生活美满-空对空导弹打一成语

排列组合公式排列组合
计算公式
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排列组合公式排列组合计算公式

2008-07-08 13:30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

举例：

Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列
P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，
我们可以 这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则
应该只有9-1-1种可能，最终 共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝
9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，
可以组合成多 少个“三国联盟”

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在 一起即可。即
不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括 排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*73*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小

组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参
加．各有多少种不同方法

解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个
课外 小组的人数，因此共有

种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生
参加，因此共有

种不同方法．

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计
算．

例2 排成一行，其中

不排第一，

不排第二，

不排第三，

不排第四的不同排法
共有多少种

解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中的某一个，共3类，
每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9种．

点评 按照分“类”的思路，本 题应用了加法原理．为把握不同排法的规
律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问 题的一种数学
模型．

例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人 ：①每两人互通一封信，共通了多少封信②
每两人互握了一次手，共握了多少次手

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组
长，共有多少种不同的选法②从 中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选
法

（3）有2，3，5，7，1 1，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它
们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求 它的积，可以得到多少个不同
的积

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲 乙两人每人一盆，有多少种不同
的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法

分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两
封信，所以与顺 序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与

甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了

封信；②是组合问题，共需握手

（次）．

（2）①是排列问题，共有

（种）不同的选法；②是组合问题，共有

种不
同的选法．

（3）①是排列问题，共有

种不同的商；②是组合问题，共有

种不同的
积．

（4）①是排列问题，共有

种不同的选法；②是组合问题，共有

种不同的
选法．

例４ 证明

．

证明 左式



右式．

∴ 等式成立．

点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶
乘的性质

，可使变形过程得以简化．

例5 化简

．

解法一 原式


解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选
用了组合数的两个性质，都使 变形过程得以简化．

例6 解方程：（1）

；（2）

．

解 （1）原方程



解得

．

（2）原方程可变为

∵ ，

，

∴ 原方程可化为

．

即 ，解得


第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，
并能用它们解决一些简单的问题 .

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、
组合中有关问题提供了理论根据.

例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校 ，每人报且只报一所，不同的报名
方法共有多少种

解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有
3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=3
5
(种)

(二)排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的
对象以及研 究 问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较
灵活，历届高考主要考查排列的应用题， 都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的
偶数共有()

个个个个

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P
1
2
；小于50 000的五位数，

万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法 有P
3
;在首末两位数排定后，中间
3131
3个位数的排法有P
3
，得P
3
P
3
P
2
＝36(个)

由此可知此题应选C.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个 方格里，每格填一个数
字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种

解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法
有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填
法；将数字1填入第4方格，也 对应3种填法，因此共有填法为

3P
3
=9(种).

例四 例五可能有问题，等思考

1
1
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明历届高考均有 这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都
是由选择题或填空题考查.
例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视
机各1台，则不同的 取法共有()

种种种种

解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法 有C
1
4
·C
2
5
种；甲型2台乙型1
台的取法有 C
2
4
·C
1
5
种

根据加法原理可得总的取法有

C
2
4
·C
25
+C
2
4
·C
1
5
=40+30=70(种 )

可知此题应选C.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1
项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式

解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C
3
8
种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C
1
5
种；

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C
2
4
种 ；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程 中选出2项工程的方式有C
2
种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C
3
8×C
1
5
×C
2
4
×C
2
2
=

×1=1680(种).

(四)二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基
础知识 ，从1 985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项
展开式中通项公式等，题型主要为 选择题或填空题.

例6在(x-

)
10
的展开式中，x
6
的系数是()

-27CB.27C
4
10
-9CD.9C
4
10

解设(x-

)
10
的展开式中第γ+1项含x
6
，

因Tγ+1
=C
γ
10
x
10-γ
(-

)
γ
，10-γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C
4
10
(-

)
4
=9C
4
10

故此题应选D.
< br>例7(x-1)-(x-1)
2
＋(x-1)
3
-(x-1)+(x- 1)
５
的展开式中的x
２
的系数等于

解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为
在(x-1)
6
中含x
3
的项是C
3
6
x3
(-1)
3
=-20x
3
，因此展开式中x
2
的系数是-2 0.

(五)综合例题赏析

例8若(2x+

)
4
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
，则(a
0
+a
2
+a
4
)
2
-(a< br>1
+a
3
)
2
的值为()


2
解：A.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2
名护士，不同的分配方法共有()

种种种种

解分医生的方法有P
2
2
＝2种，分护士方法有C
2
4
=6种，所以共有6×2 ＝12种不同
的分配方法。

应选B.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型
电视机各1台，则不同取法共有().

种种种种

解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

∵C2
4
·+C
2
5
·C
1
4
=5×6+ 10×4=70.

∴应选C.

例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生
当选的不同选法有()

种种种种

解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

∵C
1
3
·C
1
7+C
2
3
=3×7+3=24，

∴应选D.

例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小
于十位数字的共有().

个个

个个

解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个应有P
1
5
·P 5
5
=600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

∴有

×600=300个符合题设的六位数.

应选B.

例13以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有().

个个

个个

解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C
8
=70个.

其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形
如(ADB
1
C
1
)的有4组.

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)

应选C.

例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12条直线
中，异面直线共有().

对对

对对

解：设正六棱锥为O—ABCDEF.

任取一侧棱OA(C
1
6
)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

∴共有C
1
6×4=24对异面直线.

应选B.

例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形共个(以
数字作答).

解：7点中任取3个则有C
3
7
=35组.

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).

∴三角形个数为35-3=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为 S，其中由3个元素组成的子集数
为T，则

的值为。

解10个元素的集合的全部子集数有：

S＝C
0
10
+C
1
10
+C
2
10
+C
3
10
+ C
4
10
+C
5
10
+C
6
10
+C
7
10
+C
8
10
+C
9
10
+C
1
0
10
=2 10=1024

其中，含3个元素的子集数有T=C
3
10
=120

故

=


4

例17例17在50件产品 n 中有4件是次品，从中任意抽了5件 ，至少有3件是次品
的抽法共

种(用数字作答).

解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴C
3
4
·C
2
46
+C
4
4
·C
1
46
=4186(种)

例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各需1人承担，从10人
中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有().

种种

种种

解：先从10人中选2个承担任务甲(C
2
10
)

再从剩余8人中选1人承担任务乙(C
1
8)

又从剩余7人中选1人承担任务乙(C
1
7)

∴有C
2
10
·C
1
8C
1
7=2520(种).

应选C.

例19集合｛1，2，3｝子集总共有().

个个个个

解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子
集数

C
1
3
，由二个元素组成的子集数C
2
3
。

由3个元素组成的子集数C
3
3
。由加法原理可得集合子集的总个数是< br>
C
1
3
+C
2
3
+C
3
3
+1=3+3+1+1＝8

故此题应选B.

例20假设在20 0件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有
两件次品的抽法有().

2
3
C种
2
3
C +C
3
3
C
2
197

3
C
197

解：5件中恰有二件为次品的抽法为C2
3
C
3
197
，

5件中恰三件为次品的抽 法为C
3
3
C
2
197
，

∴至少有两件 次品的抽法为C
3
C
197
+C
3
C
197
.

应选B.

例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位， 若8名学生入座(每人
一个座位)，则不同座法的总数是().

5
8
2332
14
C
1
2
C
5
8
C
3
8