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数学教学中演绎推理能力的培养



北京师范大学数学系 黄登航



演绎推理是由已知概念、定理推出新的定理的思维方式，是进 行数学证
明的有力工具，对数学的形成和发展有重要的作用，因此演绎推理能力是数
学能力的一 个重要方面．不少学生学数学最怕证明题，拿了题不知如何入手，
证错了还不知道错在那里，等等，原因 是多方面的，但演绎能力差是一个重
要方面．因此通过教学如何注意培养学生演绎推理能力，提高判断论 证中对
错能力，是很值得探讨的一个题目，本文对此谈些看法，并举例加以说明．

1 演绎推理与三段论法

演绎推理是以一般命题引出特殊命题的推理方法，因此前提与结论有必< br>然的联系，是必然性推理，三段论法是数学中演绎推理的基本形式．

三段论法由大前提 、小前提、结论构成，大前提是一般性原理，小前提
是适合大前提的特殊情况，结论是大前提与小前提之 间的逻辑结果，可如下
表示三段论法．

论证中习惯用的三段论法结构形式是：





例1 如图，直线PQ与MN被直线EF所截交于 G与H点，若∠PGE+∠
FHM=180°（C）则PQ∥MN（B）

让学生弄清楚三段论法是什么？证明题要干什么？这是我们讨论的问
题首先要解决的．

2 三段论法的变形与逆否命题




方便，于是常用三段论法的以下变形：


与并且号“∧”连接而成，故三段论法中以下常见的结构形式是有用的．



这点一定要搞清，否则容易犯错误．现对这部分内容举一些例子加以说
明：

例2 如右图PQNM是四边形，O是对角线 PN与 MQ的交点，已知：


∠PMN=∠PQN

（C
1
）

PO=ON

（C
2
）

证明：PQMN是平行四边形．

（B）

或者PO≠ON．



即 MO≠OQ．

不妨设OQ＞MO，于是可在OQ上取点Q
1
且Q
1
≠Q，且使 OQ
1
=MO，连
接 PQ
1
，NQ
1
，令A2
：PQ
1
MN是平行四边形，于是



例2的逆否命题还可以有以下形式：

PMN=∠PQN，则PO≠ON



则∠PMN≠∠PQN．

例3设f（x），g（x），h（x ）为实系数多项式，满足f
2
（x）=xg
2
（x）
＋xh
2
（x）（条件C），则f（x）=0（B
1
），g（x）=0（B
2
），h（x）＝0
（B
3
）（即结论B=B
1
∧B
2∧B
3
）．



f
2
（x）是偶次 多项式．而xg
2
（x），xh
2
（x）是奇次多项式，因而xg
2
（x）
+xh
2
（x）是奇次多项式，于是f
2
（x）≠x g
2
（x）+xh
2
（x）．即C．证毕．


f（x），g（x），h（x）不全为0，而不是全不为0．

问题之二：推理不严格 ，为什么xg
2
（x），xh
2
（x）是奇次多项式时xg
2
（x）+xh
2
（x）是奇次多项式？这并不显然，证明这点需用实系数多项式的
条 件，对复系数多项式结论就不对了，例如今g（x）＝x，h（x）＝ix，都
是一次多项式．但xg< br>2
（x）+xh
2
（x）=x
3
-x
3
=0 就不是奇次多项式．

（1）若f（x）≠0，则f
2
（x）是偶次多项式， 故g（x），h（x）不全为

零多项式，不妨设g（x）=b0
+b
1
x+„+b
m
x
m
，b
m< br>≠0，h


是奇次多项式，于是f
2
（x）≠xg
2
（x）+xh
2
（x）．即C．

（2）若f（x）=0，则g（ x），h（x）不全为0，与（1）相同可证xg
2
（x）
+xh
2
（x）是奇次多项式．于是0=f
2
（x）≠xg
2
（x）＋xh
2
（x），即C成立．

3 纠正运用三段论法中易犯的错误




熟悉它们之间内在联系，这些桥梁才能搭得起来．在这个过程中易犯的
推 理错误有以下几种：

1．扩大或者偷换题设C．

2．削弱题断B．

3．论据不正确．

我们举些例子加以说明：

例4 判断下面两命题是否正确？说明理由

1）若r是方程x
2
＝2x的根，则r=2．

有学生这样判断1） ：正确，因为若r是方程x
2
=2x的根，则r
2
＝2r，由消
去律 知r＝2．

这种判断当然是错误的，错在扩大了题设r≠0．才能由消去律得到r＝
2．事实上方程x
2
＝2x还有一根r＝0，扩大题设导致了丢根．






条件说成充分必要条件．

例5 x< br>1
，x
2
是复数且不全为零，λ是复数满足：x
2
＝λx1
，x
1
=λx
2
，则
λ的模为1．

≠0立知λ=±1，所以λ的模为1．

这样证犯了扩大假设错误，把x
1< br>，x
2
不全为零扩大成全不为0，从而x
1
²x
2
≠ 0．得到λ
2
=1．


2
=1，λ

λ=±1．

的，但在复数范围内则是错误的，例如：取x
1
=1，x
2
=i，不全为零，但






综上所述，若能在数学教学中注意让学生弄清三段论法是什么？证明命
题要干什么； 明确三段论法常用结构形式及与逆否命题关系；注意纠正推理
过程中易犯错误．必然会对学生演绎推理能 力提高产生良好作用．

演绎推理虽然不能从根本上为我们提供新的知识，因为结论已蕴涵在前
提中了，但它把一般前提下蕴涵的性质揭露出来，使这些性质间的内在联系
更清楚；它能把一般 结果应用到特殊中上；它能为归纳、类比„等得到的猜
想加以证实成为定理„，演绎推理的作用是不能低 估的．当然数学能力是多
方面的，如：分析能力、综合能力、类比、归纳、抽象思维等数学能力的培养都十分重要，且它们之间是相辅相成的．此文就不涉及了．