台湾直播国庆阅兵-小蝌蚪找妈妈教学反思

合情推理
1：与代数式有关的推理问题
a
2
b
2


ab

ab

,
例1、观察
ab

ab

aabb
332
a
4
b
4



ab


a
3
2

进而猜想
a
n
b
n
< br>
3
a
2
bab
2
b3

练习:观察下列等式：
12
3
3
2
，
1
3
2
3
3
3
6
2
，1
3
2
3
3
3
4
3
102
，…，根据上述规律，第五个
．．．
等式为 。 ．．
解析：
第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的 平方所以第五个
．．．
3333332
12345621
等式为
。
．．
2：与三角函数有关的推理问题
例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。
3
,
2
3
sin
2
60
0
sin
2
120
0
s in
2
180
0


2
3
sin
2
45
0
sin
2
105
0
sin
2
165
0
,
2
3
sin
2
15
0
sin
2
75
0
sin
2
135
0

2
sin
2
30
0
sin
2
90
0
sin
2
150
0

练习：观察下列等式 ：
① cos2α=2 cos α－1；
42
② cos 4α=8 cos α－8 cos α+1；
6 42
③ cos 6α=32 cosα－48 cos α＋18 cos α－1；
86 42
④ cos 8α= 128 cosα－256cosα＋160 cos α－32 cos α＋1；
1086 42
⑤ cos 10α=mcosα－1280 cosα＋1120cosα＋ncos α＋p cos α－1；
可以推测，m－n+p= .
答案：962
2
3：与不等式有关的推理
例1、观察下列式子：
13115
1 
1

1

1

7
,
1
2

，
1
2

2
,
2
2< br>3
2
4
2
4
由上可得出一般的结论为： 。
22233
.............
答案：
1
1112n 1
......,
222
23(n1)n1

练习、由
331441551
。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。
,,
221331441

4：与数列有关的推理 < br>例1、已知数列
{a
n
}
中，
a
1
=1，当 n≥2时，
a
n
2a
n1
1
，依次计算数列的后几项 ，猜想数列的一个通
项表达式为： 。
例2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：




1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
按照以上排列的规律，第
n
行（
n3
）从左向右的第3个数为
例3、（2010深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个 第二十九届北京奥运
会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
n
个图形包 含
………………
f(n)
个“福娃迎迎”，则
f(5)
；
f(n)f(n1)
.





例4、等差数列
{a
n
}
中，若
a
10
= 0则等式
a
1
a
2
...........a
n立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若
b
10
练习：设等差数列

a
n

前n项和为
s
n
，则
s
3
,s
6
a
1
a
2
........... a
19n
(n19,nN

)
成
1
，则 有等式 。
s
3
,s
9
s
6
,s
12
s
9
成等差数列。类比以
T
12,
成等比数列。
T
9
上结论：设等比数列

b
n

前n项积为
T
n
，则
T
3
,
, ，
6：与立体几何有关的推理
例 1、在平面几何中有命题“ 正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似
的命题是什么？

合情推理练习题
一、选择题
1．下列表述正确的是 ( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤
2．数列
2,5,11,20,x,47,
…中的
x
等于（ ）
A．
28
B．
32
C．
33
D．
27

3．下面使用类比推理恰当的是 ( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
a＋b
ab
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“
c
＝
c
＋
c
”
a＋b
ab
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“
c
＝
c
＋
c
(c≠0)”
D．“

ab< br>
a
n
b
n
”类推出“

ab

a
n
b
n
”
b＋m
b75981394．由
10
＞
8
，
11
＞
10
，25
＞
21
，…若a＞b＞0且m＞0，则与之间大小关系为( )
a＋m
a
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
… … …
A．809 B．852 C．786 D．893

nn
6.数列

a
n

的前n项和为
S
n
，且
a
1
1, S
n
n
2
a
n

nN
*
，试归纳猜想出
S
n
的表达式为（ ）
2n2n12n12n
B、 C、 D、
n1n1n1n2
二、填空题
3
1．已知：
sin
2
30

sin
2
90

sin2
150


，
2
3
sin
25

sin
2
65

sin
2
1 25


，
2

sin
2
18
o
sin
2
78
o
sin
2
138< br>o

3
，
2
通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题： _______________________

A、

2．(2012·陕西高考)观察下列不等式
131151117
1＋
2
2
<
2
， 1＋
2
2
＋
3
2
<
3
， 1＋2
2
＋
3
2
＋
4
2
<
4 ……
照此规律，第五个不等式为________________________ ____________．
3．(2011·陕西高考)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为____________________．
4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
则第9行第4个数是 ________
第1行
第2行
第3行
…
三、解答题
1．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin
2
13°＋cos
2
17°－sin 13°cos 17°；
(2)sin
2
15°＋cos
2
15°－sin 15°cos 15°；
(3)sin
2
18°＋cos
2
12°－sin 18°cos 12°；
(4)sin
2
(－18°)＋cos
2
48°－sin (－18°)cos 48°；
(5)sin
2
(－25°)＋cos
2< br>55°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．
2．定义“等和数列”：在 一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么
这个数列叫做等和数列，这个常数叫做 该数列的公和．已知数列{a
n
}是等和数列，且a
1
＝2，
公和为 5.
(1)求a
18
的值；
(2)求该数列的前
n
项和
S
n
.

1
2 3
4 5 6 7
…

演绎推理
1．定义
根据一般性的真命题或逻辑规则，导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．即从 一
般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理形式．
它的特征是：当前提为真时，结论必然为真．
2．三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式
(1)三段论的结构：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论
—根 据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)“三段论”的表示：①大前提—M是P；②小前提—S是M；③结论—S是P．
(3) 三段论的依据：用集合观点来看就是：①若集合M的所有元素都具有性质P，②S是
M的一个子集；③那 么S中所有元素也都具有性质P.
想一想：(1)“三段论”就是演绎推理吗？
(2)在演绎推理中，如果大前提正确，那么结论一定正确吗？为什么？
(3)正弦函数是奇 函数，f(x)＝sin(x
2
＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x
2＋1)是奇函数．以
上推理中，“三段论”中的________是错误的．
(1)解析：不是．三段论是演绎推理的一般模式．
(2)解析：不一定正确．只有大前提和小前提及推理形式都正确，其结论才是正确的．
(3)解析：小前提错误，因为f(x)＝sin(x
2
＋1)不是正弦函数． 1.有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a
2
>0”， 结论显然是
错误的，是因为( )
A.大前提错误
C.推理形式错误








B.小前提错误
D.非以上错误
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的.
2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E，F为AB，AC的中点
∥BC
【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.

3.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在( a，b)内，
f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x
3
在(-1，1)内可导且单 调递增，所以在(-1，1)内，f′(x)=3x
2
>0
恒成立.以上推理中( )[来源:]
A.大前提错误
C.结论正确








B.小前提错误
D.推理形式错误
【解析】选A.因为对于可导函数f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)>0对 x∈(a，
b)恒成立，应该是f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误.
4.以下推理过程省略的大前提为： .
因为a
2
+b
2
≥2ab，
所以2(a
2
+b
2
)≥a
2
+b
2
+2ab.
【解析】由 小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a
2
+b
2
，故大前提为： 若a≥b，
则a+c≥b+c.
答案：若a≥b，则a+c≥b+c
5. “π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是( )
A.实数分为有理数和无理数 B.π不是有理数
C.无理数都是无限不循环小数 D.有理数都是有限循环小数
【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是
无限不循 环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环
小数.
6.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提
北京大学是中国的大学…小前提
所以北京大学分布在全国各地.…结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的 大学”它表示中国的所有大学，而小前
提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者 是两个不同的概念，故推理
形式错误.

(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.
7.设数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，且满足a
n
=3-2S
n
(n ∈N
*
).
(1)求a
1
，a
2
，a
3
，a
4
的值并猜想a
n
的表达式.
(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{a
n
}是等比数列.
【解析 】(1)因为a
n
=3-2S
n
，所以a
1
=3-2S1
=3-2a
1
，解得a
1
=1，
同理a
2
=，a
3
=，a
4
=，…猜想a
n
=.
(2)大前提：数列{a
n
}，若=q，q是非零常数，则数列{a
n
}是等 比数列.
小前提：由a
n
=















，又=，结论：数列{a
n
}是等比数列.

合情推理 随堂练习答案
选择题1—5：DBCBA 6： A

一、
填空题1.
sin
2
(

 60
o
)sin
2

sin
2
(
< br>60
o
)
1111111
2. 答案：1＋
2
2
＋
3
2
＋
4
2
＋
5
2
＋
6
2
<
6

解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数 平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的
1111
差除以项数，即1＋
2
2< br>＋
3
2
＋
4
2
＋
5
2
＋… ＋

1111111
第五个不等式为1＋
2
2＋
3
2
＋
4
2
＋
5
2
＋6
2
<
6
.
3. n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)
2

解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；
每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.
所以第n行数依次是n、 n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)
＝(2n－1 )
2
.
4.259
三、解答题
1. 解：(1)选择(2)式，计算如下：
113
sin
2
15°＋cos
2
15°－sin 15°cos 15°＝1－
2
sin 30°＝1－
4
＝
4
.
3
(2)三角恒等式为sin2
α＋cos
2
(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝
4
.
2.解：(1)由等和数列的定义，数列{an
}是等和数列，且a
1
＝2，公和为5， 易知a
2n－1< br>＝
2，a
2n
＝3(n＝1,2…)，故a
18
＝3. 5
(2)当n为偶数时，S
n
＝a
1
＋a
2
＋ …＋a
n
＝(a
1
＋a
3
＋…＋a
n－1
)＋(a
2
＋a
4
＋…＋a
n
)＝
2
n；
551
当n为奇数时，S
n
＝S
n－1
＋a
n＝
2
(n－1)＋2＝
2
n－
2
.
3
.

2
1

n1

2

2n1
(n∈N
*
，n≥2)，所以
n1

< br>

综上所述：
S
＝

51

< br>2
n
－
2
，
n
为奇数.
n
5
n
，
n
为偶数，
2