组合数公式说课讲解
不再失落-想把我唱给你听歌词
组合数公式
组合数公式
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组合数公式是指从m个不同元素中，任取n（n < m个元素并成一组，叫做
从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从 m个不同元素中取出n（n < m）
个元素的所有组合的个数，叫做从 m个不同元素中取出n个元素的组合数。用
符号
c（m,n）表示。
中文名
目录
1.
2.
3.
4.
1公式
2性质
3递推公式
4算法举例
组合数公式公式
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有时候也表示成：
n _
r! ~
（在旧版本里，排列数的字母写作 P）
组合公式的推导是由
排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一
个模
型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有 n个选
择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则
同理可知第三个位置可以有 n-2个选择，以此类推第 m个位置可以有n-m+1个
选
择，则排列数为
AJJ
1
- n (n- l)(n -2) ••
e(n - 1}
，而组合公式对应另一个模型
，
取出m个成为一组(无序)
，
由于m个元素 组
成的一组可以有m!种不同的排列(全排列
),组合的总数就是
-人爲
组合数公式性质
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厂爪—
J 刚
组合数公式递推公式
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c(m, n)=c(m-1,
n-1)+c(m-1, n)
等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的
另一
种实现方法：任意选择 m中的某个备选元素为特殊元素，从
元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即
m中选n个
n个被选择元素包含了
m-1个元素中选
特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从
出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1);后者相当于从m-1个元素中选出n个元
素的组
合，即c(m-1,n)。
组合数公式算法举例
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1、 设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数
的期
望和方差？
2、 设某射手对同一目标射击，直到射中 R次为止，记X为使用的射击次
数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换
技
巧，然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号，用S（ K=1，N）F（
K）表示函数F （K）从K=1至V
K=N求和。
公式1 :
C
（M-1，N-1） +C （M-1，N） =C （M，N）
公式1证明：
方法1、可直接利用组合数的公式证明。
方法2、（更重要的思路）。
从M个元素中任意指定一个元素。则选出 N个的方法中，包含这一个元素 的
有C
（M-1，N-1）种组合，不包含这一个元素的有 C （M-1，N ）种组合。
因此，C
（M-1，N-1） +C （M-1，N） =C （M，N）
公式2:
S
（K=N，M） C （ K-1，N-1） =C （M，N） （M》=N）
证明：C
（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M-
N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其 余的
还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
包含1号的有C (M-1 , N-1)种；
不包含1号，但包含2号的有C (M-2 , N-1)种；
0 0 0 0 0 0
不包含1到M-K号，但包含 M-K+1号的有C (K-1 , N-1 )种
0 0
0 0 0 0
不包含1到M-N-1号，但包含 M-N号的有C (N, N-1
)种不包含1到M-
N 号的有 C (N , N)种，而 C (N, N) =C ( N-1
, N-1)
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S (K=N ,
M) C ( K-1 , N-1) =C (M, N)
公式3:
S (K=0,
N) C (P, K) *C (Q , N-K) =C (P+Q , N) (P, Q) =N)
证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选 N件的选 法
为C (P+Q
, N)。而公式里面的K表示选法中正品数量，
C (P , K) *C (Q ,
N-K)表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选
法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此
,
S
(K=0 , N) C (P , K) *C (Q , N-K) =C (P+Q, N)
公式4 (一种变换技巧)：
S (K=0 , N) K*C ( M , K) =S
(K=0 , N-1) M*C (M-1 , K)
证明：
S (K=0 , N)
K*C ( M , K)
=S (K=1 , N) K*C
(M , K)
=S (K=1 , N) K*M ！ K ！ (M-K )！
=S
(K=1 , N) M* ( M-1) ! (K-1)! ( M-K) !
=S
(K=1 , N) M*C (M-1 , K-1)
=S (K=0 , N-1) M*C
(M-1 , K)
公式5 (公式4的同种)
S (K=0, N) K* (
K-1) *C (M , K)
=S (K=0 , N-2) M* (M-1) *C
(M-2, K)
证明：(类似上式)
S (K=0,N) K* (
=S
=S
=S
K-1) *C (M , K)
(K=2, N) K*
( K-1) *M ! K! (M-K)!
(K=2, N) M* ( M-1) *
(M-2) ! ( K-2) ! (M-K) !
(K=2, N) M* (M-1)
*C (M-2 , K-2)
=S (K=0 , N-2) M* (M-1) *C
(M-2, K)
公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品
数的
期望和方差？
解：(本题利用公式3、4、5)
有K件次品的概率为：
P (K) =C (1000，K) *C (14000，150-K ) C
(15000，150)
E (X)
=S (K=0，150) K*C
(1000，K) *C (14000，150-K) C (15000， 150)
=S (K=0 , 149) 1000*C (999 , K) *
(14000, 149-K ) C (15000,
150)
=1000*C
(14999 , 149) C (15000 , 150 )
=10
D (X)
=S (K=0 , 150)( K-10) * (K-10) *C (1000 , K)
*C (14000 , 150
K) C (15000 , 150)
=S (K=0
, 150) (K*K-K-19*K+100 ) *C (1000 , K) *C (14000 ,
150
K) C (15000 , 150)
=S (K=0 , 150) K* (
K-1) *C (1000 , K) *C (14000 , 150-K) C
(15000
, 150)
-19*S (K=0, 150) K*C (1000 , K) *C
(14000 , 150-K ) C (15000 ,
150)
+100*S (
K=0 , 150) C (1000 , K) *C (14000 , 150-K ) C
(15000 ,
150)
=S (K=0, 148) 1000*999*C
(998 , K) *C (14000 , 148-K) C
(15000 , 150)
-19*S ( K=0 , 149) *1000*C (999 , K) *C (14000
, 149-K ) C
(15000 , 150)
+100*S ( K=0 ,
150) C (1000 , K) *C (14000 , 150-K ) C (15000 ,
150)
=1000*999*C (14998 , 148) C (15000 ,
150)
-19*1000*C (14999 , 149)
C (15000 , 150) +100
=
=9.240616041
此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《
二
P）,求得到次品数的期
望
和方差？
E（X）=P*NM
D（X）=P*（ P-1）*C（
M-2，N-2）C（ M，N）
+（ 1-2*P*NM）*P*C（ M-2，N-2）C（
M，N）+（ P*NM）
A
2
例2、设某射手对同一目标射击，直到射中
R次为止，记X为使用的射击
次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
解：射中R次，使用的射击次数为K次（K>=R），则前K-1次射中R-1
次，第K次射中了，概率为：
P（ K）=C（
K-1，R-1）*PAR*（1-P）A（K-R）
（以下暂时用W表示无穷大）
射中R次，使用的射击次数可为 R次、R+1次...W次
因此S（ K=R，W）P（
K）=1 （这是概率的特点）
即：S（ K=R，W）C（
K-1，R-1）*PAR*（1-P）A（K-R）=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论
P，R是什么数都成立，以下将应
用这一公式。
E（X）
=S（ K=R，W）K*C（
K-1，R-1）*PAR*（1-P）A（K-R）
=S（ K=R，W）K*（ K-1）！ （
R-1）！ （ K-R）！ *PAR*（1-P）A
（K-R）
=S（
K=R，W）R*K ！ R！ （ K-R）！ *PAR*（1-P）A（K-R）
=S
(K=R , W) R*C (K, R) *PAR*(1-P)A(K-R)
=RP*S (
K=R , W) C (K, R) *P
A
(R+1 )
*(1-P)
A
(K-R)
令 K1=K+1 , R1=R+1，贝U
E (X) =RP*S (K1=R1 , W) C (K1-1 , R1-1 )
*PAR1*(1-P)A(K1-R1)
利用以上公式得
E (X) =PR
D (X)
=S (K=R , W) ( K-RP ) A2*C ( K-1 ,
R-1) *PAR*(1-P)A(K-R)
=S (K=R, W)
P)A(K-R)
=S (K=R , W) [K* (K+1 ) - ( K+2*K*RP )
+R*RPP]*C (K-1 , R-1)
*PAR*(1-P)A(K-R)
=S
(K=R, W) [K* (K+1 ) *C (K-1 , R-1)
*PAR*(1-P)A(K-R)
-S ( K=R , W)( K+2*K*RP ) *C
(K-1 , R-1) *PAR*(1-P)A(K-R)
+S (K=R , W)
R*RPP*C (K-1 , R-1) *PAR*(1-P)A(K-R)
=(推导过程同求E
(X)，略)
=R (R+1) PP- (2*R+P ) *RPP+R*RPP
=(1-P) *RPP
( K*K-2*K*RP+R*RPP ) *C (K-1 ,
R-1) *PAR*(1-