文科综合-给某某的信

精品文档
第十七章 推理与证明
★知识网络★

归纳
合情推理
推
理
类比
演绎推理
数学归纳法
直接证明 综合法
分析法

推
理
与
证
明
1.推理
根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.
从结构上说,推理一般 由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已
知推出的判断,叫结论.
2、合情推理:
根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出的推理叫合情
推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理 ：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特
征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由
个别到一般的推理
（2）类比 推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另
一类对象也具有这些特 征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:
从一般性的原理出发 ，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是
由一般到特殊的推理。三段论是演 绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原
理；（2）小前提--- 所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
重点:会用合情推理提出 猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与
联系
精品文档

证
明

间接证明 反证法

第1讲 合情推理和演绎推理
★知识梳理★

★重难点突破★

精品文档
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性
问题1：观察：
715211
；
5.516.5211
；
33193211
；….
对于任意正实数
a,b
，试写出使
ab211
成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故
ab22

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征
问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点 作一直线与抛物线交于
A
、
B
两点，则当
AB
与
抛 物线的对称轴垂直时，
AB
的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．
点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之 一，答案可以填：过椭圆的焦点作一
2b
2
直线与椭圆交于
A
、B
两点，则当
AB
与椭圆的长轴垂直时，
AB
的长度最短（|AB|
2
）
a
3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理
问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=
点拨：“大前提”是在
(,x]
找最大整数，所以[-2.1]=-3
★热点考点题型探析★
考点1 合情推理
题型1 用归纳推理发现规律
[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
33
202020
；
sin30sin90sin150
；
2
2
33
sin
2
45
0
sin
2
105< br>0
sin
2
165
0

；
sin
2
60
0
sin
2
120
0
sin
2
180
0


2
2
sin
2
15
0
sin
2
75
0
sin
2
135< br>0

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察 角的“共性”
[解析]猜想：
sin(

60)sin
< br>sin(

60)
0022
20220
3
< br>2
002
证明：左边=
(sin

cos60cos

sin60)sin

(sin

cos60cos
sin60)

=
33
(sin
2

cos
2

)
=右边
22
【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式： 一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”
（周期性）
[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
精品文档

精品文档
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
f(n)
表示第
n幅图的蜂巢总数.则
f(4)
=_____;
f(n)
=_______ ____.
【解题思路】找出
f(n)f(n1)
的关系式
[解析 ]
f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)1612183 7

f(n)1612186(n1)3n
2
3n1

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
【新题导练】
1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于
2
的自然数
m
的< br>n
次方幂有如下分解方式：
2
2
13

3
2
135

4
2
1357

2
3
35

3
3
7911

4
3
13151719

3*
2
根据上述分解规律，则
513579
, 若
m(mN)
的分解中最小的数是73，则
m
的
值为___ .
[解析]
m
的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，
mm1
，…，
由
mm173
得
m9

2. (2010惠州调研二理)函数
f(x)
由下表定义：
2
32
x



2

5


3

1
4


4
5
f(x)

12

3




若
a
0
5
，
a
n1f(a
n
)
，
n0,1,2,
，则
a
20 07

4 ．
[解析]
a
0
5
，
a
1
2
，
a
2
1
，
a
3
4
，
a4
5,
，
a
n4
a
n
，
a
2007
a
3
4

点评：本题为循环型
3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北< br>京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
n
个图形包含
f( n)
个“福娃迎迎”，
则
f(5)
；
f(n)f(n1)
．（答案用数字或
n
的解析式表示）

[解析]
f(5)41,f(n)f(n1)4(n1)

4. (2008揭阳一模)
设
f
0
(x)cosx,f
1
( x)f
0
'(x),f
2
(x)f
1
'(x),
则
f
2008
(x)
=（ ）
A.
sinx
B.
cosx
C.
sinx
D.
cosx

精品文档
,f
n1
(x)f
n
'(x)
,
nN

,

精品文档
[解析]
f
0
(x)cosx
，
f
1
(x)sinx
，
f
2
(x)co sx
，
f
3
(x)sinx
，
f
4
(x )cosx
，
f
n4
(x)f
n
(x)
，< br>f
2008
(x)
=
f
0
(x)cosx

题型2 用类比推理猜想新的命题
[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的
体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即
S
体积法，
V
1
，把这个结论推广到空间正四面
3
111
ah3arrh
，类比问 题的解法应为等
223
1
111
Sh4Srrh
即正四面体 的内切球的半径是高
334
4
【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；
实数集的 性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
[例2 ] 在
ABC
中,若< br>C90
,则
cosAcosB1
,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性
质,并证明你的猜想
【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与 斜边所成的角如何
类比到空间
[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥PABC
中，三个侧面
PAB,PBC,PCA
两
两垂直，且与底面所 成的角分别为

,

,

，则
cos
< br>cos

cos

1
”
证明：设
P
在平面
ABC
的射影为
O
，延长
CO
交
A B
于
M
，记
POh

由
PCPA,PCPB
得
PC面PAB
，从而
PCPM
，又
PMC


222
022
hhh
，
cos


，
cos



PCPAPB
11111
V
PABC
PAPBPC(PAPBcos

PBPCc os

PCPAcos

)h

63222
cos

cos

cos

()h1
即< br>cos
2

cos
2

cos
2

1

PCPAPB
cos

sinPCO【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体
积，平 面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对
应线面垂直或面面 垂直，边相等对应面积相等
【新题导练】
5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面 图形的命题：如图，同一个平
面内有两个边长都是
a
的正方形，其中一个的某顶点在另 一个的中心，
a
2
则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长4
精品文档

精品文档
均为
a
的正方体，其中 一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒
为 ．
a
3
[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为
8
6. (2010梅州一模)已知
ABC
的三边长为
a,b,c
，内切圆半径为
r
（用
1
类比这一结论有：若三棱锥
AB CD
r(abc)
；
2
的内切球半径为
R
，则三棱锥体 积
V
ABCD


1
[解析]
R(S
ABC
S
ABD
S< br>ACD
S
BCD


3
S
ABC< br>表示ABC的面积
），则
S
ABC

7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)
在平面直角坐标系中，直线一般方程为< br>AxByC0
，圆心在
(x
0
,y
0
)
的圆的一般方程为
(xx
0
)
2
(yy
0
)
2
r
2
；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为
_ _______________,球心在
(x
0
,y
0
,z
0
)
的球的一般方程为_______________________.
2222
[解析]
AxByCzD0
；
(xx
0
)(yy
0
)(zz
0
)r

8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数
a
1
,b
1
,c1
和
a
2
,b
2
,c
2
都是非零实数 ，方程
a
1
x
2
b
1
xc
1
0
和
a
2
x
2
b
2
xc
2
0
在复数集上的解集分别是
A
和
B
，则
abc< br>“
1

1

1
”是“
AB
”的充 分必要条件．
a
2
b
2
c
2
试对两个一元二次不 等式的解集写出类似的结果，并加以证明．
解：（3）如果系数
a
1
,b< br>1
,c
1
和
a
2
,b
2
,c
2
都是非零实数，不等式
a
1
xb
1
xc
1
0
和
2
a
2
x
2
b
2
xc
2
0
的解集分别是
A
和
B
，则“
a
1
b
1
c
1

”是“
AB
”的既不充分
a
2
b
2
c
2
也不必要条件．可以 举反例加以说明．
9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项 的差都为同一
个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
已知数列

a
n

是等和数列，且
a
1
2
，公和为
5
，那么
a
18
的值为____ ________．这个数列
的前
n
项和
S
n
的计算公式为 _____________________________________．
[解析]在一个 数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数

5n1,n为奇数


2
列，这个常数叫做该数列的公和；
a
18
3
；
S
n



5n

y,n为偶数

2

考点2 演绎推理
题型:利用“三段论”进行推理
[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计 了
a,b,c,d,e
五个方面的多元评价指标，
精品文档

精品文档
并通过经验公式样
S
ac1

来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某
bde
班在自测过程中各项指标显 示出
0cdeba
，则下阶段要把其中一个指标的值增加
1个单位，而使得 S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入
a,b,c,d,e
中的某个字
母）
【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律
[解析] 因
a,b,c,d,e
都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1
的前提下，分母越小时，S的值增长越多，
0cdeba
，所以c增大1 个单位会
使得S的值增加最多
【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
[例2 ] （03上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意 x
∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.
（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=a
x
（a>0,且a≠1）的 图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=a
x
∈M；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
【解题思路】函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，
[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以
f(x)=
xM.

（2）因为函数f(x)=a
x
（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， < br>
ya
x
所以方程组：

有解，消去y得a
x=x,

yx
显然x=0不是方程a
x
=x的解，所以存在 非零常数T，使a
T
=T.
于是对于f(x)=a
x
有
f(xT)a
xT
a
T
a
x
Ta
x
Tf(x)
故f(x)=a
x
∈M.
（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T=
1
，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
精品文档

精品文档
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
【名师指引】学会紧扣“定义”解题
【新题导练】
10. (2010珠海质检理)定义
a*b
是向量a和b的 “向量积”，它的长度
|a*b||a||b|sin

,其中
为向量a和b的夹角，若
u(2,0),uv(1,3),则|u*(uv)|
= .
1
[解析]
v(1,3),uv(3,3),s inu,uv|u(uv)|
23

2
11. (2010 深圳二模文)一个质点从
A
出发依次沿图中线段到达
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
，其中：
ABBC
，
I
、
J
各点，最后又回 到
A
（如图所示）
ABCDEFHGIJ
，
BCDEFGHIJA< br>．
欲知此质点所走路程，至少需要测量
n
条线段的长度，
则
n
（ B ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

[解析]只需测量
AB,BC,GH
3条线段的长


12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文

密文（加密），
接受方由密文

明文（解密），已知加密规则为：明文
a,b ,c,d
对应密文
a2b,2bc,2c3d,4d
，例如，明文
1, 2,3,4
对应密文
5,7,18,16
．当接受方收到密文
14,9,23 ,28
时，则解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7

a2b5< br>
a6

2bc7

b4

[解析] 由

得

，选C
2c3d18
c1





4d16

d7
13.对于任意的两个实数对
(a,b)
和
(c,d)
，规定：当且仅当ac,bd
；运算“

”
(a,b)(c,d)
，
为：
(a,b)(c,d)(acbd,bcad)
；运算“

” 为：
(a,b)(c,d)(ac,bd)
，设
p,qR
，
若
(1,2)(p,q)(5,0)
，则
(1,2)(p,q)
… ……（ ）
A．
(4,0)
B．
(2,0)
C．
(0,2)
D．
(0,4)


p2q5

p1
解： 由题意，

，解得

，所以正确答案为（B）．
2pq012


点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加 法运算．我们可以把该
题还原为：已知复数
z
满足
(12i)z5
，则
(12i)z
_____________．
精品文档

精品文档
★抢分频道★

基础巩固训练
1、对于 集合A,B,定义运算
AB{x|xA且xB}
，则
A(AB)
=（ ）
A.B B.A C.
AB
D.
AB

[解析]D [用图示法]
2、命题“有些有理数是无限循环小数 ，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，
推理错误的原因是
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C
3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））
给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若< br>a、bR，则ab0ab
”类比推出“
a、cC,则ab0ab< br>”
②“若
a、b、c、dR，则复数abicdiac,bd
”类比推出
“
a、b、c、dQ，则ab2cd2ac,bd
”
R， 则ab0ab
”③“若
a、b、
类比推出“若
a、bC,则ab 0ab
”
④“若
xR，则|x|11x1
”类比推 出“若
zC，则|z|11z1
”
其中类比结论正确的个数有
．．．．
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 类比结论正确的只有①
4、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2
个图形中共有 个顶点。












[解析] 设第n个图中 有
a
n
个顶点，则
a
1
333
，
a
2
444
，
,a
n
nnn
，
a
n2
(n2)
2
n2n
2
3n2
精品文档

精品文档

5、如果函数
f(x )
在区间
D
上是凸函数，那么对于区间
D
内的任意
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，
f(x
1
)f(x
2
)f(x
n
)xx
2
 x
n
f(
1
)
.若
ysinx
在区间(0,

)
上是凸
nn
函数，那么在

ABC
中，
sinAsinBsinC
的最大值是________________.
都有

[解析]
sinAsinBsinC3sin
6、类比平面向量基本定理:“如果
e
1
,e
2
是平面

内两个不共线的向量，那么对于平面内任一
ABC

33
3 sin

2
33
向量
a
，有且只有一对实数
< br>1
,

2
，使得
a

1
e
1


2
e
2
”，写出空间向量基本定理是：

[解
析] 如果
e
1
,e
2
,e
3
是空间 三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量
a
，有且只有一对实数

1,

2
,

3
，使得
a

1
e
1


2
e
2


3
e
3


综合提高训练
7、
(2009汕头一 模)设P是
ABC
内一点，
ABC
三边上的高分别为
h
A
、
h
B
、
h
C
，P
l
a
l
b
l
c

______________；类比到空间，< br>h
A
h
B
h
C
设P是四面体ABCD内一点，四顶点 到对面的距离分别是
h
A
、
h
B
、
h
C< br>、
h
D
，P到这
到三边的距离依次为
l
a
、
l
b
、
l
c
，则有
四个面的距离依次是
l
a
、
l
b
、
l
c
、
l
d
，则有_________________。

[解析]用等面积法可得，
l
a
l
b
l
c
llll

1，类比 到空间有
a

b

c

d
1

h
A
h
B
h
C
h
D
h
A
h
B
h
C
8、(2009惠州一模)设
f
x


则
f
2008

x


（ ）
1x
，又记
f
1

x
< br>f

x

,f
k1

x
f

f
k

x


,k1,2,
1x
,

1xx11
； B．； C．
x
； D．

；
1xx1x
1x1x1
[解析] C
f
1
(x)
，
f
2
(x)
，
f
3
(x) 
，
f
4
(x)x
，
f
n4
(x) f
n
(x)

1xxx1
A．

f
2008
(x)f
4
(x)x

9、（1） 已知等差数列

a
n

，
b
n

a
1
a
2


a
n
（
nN
），求证：

b
n

仍为等差数列；
n
精品文档

精品文档
（2）已知等比数列
c
n

，
c
n
0
（
nN
），类比上述性质，写出一个真命题并加以证
明．
n(a
1
a
n
)
aa
n
aa
n
2
[解析]（1）
b
n

，
b
n1
b
n

n1
，

1
2
n2
aa
n
d
< br>
a
n

为等差数列
b
n1
b
n

n1

为常数，所以

b
n
< br>仍为等差数列；
22

*
（2）类比命题：若

c
n

为等比数列，
c
n
0
（
nN），
d
n

n
c
1
c
2
 c
n
，则

d
n

为等比数列
证明 ：
d
n

n
(c
1
c
n
)c
1
c
n
，
n
2
d
n1
c

n1
q
为常数，

d
n

为等比 数列
d
n
c
n
10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M： 函数
yf(x)(xD)
，对任意
xyxy1
D
均满足< br>f()[f(x)f(y)]
，当且仅当
xy
时等号成立。
2 22
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数
f(x)
∈M，试比较
f(3) f(5)
与
2f(4)
大小.
x,y,
（2）设函数g(x)＝－x
2
，求证：g(x)∈M.
xy1
)[f(x)f(y)]
，令
x3,y5
得
f(3 )f(5)
<
2f(4)

22
2
x
1
x
2
1(x
1
x
2
)
2
x
1
2
x
2
(x
1
x
2
)
2)[g(x
1
)g(x
2
)]0
(2)
g(
22424
xx1
g(
12
)[g(x
1)g(x
2
)]
,所以g(x)∈M
22
[解析] (1)对于
f(


精品文档