外存储器-中华经典诗文诵读读本

第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式

A级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少
x
2
y
2
个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆
2
＋
2
＝ 1中
ab
x
2
的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双 曲线
2
a
y
2
－
2
＝1中的a，b，可以得到多少 个焦点在x轴上的双曲线方程？
b
上面四个问题属于排列问题的是( )
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
解析：因为加法满足交换律，所 以①不是排列问题；除法不满足
53
交换律，如≠，所以②是排列问题．
35
x
2
y
2
若方程
2
＋
2
＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b
ab
x
2
y
2
的大小 一定；在双曲线
2
－
2
＝1中不管a>b还是aa b
焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④

1

是排列问题．
答案：B
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列
种数为( )
A．6 B．4 C．8 D．10
解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A
2
2
种方法，
所以由分步乘法原理，不同的排列为2A
2
2
＝4(种)．
答案：B
22
3．已知A
n
＋
1
－A
n
＝10，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
22
解析：因为A
n
＋
1
－A
n
＝10，则(n＋1) n－n(n－1)＝10，
整理得2n＝10，所以n＝5.
答案：B
4．若从 6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保
洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种
C．15种
B．360种
D．30种
4
解析：由排列定义知选派方案有A
6
＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，
其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解析：将符合 条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有
2
A
4
个，另一类是4作个位 数，也有A
2
4
个．因此符合条件的偶数共有
22
A
4＋A
4
＝24(个)．

2

答案：A
二、填空题
5
A
6
7
－A
6
6．计算＝________．
4
A
5
454
解析：A
6
7
＝7×6A< br>5
，A
6
＝6A
5
，
5
4
A6
7
－A
6
36A
5
所以＝
4
＝36 .
A
4
A
55
答案：36
7．现有8种不同的菜种，任 选4种种在不同土质的4块地上，
有________种不同的种法(用数字作答)．
解析： 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的
菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本 题即为从8个不同元
4
素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A
8
＝8×7×6×5
＝1 680(种)．
答案：1 680
8．元旦来临之际， 某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送
给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的 送法有
________种．
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，
用树形图表示为：

由此可知共有9种送法．
答案：9
三、解答题
5
A
7
x
－A
x
9．解关于x的方程：＝89.
A
5
x

3

5
解：法一 因为A
7
x
＝(x－5)(x－6)A
x
，
5
（ x－5）（x－6）A
5
x
－A
x
所以＝89.
A
5
x
因为A
5
x
>0，所以(x－5)(x－6)＝90.
故x＝－4(舍去)，或x＝15.
5
A
7
x
－A
x
5
法二 由＝89，得A
7
A
x
，
x
＝90·
5
A
x
x！x！
即＝90·.
（x－7）！（x－5）！
因为x！≠0，所以
190
＝，
（x－ 7）！（x－5）（x－6）·（x－7）！
所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去) ，或x＝15.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四
位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
3解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A
6
＝120(个)．(2)偶
1 3
数的个位数只能是2，4，6，有A
3
种排法，其他位上有A
6
种 排法，
13
由乘法原理知，四位数中偶数共有A
3
·A
6
＝ 360(个)．
B级 能力提升
1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别
记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．
a
解析：lg a－lg b＝lg，从 1，3，5，7，9中任取两个数分别记
b
1339
2
为a，b，共有A5
＝20种，其中lg＝lg，lg＝lg，故其可得到18
3913
种结果．
答案：18

4

2．从集合{0，1，2，5 ，7，9，11}中任取3个元素分别作为直
线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线 经过坐标原点
的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝ 0，再从集
合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A
2
6
种．
所以符合条件的直线有A
2
6
＝30(条)．
答案：30
3．编号为1，2，3，4的四位同学，参加4×100米的接力赛，
有多少种不同的安排方法？列出 所有排列．
解：安排4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步安排
跑第一棒的运动 员，有4种方法；第二步安排跑第二棒的运动员，有
3种方法；第三步安排跑第三棒的运动员，有2种方 法；第四步安排
跑第四棒的运动员，有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×
3×2×1 ＝24种不同的安排方法．如图所示，我们可以用树形图写出
所有的安排方法．

上 述每一个安排可以看作是从4个不同的元素中取出4个元素排
成一列，其排法共有24个，它们是
1234，1243，1324，1342，1423，1432
2134，2143，2314，2341，2413，2431
3124，3142，3214，3241，3412，3421
4123，4132，4213，4231，4312，4321.


5