东北大学分数线-天耀中华姚贝娜

排列定义 从
n
个不同的元素中，取
r
个不重复的元素，按次序排列，称 为从
n
个
中取
r
个的无重排列。排列的全体组成的集合用
P(n,r)
表示。排列的 个数用
P(n,r)
表示。当
r=n
时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的 相应记号为
P(n,r),P(n,r)
。
组合定义 从
n
个不同元素中取
r
个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元 素
的顺序，称为从
n
个中取
r
个的无重组合。
组合的全体组成的集合用
C(n,r)
表示，组合的个数用
C(n,r)
表示，对应于可重 组
合
有记号
C(n,r),C(n,r)
。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)
从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象 思维
能力；
(2)
限制条件有时比较隐晦， 需要我们对问题中的关键性词
(
特别是逻辑关联
词和量词
)
准确理解；
(3)
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的 思维
量较大；
(4)
计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、 原
理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)
加法原理和分类计数法
1
．加法原理

2
．加法原理的集合形式
3
．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务； 两类不同办法中的具体方
法，互不相同
（
即分类不重
）
；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类
（
即分 类不漏
）
（2）
乘法原理和分步计数法
1
．乘法原理
2
．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这
n
步才能完 成
此任务； 各步计数相互独立； 只要有一步中所采取的方法不同， 则对应的完成 此
事的方法也不同
例
1
：用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
组成数字不重复的六位数
集合
A
为数字不重复的九位数的集合，
S
（
A
）
=9
！
集合
B
为数字不重复的六位数的集合。
把集合
A
分为 子集的集合，规则为前
6
位数相同的元素构成一个子集。显然各子 集没
有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的
3
个数的全排列，即
3
！ 这时集合
B
的元素与
A
的子集存在一一对应关系，则
S
（
A
）
=S
（
B
）
*3
！
S
（
B
）
=9
！
3
！

这就是我们用以前的方法求出的
P
（
9
，
6
）
例
2
：从编号为
1-9
的队员中选
6
人组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成的集合为
C,
集合
B
为数字不重复的六位数的集合。把集合
B
分 为子
集的集合， 规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集， 则每个子集都是 某
6
个
数的全排列 ，即每个子集有
6
!个元素。这时集合
C
的元素与
B
的子集 存 在一一对应关
系,则
S
（
B
）
=S
（
C
）
*6
!
S
（
C
）
=9
!
3
!
6
!
这就是我们用以前的方法求出的
C
（
9
,
6
）
以上都是简单的例子, 似乎不用弄得这么复杂。 但是集合的观念才是排列组合公 式
的来源, 也是对公式更深刻的认识。 大家可能没有意识到, 在我们平时数物品 的数
量时,说
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,一共有
5
个,这时我们就是在把物品的集合与 集合（
1
,
2
,
3
,
4
,
5
）建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合（
1
,
2
,
3
,
4
,
5
）的元素
个数相等,所以我们才说物品共有
5
个。我写这篇文章的目的 是把这些潜在的思路变
得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。
例
3
：
9
个人坐成一圈,问不同坐法有多少种？
9
个人排成一排,不同排法有
9
!种,对应集合为前面的集合
A
9
个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合
D
为坐成一圈的 坐法
的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合
A
中都对应不同元素， 但在集合
D
中相当于同一种坐法，所以集合
D
中每个元素对应集合
A
中
9
个元素， 所以
S
（
D
）
=9
!
9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为
8
！。这个方

法实际上是找到了一种集合
A
与集合
D
之间的对应关系。用集合的思路解决问题 的关
键就是寻找集合之间的对应关系， 使一个集合的子集与另一个集合的元素形 成一一
对应的关系。
例
4
：用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
组成数字不重复的九位数，但要求
1
排在
2
前面，求符合要求的九位数的个数。
集合
A
为
9个数的全排列，把集合
A
分为两个集合
B
、
C,
集合< br>B
中
1
排在
2
前
面，集合
C
中< br>1
排在
2
后面。则
S
（
B
）
+S
（
C
）
=S
（
A
）
在集合
B C
之间建立以下对应关系：集合
B
中任一元素
1
和
2
位置对调形成的 数
字，对应集合
C
中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此
S（B
）
=S（C
）
=9
！
2
以同样的思路可解出下题：
从
1
、
2
、
3
…，
9
这九个数中选出
3
个不同的数作为函数
y=ax*x+bx +c
的系数， 且要
求
a>b>c,
问这样的函数共有多少个？
例
5
:
M
个球装入
N
个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了，
我再用更形象的方法说说。
假设我们把
M
个球用细 线连成一排，再用
N-1
把刀去砍断细线，就可以把
M
个球 按顺
序 分为
N
组。则
M
个球装入
N
个盒子的每一种装法都对应一种 砍线的方法。 而 砍线
的方法等于
M
个球与
N-1
把刀的排列方式 （如两把刀排在一起，就表示 相应的盒子里
球数为
0
）。所以方法总数为
C
（
M+N-1
，
N-1
）
例
6
：
7
人坐成一排照像
,
其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻
,
则共
有 ________ 排法
.

解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为
X1
，
X2
，
X3
，
X4
,其中
X1
,
X4
》
=0
,
X2, X3
》
0
先把其余
4
人看作一样，则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4^
解的个数，令
X2=Y2+1 X3=Y3+1 < br>化为求
乂
1+
丫
2+
丫
3+
乂
4=
的非负整数解的个数，这与把
2
个球装入
4
个盒子的方
法 一一对应，个数为
C
（
5
，
3
）
=10
由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应
4
个人的全排列
排法共有
C
（
5
,
3
）
*4
！
=240
种。

4
！，所以 不同