推理为主,直接通过分析就可以得出正确的结果.用这种 方法解
决此类试题,或“真假话”问题尤为有效.

2.枚举筛选法

子题类型Ⅱ:
(2014年福建高考理科试题)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4 },且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d
≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的 有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
[解析]:
根据①a=1;②b ≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,枚举筛选如下:❶若①a=1正确,则②b≠1错误

b=1,
矛盾;❷若②b≠1正确,则①a=1;③c=2;④d≠4错误

a≠1,c≠2,d=4

c=1

(a,b,c,d)=(2,3,1, 4),(3,2,1,4);❸若
③c=2正确,则①a=1;②b≠1;④d≠4错误
a≠1,b=1,d=4

a=3

(a,b,c,d)=(3,1,2 ,4);❹若④d≠4正确,则①a=1;②
b≠1;③c=2错误

a≠1,b=1 ,c≠2

(a,b,c,d)=(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3, 2).综上,(a,b,c,d)的个数是6.
[点评]:
穷举推理是将问题不重复、不遗漏 的有限种情况全部列举出来,然后对各种情况一一枚举,逐个检验,淘汰非解 ,
最终达到解决整个问题的目的.

3.表格辅助法

< br>子题类型Ⅲ:
(2007年武汉大学自主招生数学试题)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四 位客人同时参加一个国
际会议.他们除了懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言 是三个人都会说的,但没有一种语言人人
都懂.现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交 谈;②四个人中,没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交
谈;③乙不会说英语,当甲与丙交谈时他都 能做翻译;④乙、丙、丁交谈时,
找不到共同语言沟通.由上述可知,丁会说的两种语言是 .
[解析]:
由①知:甲是日本人;由②知:甲只能会英、德两种语言中的一种;(Ⅰ)若
甲会英语,则由①知,丁会英语

丁不是英国人,但丁会英语,或丁是英国人.⑴若
丁不是英国人,但丁会英语,由③知,乙也不是英国人

丙是英国人,此时甲、丙均
会英语,由③知,乙会日语,与④矛盾;⑵若丁是英国人,由③知:乙会日语,由②知:不法语

乙是法国人,且会日语

丙
是德国人,由③知:乙会德语,与大前提矛盾; (Ⅱ)若甲会德语,则不会英、法语,由①知,丁会德语,由③知,乙会德语

丙
不会 德语

丙不是德国人

乙是德国人,丙是法国人,丁是英国人,由此得上表, 丁会说的两种语言是英、德语.
[点评]:
逻辑推理问题中,有时会涉及很多对象,每个对象 又有几种不同情况,同时还给出不同对象之间不同情况的判断,
要求推出确定的结论.对于这类问题,通 常可以利用表格把本来凌乱的信息集中整理出来,方便推理.

4.子题系列:

1.(2014年重庆福建文科试题)己知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个 关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则
100a+10b+c等于 .
2.(2007年武汉大学自主招生数学试题)某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁个四人涉嫌被拘审, 四人的口供如下:甲:作案的是
丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是 我.如果四人口供中只有一个是假的,那么以下判断正
确的是( )(A)说假话的是甲,作案的是乙 (B)说假话的是丁,作案的是丙和丁
(C)说假话的是乙,作案的是丙 (D)说假话的是丙,作案的是丙
3.(2009年上海交通大学保送生考试试题)某珠宝店丢失了一 件珍贵珠宝,以下四人只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.
甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小 偷;丁:我没有偷.则说真话的是 ,偷珠宝的是 .
4.(20 07年武汉大学自主招生数学试题)运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中1人得金牌、1人得银 牌、1
人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”,结果王老师只猜对了一人,那 么,甲、乙、丙分别获得
牌.
5.(2005年第十六届希望杯数学 邀请赛试题)甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛,其中有一人获奖,有人走访了四位同
学,甲说:“ 我获奖”;乙说:“甲、丙未获奖”;丙说:“甲或乙获奖”;丁说:“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的 ,
则获奖的同学是 .
6.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛试题)某 学校组织学生参观a,b,c,d四处,规定:去a就不去b;去b就去d;去c就
不去d;不去c就去 b.则下列判断中,错误的是( )
(A)不可能去b又去c (B)去b的人与去c的人相同 (C)去a的人就去c (D)去d的人就去a
7.(2016年全国高中数学联赛吉林预赛试题)某次英语竞赛后,小明、小 乐和小强分列前三名.老师猜测:“小明第一名,小
乐不是第一名,小强不是第三名”.结果老师只猜对 了一个.由此推断:前三名依次是 .
8.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛 试题)四个学生参加一次数学竞赛每人预测获奖情况如下:甲:‘如果乙获奖,那么
我就没获奖’;乙: ‘甲没有获奖,丁也没有获奖’;丙:‘甲获奖或者乙获奖’;丁:‘如果丙没有获奖,那么乙获奖’.竞赛结果实际有1人获奖,且4个的预测中恰有3人正确,则获奖者是 .
9.(201 6年高考全国甲卷试题)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看 了乙的卡片
后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同 的数字不是1”,丙说:“我的
卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .

4.子题详解:

1.解:若a≠2,则b≠2,c=0,矛盾;若b =2,则a=2,c=0,矛盾;若c≠0,则a=2,b≠2

c=1,b=0
< br>100a+10b+c=201.
2.解:①若说假话的是甲,则由乙:丁是作案者与丁:作案 的不是我,矛盾;②若说假话的是乙,则由甲:作案的是丙;又由丙:
如果我作案,那么丁是主犯;与丁 :作案的不是我,矛盾;③若说假话的是丙,则由乙:丁是作案者与丁:作案的不是我,矛盾;
④若说假 话的是丁,则丁是作案者,由甲:作案的是丙

作案的是丙和丁,由丁是主犯.故选(B).
3.解:①若甲说真话,则由丁:“我没有偷”说假话

丁是小偷

丙:“丁是小偷”说真话,矛盾;②若乙说真话,则丙是小
偷

丁:“我没有偷”说真 话,矛盾;③若丙说真话,则丁是小偷

甲:“我没有偷”说真话,矛盾;④若丁说真话,则甲 :“我
没有偷”

说假话

甲是小偷.
4.解:①若“甲 得金牌”对

“乙不得金牌”也对,与大前提“王老师只猜对了一人”,矛盾;②若“乙不得金 牌”对,则
由大前提知:“甲得金牌”与“丙不得铜牌”均错

甲不得金牌,丙得铜牌 ,则无人金牌,矛盾;③若“丙不得铜牌”对,
则由大前提知:“甲得金牌”与“乙不得金牌”均错
甲不得金牌,乙得金牌

甲得铜牌,乙得金牌,丙得银牌.
5.解: ①若甲说:“我获奖”对

乙、丁错,丙对,符合题意;②若乙说:“甲、丙未获奖”对

甲错,此时丙与丁等价,无
论同真假均与大前提矛盾;③若丙说:“甲或乙获奖”对,若乙 获奖

乙、丁对,与大前提矛盾;④若丁说:“乙获奖”对

乙、丙对,与大 前提矛盾.
6.解:由“不去c就去b”知:b,c至少去其一.①去b,不去c

去d,不去a;(D)错;②去c,不去b

不去d,去a;(C)对;
③去b,c< br>
去d,不去a;(A)对.故选(D).
7.解:答小乐、小强、小明;
8.解:如果获奖者是甲,则甲、丙正确,乙、丁错,不合实际; 如果获奖者是乙,,则甲、乙、丙、 丁都正确,不合实际;如果
获奖者是丙,则甲、乙、丁正确,丙错,合实际;如果获奖者是丁,则甲正确 ,乙、丙、丁错,不合实际.故获奖者是丙.
9.解:根据甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲和 乙可能是1和2,1和3,或者1和3,2和3;乙与丙的卡片上相同
的数字不是1,知乙与丙可能是 1和2,2和3,或者1和3,2和3;由于丙的卡片上的数字之和不是5,知丙的卡片为1和2,
或1 和3;若丙为1和3,则乙的卡片是2和3,甲的卡片是1和3,不符题意;若丙为1和2,则乙的卡片是2和3 ,甲的卡片
是1和3,满足条件.答案为1和3.