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第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页)



考情分析
能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了
解合情推理在数学发现中的作用 ；掌握演绎
推理的基本方法，并能运用它们进行一些简
单的推理；了解合情推理和演绎推理的联 系
和区别．

考点新知
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发
现中的作用.
② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的
基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和
差异.


1

1. (选修12P35练习题4改编)“因为指数函数y＝ax是增 函数(大前提)，而y＝
3
x是指数函数(小


1
< br>前提)，所以y＝
3
x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是_________ _____.

答案：大前提错误
解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．
2. (选修12P35练 习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以
正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程
_______________________________________ _________________________________
____________ __________________________________________________ __________.
答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)
3. (选修12P29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝1 2，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以 得出的一般结论是________.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析：等式右边的底数为左边的项数．
4. (选修12P29练习题3(2)改编)观察下列等式：
223939416416
＋2＝4 ；×2＝4；＋3＝；×3＝；＋4＝；×4＝
1122223333
；…，根据这些等式反映 的结果，
可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_________________ _____．
n＋1n＋1
答案：
n
＋(n＋1)＝
n
× (n＋1)(n∈N*)
n＋1n＋1＋（n2＋n）（n＋1）2n＋1
解析：由归纳推理 得
n
＋(n＋1)＝＝，
nnn
×(n＋1)＝
（n＋1）2n＋ 1n＋1
，所以得出结论＋(n＋1)＝
nnn
×(n＋1)(n∈N*)．
1
5. 已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S＝
2< br>×底×高，可得扇形
的面积公式为________．

1
答案：
2
rl

1. 归纳推理
(1) 归纳推理的定义
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2) 归纳推理的思维过程大致如图
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论
(3) 归纳推理的特点
① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象， 该结论
超越了前提所包容的范围．
② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实 ，还需经过逻辑证明和实践检验，
因此，它不能作为数学证明的工具．
③ 归纳推理是一种具 有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起
点，帮助人们发现问题和提出问题 ．
2. 类比推理
(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出 它们在其他方面也相似或相
同，这样的推理称为类比推理．
(2) 类比推理的思维过程
观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论
3. 演绎推理
(1) 演绎推理是 根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法
则得到新结论的推理过程 ．
(2) 主要形式是三段论式推理．
(3) 三段论的常用格式为
M — P(M是P)①
S－M(S是M)②
S — P(S是P)③
其中，①是大前提 ，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③
是结论，它是根据一般原理，对 特殊情况作出的判断．
[备课札记]

题型1 归纳推理
1

1

例1 在各项为正 的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝
2
an＋
an
.

(1) 求a1，a2，a3；
(2) 由(1)猜想数列{an}的通项公式；
(3) 求Sn.
1

1

解：(1) 当n＝1时，S1＝
2
a1＋
a1
，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵ a1>0，∴ a1＝1；

1

1

当n＝2时，S 2＝
2
a2＋
a2
，即a22＋2a2－1＝0.

∵ a2>0, ∴ a2＝2－1.同理可得，a3＝3－2.
(2) 由(1)猜想an＝n－n－1.
(3) Sn＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＝n.
变式训练

1＋a n
已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a3＝________，a1·a2 ·a3·…·a2007
1－an
＝________．
1
答案：－
2
3
11
解析：(解法1)分别求出a2＝ －3、a3＝－
2
、a4＝
3
、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a 2·a3·a4
＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.
1＋an

π

(解法2)由a n＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a1＝2＝tanθ，则有a2＝tan
4
＋θ
，
1－an


π

3π

a3＝ tan
2
＋θ
，a4＝tan
4
＋θ
，a5＝tan(π＋ θ)＝a1，….则a1·a2·a3·a4＝1，

故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.

题型2 类比推理
例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平 面内有两个边长都是a的正方形，
a2
其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为
4
.类比到空间，有
两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另 一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体
积恒为________．

a3
答案：
8

解析：在已知的平面图形中，中心O到两边的距离相 等(如图1)，即OM＝ON.四边形OPAR是
1
圆内接四边形，Rt△OPN≌Rt△OR M，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝
4
a2.
同样地，类比到空间，如图2.
1
两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为
8
a3.

备选变式（教师专享）

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个 点，点P为椭圆上任意一点，
当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与k PN之积是与点P位置无关
x2y2
的定值．试对双曲线
a2
－
b2
＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
x2y2
解：类似的性质为：若M、N 是双曲线：
a2
－
b2
＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线
上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是
与 点P位置无关的定值．证明如下：
m2n2
设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－ m，－n)，其中
a2
－
b2
＝1.
y－ny＋ny－ny＋ny 2－n2
又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，
x－mx＋mx－mx＋mx2－m2
b2b2b2
将y2＝
a2
x2－b2 ，n2＝
a2
m2－b2代入得kPM·kPN＝
a2
.
题型3 演绎推理
bn＋bn＋2
例3 设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M( n∈N*，M是与n无关的常
2
数)的无穷数列{bn}叫“特界” 数列．
(1) 若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；

(2) 判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界” 数列，并说明理由．
解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，
n（n－1）
则a1＋2d＝4，3 a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
2
Sn＋Sn＋2（Sn＋2－Sn＋1）－（Sn＋1－Sn）
(2) 由－Sn＋1＝
22
＝
an＋2－an＋1
d
Sn＋Sn＋2＝＝－1<0，得222

9

81
＝－
n－
2
2＋
4
( n∈N*)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20.即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件
②.
综上，数列{Sn}是“特界”数列．
备选变式（教师专享）

11
设数列
{
an
}
满足a1＝0且－ ＝ 1.
1－an ＋ 1 1－an
(1) 求
{
an
}
的通项公式；
1－an＋1
(2) 设bn＝，记Sn＝
n
bk，证明：Sn<1.
n
k＝1
11
(1)解： 由题设－＝1，
1－an＋11－an

1

即

1－an

是公差为1的等差 数列．

又
111
＝1，故＝n.所以an＝1－
n
.
1－a11－an
(2) 证明： 由(1)得
1－an＋1n＋1－n
11
bn＝＝＝－，
nn
n＋1·nn＋ 1
邋
b
k
=
Sn＝
k=1
nn
(
k=1
1
-
k
1
)=1-
k+1
1
<1< br>n+1


1. 观察下列不等式：
131151117
1 ＋
22
＜
2
；1＋
22
＋
32
＜
3
；1＋
22
＋
32
＋
42
＜
4
；…；照此规律，第五个不等式是________．
1111111
答案：1＋
2 2
＋
32
＋
42
＋
52
＋
62
<
6

2. 观察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b 4＝7；a5＋b5＝11；…；则a10
＋b10＝________．
答案：123 < /p>

解析：(解法1)由a＋b＝1；a2＋b2＝3得ab＝－1代入后三个等式中符合，则 a10＋b10＝(a5
＋b5)2－2a5b5＝123.
(解法2)令an＝an＋bn ，易得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，
a10＝ 123.
3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地， 在空间
内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案：1∶8
1
S1h1
V1
3
S1h1111
解析：考查类比的方法，
V2
＝
1
＝
S2
·
h2< br>＝
4
×
2
＝
8
，所以体积比为1∶8.
3
S2h2
4. (选修12P31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论： “正三角形的内切圆半径等于
1
这正三角形的高的
3
”．拓展到空间，类比平 面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等
于这个正四面体的高的________ .
1
答案：
4

解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h，底面面 积为S，正四面体SABC的内切球的半
径为R，球心为O，连结OS、OA、OB、OC，将四面体分 成四个三棱锥，则VS ABC＝VO SAC
1111411
＋VO SAB＋VO SBC＋VO ABC＝
3
SR＋
3
SR＋
3
SR＋3
SR＝
3
SR＝
3
Sh，所以R＝
4
h.
31131411314
5. (2013·镇江期末)观察下列等式：
1×2
×
2
＝1－
22
，
1×2
×
2
＋
2×3
×
22
＝1－
3×22
，
1×2
×
2
＋
2×3
1511314
×
22
＋
3×4×
23
＝1－
4×23
，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N*，
1×2
×
2
＋
2×3
1
×
22< br>＋…＋
n＋2
1
×
2n
＝________．
n（n＋1）
1
答案：1－
（n＋1）·2n

1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同
整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不
同整数解(x，y)的个数为________．
答案：80
解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整数解(x，y)个数 为4n，故|x|＋|y|＝20的整数
解(x，y)的个数为80.
Snd
2. 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列
n
为等差数列，公差为
2
.类似地，若
n
各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则 数列{Tn}为等比数列，公比
为________．
答案：q

n（n－1）
n
解析：Tn＝bn1q，Tn＝b1(q)n－1.
2
m
3. 若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为
n
，如图，在长方体ABCD
A1B1C1D1中，四面体A1ABC的直度为________ ．

答案：1
m4
解析：n＝4，m＝4，
n
＝
4
＝1.
x2y2
4. 若P0(x0，y0)在椭圆
a2
＋
b2
＝ 1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1、P2，
x0xy0y
则切点 弦P1P2所在的直线方程是
a2
＋
b2
＝1.那么对于双曲线则有如下命题 ：若P0(x0，y0)
x2y2
在双曲线
a2
－
b2
＝1 (a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线的切点分别为P1、P2，则切点
弦P1P2所在的 直线方程是________．
x0xy0y
答案：
a2
－
b2
＝1
x1xy1 y
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过P1、P2的切线方 程分别是
a2
－
b2
＝1，
x2xy2yx1x0y1y0x2x0 y2y0
－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有－＝1，
a2b2a2b2a 2
－
b2
＝1.
x0xy0yx0x
这说明P1(x1，y1)， P2(x2，y2)在直线
a2
－
b2
＝1上，故切点弦P1P2所在的直线 方程是
a2
－
y0y
b2
＝1.



1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理
能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．
2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出
猜想．
3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的
推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
4. 合情推理仅是符合 情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确
(前提和推理形式都正确的前提下 )．
请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.

[备课札记]