空间邮箱-期中

知识点一 排列的概念
排列与排列数公式 训练
1.下列问题是排列问题吗？
(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？
(3)会场有5 0个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客
人入座，又有多少种方法？
解 (1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问
题．
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．
( 3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入
座，是排列问题．

知识点二 排列的列举问题
2.写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)
A< br>、
B
、
C
、
D
四名同学排成一排照相，要求自左向右 ，
A
不排第一，
B
不排第四，共
有多少种不同的排列方法？
解 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京
北京，南京 广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
(2)因为
A
不排第一，排第一 位的情况有3类(可从
B
、
C
、
D
中任选一人排)，而此时 兼
顾分析
B
的排法，列树形图如图．

所以符合题意的所有排列是：
BADC
，
BACD
，
BC AD
，
BCDA
，
BDAC
，
BDCA
，
CABD
，
CBAD
，
CBDA
，
CDBA
，DABC
，
DBAC
，
DBCA
，
DCBA
共 14种.
知识点三 排列数的计算
A
7
－A
6
3.
4
＝( )
A
5
A．12 B．24 C．30 D．36
答案 D
65

36A
5
解析 A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝
4
＝36.
A
5
67
4
5
5
6
4
5
4
4．已知A
n
＝7A
n
－4
，则
n
＝________.
答案 7
22

10

解析 原方程可化为
n< br>(
n
－1)＝7(
n
－4)(
n
－5)．解得
n
＝7

n
＝舍去

.
3

5．若3A
n
＝2A
n
＋1
＋6A
n
，求
n
.
解 由3A
n
＝2A
n
＋1
＋6A
n
，得
3
n
(
n
－1)(
n
－2)＝2(
n
＋1)
n
＋6
n
(
n
－1)．
因为
n
≥3且
n
∈N，
所以3
n
－17
n
＋10＝0.
2
解得
n
＝5或
n
＝(舍去)．
3
所以
n
＝5.
6．求证：A
n
－1
＋
m
A
n
－1
＝A
n
.
证明 A
n
－1
＋
m
A
n
－1
＝
＝


一、选择题
1．下列问题中：
(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；
(2)10位同学去做春季运动会志愿者；
(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；
(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．
属于排列的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.
2．20×19×18×…×9＝( )
A．A
20
B．A
20
C．A
20
D．A
20

答案 A
解析 ∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴
12111 09
2
*
322
322
mm
－1
m
mm< br>－1
！
n
－！
＋
m
·
n
－1－< br>m
！
n
－
m
！
n
－
n
－！
n
－
m
＋
m
＝
n
－
m
！
n
！
m
＝A
n
.
n
－
m
！

20×19×18×…×9＝A
20
.
3．已知A
n
＝132，则
n
等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 B
解析 A
n
＝
n< br>(
n
－1)＝132，即
n
－
n
－132＝0，
解得
n
＝12或
n
＝－11(舍去)．
4．若
M
＝A
1
＋A
2
＋A
3
＋…＋A
2014< br>，则
M
的个位数字是( )
A．3 B．8 C．0 D．5
答案 A
解析 ∵当
n
≥5时，
A
n
＝1×2 ×3×4×5×…×
n
＝120×6×…×
n
，
∴当
n
≥5时A
n
的个位数字为0，
又∵A
1< br>＋A
2
＋A
3
＋A
4
＝1＋2＋6＋24＝33，
∴
M
的个位数字为3.
5．从
a
，
b
，
c
，
d
，
e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但
a
不能当副组长，则不
同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
答案 B
解析 不考虑限制条 件有A
5
种选法，若
a
当副组长，有A
4
种选法，故
a
不当副组长，
有A
5
－A
4
＝16种不同的选法．
二、填空题
6．A
6
－6A
5
＋5A
4
＝________.
答案 120
解析 原式＝A
6
－A
6
＋A
5< br>＝A
5
＝5×4×3×2×1＝120.
7．乒乓球队的10名队员中有3名 主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力
队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安 排在第二、四位置，那么不同的出
场安排共有________种．
答案 252
解析 三名主力队员排在第一、三、五位置有A
3
种排法，其余7名队员选2名排在第
二、四位置有A
7
种排法，故共有A
3
·A
7
＝2 52种出场安排．
8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安 全
起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法
种 数为________．
答案 24
232
3
6655
654< br>21
21
1234
1232014
22
2
12
n
n

解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩 视为一人与2
个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A
3
种排法；第三步：将2个小孩 排序有2种排法．故
总的排法有2×2×A
3
＝24种．
三、解答题
9．解下列各式中的
n
值．
(1)90A
n
＝A
n
；
(2)A
n
· A
n
－4
＝42A
n
－2
.
解 (1)∵90A
n
＝A
n
，
∴90
n
(
n
－1)＝
n
·(
n
－1)(
n
－2)(
n
－3)，
∴
n
－5
n
＋6＝90，
2
24
4
24
3
3
n
－4
n
－2
n
2
－5
n
－84＝0即(
n
－12)(
n
＋7)＝0，
n
＝12或
n
＝－7.
由排列数定义知
n
≥4，
n
∈N，∴
n
＝12.
(2)∵A
n
·A
n
－4
＝42A
n
－2
，
∴
4
*
n
－4
n
－2
n！
n
－！
·(
n
－4)！＝42(
n
－2)！ ，
∴
n
(
n
－1)＝42，
即
n
－< br>n
－42＝0解得
n
＝7或
n
＝－6.
由排列数定义知
n
≥4，
n
∈N.
∴
n
＝7.
10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：
(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？
(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？
解 (1)奇数共5个，奇数位置共有 3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先
在奇数位置上排上奇数共有A
5
种排 法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可
以排，排法为A
6
种，由分步 乘法计数原理知，排法种数为A
5
·A
6
＝1800.
(2)因为 偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A
4
种，余下的2个偶数与5个
奇数全 可排在奇数位置上，排法为A
7
种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A
4
·A
7
＝
2520种．
323
2
232
3
*
2