排列组合公式以及排列组合计算公式word版
企鹅是鸟类吗-春天的歌曲
排列组合公式排列组合计算公式
排列P------和顺序有关
组合C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如把5 本不同的书分给3 个人,有几
种分法. 排列
把
5 本书分给 3 个人,有几种分法
组合
1.排列及计算公式
从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中
取出m 个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫
做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!(n-m)!(规定
0!=1).
2.组合及计算公式
从n
个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素
的一个组合;从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n
个不同元
素中取出m 个元素的组合数.用符号
c(n,m)
表示.
c(n,m)=p(n,m)m!=n!((n-m)!*m!);c(n,m)=c
(n,n-m);
3.其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r
个元素的循环排列数=p(n,r)r=n!r(n-r)!.
n 个元素被分成k
类,每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为
n!(n1!*n2!*...*nk!).
k
类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n 为下标,m 为上标))
Pnm=n×(n-1)....(n
-m+1);Pnm=n!(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个 n
分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n 为下标1 为上标)=n
组合(Cnm(n 为下标,m 为上标))
Cnm=PnmPmm
;Cnm=n!m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标)=1 ;
Cn1(n 为下标1 为上标)=n;Cnm=Cnn-m
2008-07-08
13:30
公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列。
公式 C 是指组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列。
N-元素的总个数
R 参与选择的元素个数
!-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从 N 倒数 r
个,表达式应该为 n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从 n
到(n-r+1)个数为 n-(n-r+1)=r
举例:
Q1:
有从 1 到 9 共计 9
个号码球,请问,可以组成多少个三位数?
A1:123 和 213
是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排
列 P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现 988,997 之类的组
合,我们可以这么看,百位数有 9 种可能,十位数则应该有 9-1 种可能,个位
数则应该只有 9-1-1 种可能,最终共有 9*8*7
个三位数。计算公式=P(3,9)
=9*8*7,(从 9 倒数 3
个的乘积)
Q2:有从 1 到 9 共计 9
个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,
可以组合成多少个“三国联盟”?
A2:213 组合和 312
组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即
可。即不要求顺序的,属于“组合
C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最
终组合数 C(3,9)=9*8*73*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有 3 名学生和 4
个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每
名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
解(1)由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的
人数,因此共有种不同方法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此
共有种不同方法.
点评
由于要让 3
名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.
例 2
排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?
解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共 3 类,每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出:
∴符合题意的不同排法共有 9
种.
点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是
一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.
例3
判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.
(1)高三年级学生会有
11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了
一次手,共握了多少次手?
(2)高二年级数学课外小组共 10
人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不
同的选法?②从中选 2
名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?
(3)有
2,3,5,7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多
少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?
(4)有 8
盆花:①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中
选出 2
盆放在教室有多少种不同的选法?
分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺
序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无
关,所以是组合问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).
(2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
(3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.
(4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
例4
证明
证明.
左式
右式.
∴等式成立.
点评这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使
变形过程得以简化.
例5
化简.
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的
两个性质,都使变形过程得以简化.
例6
解方程:(1);(2).
解(1)原方程
解得.
(2)原方程可变为
∵,,
∴原方程可化为.
即,解得
第六章
一、考纲要求
排列组合、二项式定理
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,
并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、
组合中有关问题提供了理论根据.
例 1 5 位高中毕业生,准备报考 3
所高等院校,每人报且只报一所,不同的报
名方法共有多少种?
解: 5
个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名,因而每个学生
都有 3
种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3
(种)
(二)排列、排列数公式
说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究
的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比
较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.
例 2
由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50 000 的
偶数共有()
A.60 个
B.48 个
C.36 个
D.24 个
1
5
解因为要求是偶数,个位数只能是 2 或 4 的排法有 P
2
;小于 50
000 的五位
1
数,万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有
P
3
;在首末两位数排定后,
3131
中间 3
个位数的排法有 P
3
,得 P
3
P
3
P
2
=36(个)
由此可知此题应选 C.
例 3
将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格填一个
数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解:将数字 1 填入第 2
方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填
法有 3 种,即 214
3,3142,4123;同样将数字 1 填入第 3 方格,也对应着 3
种填法;将数字 1 填入第 4 方格,也对应 3 种填法,因此共有填法为
3P
3
=9(种).
例四
例五可能有问题,等思考
1
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上
都是由选择题或填空题考查.
例 4 从 4 台甲型和 5
台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电
视机各 1
台,则不同的取法共有()
A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
解:抽出的 3 台电视机中甲型
1 台乙型 2 台的取法有 C
14
·C
25
种;甲型 2
台乙
21
型 1 台的取法有 C
4
·C
5
种
根据加法原理可得总的取法有
C
24
·C<
br>25
+C
24
·C
15
=40+30=70(种 )
可知此题应选 C.
例 5 甲、丙、乙、丁四个公司承包 8
项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,
丙、丁公司各承包 2
项,问共有多少种承包方式?
解:
甲公司从 8 项工程中选出 3
项工程的方式 C
8
种;
1
3
乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C
5
种;
2
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出
2 项工程的方式有 C
4
种;
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有
2
C
2
种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有 C
8×C
5
×C
4
×C
2
=
×1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
3
1
2
2
说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它是常用的
基础知识,从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二
项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题.
例6
在(x- ) 的展开式中,
10
x 的系数是
6
(
)
A.-27C
6
B.27C
4
C.-9C
6
10
10
10
D.9C
4
10
解
设(x- )
10
的展开式中第γ+1 项含
x
6
,
因T
γ+1
=C
γ
x
10-γ
(- ) ,
γ
10
10-γ=6,γ=4
于是展开式中第 5 项含 x 6,第 5 项系数是 C
4
10
(-
) =9C
4
10
4
故此题应选 D.
例7
(x-1)-(x-1)
2+(x-1)
3
-(x-1)+(x-1)
5
的展开式中的
x
2
的系数等
于
解:此题可视为首项为
x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和,则其和为
在(x-1)
中含
6
x 的项是
3
C
3
6
x (-1) =-20x
3
3
,因此展开式中
3
x
的系数是
2
-2 0.
(五)综合例题赏析
例8
若(2x+ ) =a
4
2
0
+a
1
x+a
2
x
+a
3
x +a
3
4
x ,则
(a
4
2
0
+a
2
+a
4
)
-(a
1
+a
3
) 的值为
(
2
A.1
B.-1
C.0
D.2
解:A.
例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到
2 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和
2 名护士,不同的分配方法共有()
A.6 种
B.12 种
C.18 种
D.24 种
解分医生的方法有 P
2
2
2
=2 种,分护士方法有 C
4
=6 种,所以共有
6×2=12 种不
同的分配方法。
应选 B.
例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型与乙
型电视机各 1 台,则不同取法共有().
A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
)
解:取出的 3
台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
∵C
4
·+C
5
·C
4
=5×6+10×4=70.
∴应选 C.
例 11
某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女
生当选的不同选法有()
A.27 种
B.48 种
C.21 种
D.24 种
2
2
1
解:分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类:
∵C
3
·C 7+C
3
=3×7+3=24,
∴应选
D.
例 12 由数学 0,1,2,3,4,5
组成没有重复数字的六位数,其中个位数字
小于十位数字的共有().
A.210 个
C.464 个
B.300 个
D.600 个
1
1
1
2
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P
5
·P
5
5
=600 个.
由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.
∴有
×600=300 个符合题设的六位数.
应选 B.
例 13
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(
A.70 个
C.58 个
B.64 个
D.52 个
).
解:如图,正方体有 8 个顶点,任取 4 个的组合数为
C
48
=70 个.
其中共面四点分 3 类:构成侧面的有 6
组;构成垂直底面的对角面的有 2 组;形
如(ADB
1
C
1
)的有 4 组.
∴能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组)
应选 C.
例 14
如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线
中,异面直线共有().
A.12 对
C.36 对
解:设正六棱锥为 O—ABCDEF.
任取一侧棱 OA(C
6
)则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对.
∴共有
C 6×4=24 对异面直线.
应选 B.
例 15
正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中三个点为顶点的三角形
共
个(以数字作答).
解:7 点中任取 3 个则有 C
7
=35 组.
其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3
条直径).
∴三角形个数为 35-3=32 个.
例 16 设含有
10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集
数为
T,则的值为。
解
10 个元素的集合的全部子集数有:
S=C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C 0
10
=2 10=1024
其中,含 3
个元素的子集数有 T=C
10
=120
故=
例
17
例 17在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5
件,至少
有 3 件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解:“至少 3 件次品”即“有 3 件次品”或“有 4 件次品”.
∴C
4
·C
46
+C
4
·C
46
=4186(种)
例 18 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2
人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10
人中选派 4
人承担这三项任务,不同的选法共有().
3
3
0
3
1
1
B.24 对
D.48 对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
4
1
A.1260
种
C.2520 种
B.2025 种
D.5040
种
2
解:先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C
10
)
再从剩余 8 人中选 1 人承担任务乙(C
1
8)
又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C 7)
∴有
C
10
·C 8C 7=2520(种).
应选 C.
例 19
集合{1,2,3}子集总共有(
A.7 个
B.8 个
C.6 个
2
1
1
1
).
D.5 个
解三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的
子集数
C
3
,由二个元素组成的子集数 C
3
。
3
1
2
由 3
个元素组成的子集数 C
3
。由加法原理可得集合子集的总个数是
C13
+C
23
+C
33
+1=3+3+1+1=8
故此题应选 B.
例 20 假设在 200 件产品中有 3
件是次品,现在从中任意抽取 5 件,其中至少
有两件次品的抽法有().
A.C
3
C
197
种
C.C
200
-C
197
55
2
3
B.C
3
C
197
+C
3
C
197
23
3
2
D.C
200
-C
5
1
C
4
3
197
2
解:5 件中恰有二件为次品的抽法为 C
3
C
197
,
5 件中恰三件为次品的抽法为
C
33
C
2197
,
∴至少有两件次品的抽法为 C
3
C
197
+C
3
C
197
.
应选 B.
例 21 两排座位,第一排有
3 个座位,第二排有 5 个座位,若 8 名学生入座(每
人一个座位),则不同座法的总数是().
2
3
3
3
2
A.C
8
C
8
5
3
B.P
2
C
8
C
8
1
5
3
C.P
8
P
8
5
3