烟盒设计-法布尔的故事

实验七 数字填图问题


一、问题背景和实验目的

二、 相关函数（命令）简介
三、 实验内容

四、 自己动手



一、问题背景和实验目的

数字填图问题是数学问题的一种 趣味形式．早在19世纪后半期，一些数学
家就在报刊中大量使用数字填图游戏和字谜游戏等，目的是使 业余爱好者也能通
过简单的形式去认识、理解和琢磨深奥的数学问题，这些问题中甚至包括困惑了
世间智者350多年、于1994年才刚刚被证明了的“费马大定理”．100多年来，
数字填图问题 对数学界所起的作用是不言而喻的．

大家都知道，数学问题一般都经过严格的逻辑证明才得以 解决．而逻辑证明
是指从一些公理出发，经过逻辑推理来证明问题．但随着20世纪40年代以来计算机的诞生和发展，计算机改变了整个世界，计算机已在各个领域发挥作用，并
取得了许多重大进展 ．于是，能否用计算机来证明数学问题便成了大家关心的话
题．

所谓计算机证明是指 充分发挥计算机计算速度快和会“推理”的特点，用计
算机程序模拟解题或进行穷举检验，最后得到问题 的解．几乎所有的数学家对计
算机证明持保留态度，因为他们相信，只有逻辑证明才是真正可靠的．但“ 四色
问题”的证明，又使他们感到困惑，因为“四色问题”的证明实际上是一个计算
机证明．< br>
能否用计算机来证明数学问题的争论可能会持续一个相当长的时间，本实验
旨在通过生 活中几个常见的数字填图问题的探究，谈谈这类问题的逻辑推理解法
和计算机解法．



二、 相关函数（命令）简介

1．cputime命令：记录执行本命令时的Matlab时钟的时间(秒)．

2．tic命令：开始计时．

3．toc命令：结束计时．

4．disp(x)：输出矩阵 x．x的各项应为字符，所以在输出时要进行转化．

相关的命令有：

num2str( )：把数值转化为字符；mat2str( )：把矩阵转化为字符．

5．fopen(filename, mode)：用mode方式打开建立filename文件，以备写入
数据，使用方式：fid = fopen(filename, mode)．

6．fclose(fid)：关闭上述文件．

例如下列程序是把一个两行的矩阵y写入文件：

x=0:0.1:1;

y=[x;exp(x)];

fid=fopen(’’,’wt’);

fprintf(fid,’ x exp(x)n’);

fprintf(fid,’%6.2f %12.8fn’,y); %实际得到的是矩阵y的转置矩阵

status=fclose(fid);

与C语言的文件操作方式相类似．



三、 实验内容

让我们先从一个简单的问题出发来谈谈数字填图问题的两种解法．然后通过
几个稍复杂问题的探究，从中展示逻辑推理的严谨以及计算机解法的魅力，启迪
我们去解决更复杂的数学 问题．

注：在本实验中，将表达式 abc 理解为 ，即 100*a+10*b+c，其余类似，
不另加说明．

(一)、一个简单的问题及其解答

问题一：在图 1 的几个加法等式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字
都不相同，问有多少个解?


图1

【逻辑解法】 为简洁起见，将它的 3 个式子记作： a + b = c，d + e = f，g + h
= i 0，若问题有解，则显然有 i = 1，且(a + b) + (d + e) + (g + h) = c + f + i  10，
故 45 = (a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = 2 (c + f) + i  11，即 c + f = 17，故 c
= 8，f = 9 或 c = 9，f = 8．

考虑到 a ~ i 互不相同，当要求 a < b，d < e，g < h 时，有如下 4 组解（见
下表）：


注：本问题实际上仅有 2 个解是本质的，即表中的第 2、3 行，第 4、5 行所
代表的解仅是位置不同而已．如不要求 a < b，d < e，g < h，则解的个数是
个．

【计算机解法】为验证此结果，可用 Mathematica、Matlab、Turbo C 等软
件进行模拟解题，充分利用计算机运算 速度快的特点进行穷举法检验．实践表明
本问题解的情况恰如上所述．用 Matlab 实现的程序清 单可参见附录1，这一算
法比较慢（一个更慢的算法参见附录1B，试分析其原因），而一个提速的程序
清单可参见附录2，Turbo C 程序清单可参见附录3，而Mathematica程序清单可
参见附录4．

【评论 】这个问题的逻辑解法十分简单，或许根本不需要计算机解法，但所
用程序有一定的代表性，稍加修改即 可解决一系列问题，这点可从下面的问题中
看到．

(二)、几个较复杂的问题及其解答

问题二：在图 2 的 4 个算式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字都不
相同，问 (A)、(B)、(C) 和 (D) 这 4 种情形分别有多少个解?

图2

讨论：显然，情形 (C) 无解．情形 (D) 与 情形 (C) 实际上是同一个问题，
因此也无解．

情形 (B) 与 情形 (A) 实际上也是同一个问题．我们先讨论情形 (A) 的解
的个数．

【逻辑解法】为简洁起见，将此竖式记作：abc + def = ghi，即 ，其中 a
~ i 代表 1 ~ 9 这 9 个互不相同的非零数字．据九余数性质可知，两个“加数”
中的六个数字之和被 9 除的余数应等于“和数”中的三个数字之和被 9 除的余
数．又这两个“加数”与“和数”中共九个数字正好是1，2，  ，9，它们的和
为 45，被 9 除的余数是 0，易见“和数”的三个数字之和被 9 除的余数必为 0，
也即：“和数”是 9 的倍数．注意到题设可知，“和数”的三个数字之和必定
为：g + h + i = 9 或 g + h + i = 18．

<1> 考虑 g + h + i = 9 的情形．

(1) 首先必定有 g > 3，否则 {a，d} 最小为 {1，2}，{b，e} 最小为 {4，
5}，{c，f} 最小为 {6，7}，此时已有 abc + def > 400，与 g  3 矛盾．故 g  4；
另外，g  6 为显然；

(2) 若g = 4，由 g + h + i = 9，h + i = 5，故 {h，i} 最小为 {1，4} 或 {2，
3}；但已有 g = 4，故 {h，i} 为 {2，3}，而 {a，d} 最小为 {1，4}，从而g 
5，与 g = 4 矛盾；

(3) 若g = 5，由 g + h + i = 9，h + i = 4，故 {h，i} 为 {1，3}；而 {a，d}
最小为 {2，4}，从而g  6，与 g = 5 矛盾；

(4) 若 g = 6，由 g + h + i = 9，h + i = 3，故 {h，i} 为 {1，2}；而 {a，d}
最小为 {3，4}，从而g  7，与 g = 6 矛盾．

综上所述，g + h + i = 9 的情形下问题无解．

<2> 考虑 g + h + i = 18 的情形．由于 g  4（理由同上），以下按 g = 9，
8，，4 的顺序分类讨论：

(1) g = 9，则 h + i = 9．由于 a ~ i 互不相同，于是 g，h，i 的可能的取值见下
表：


对这些竖式有序地交换两个加数的百位数、十位数和个位数，可得到每个类
型的 8(=) 个不同竖式 (解)，小计有解 12  8 = 96 个．

注意：表中的第 2、5、6、9 列为容易造成失解的地方，要特别留意．

完全类似地有如下一系列过程：

(2) g = 8，则 h + i = 10．仿(1)，小计有解 108=80 个，解例见下表：


(3) g = 7，则 h + i = 11．小计有解 58=40 个，解例见下表：


(4) g = 6，则 h + i = 12．小计有解 68=48 个，解例见下表：

(5) g = 5，则 h + i = 13．小计有解 58=40 个，解例见下表：


(6) g = 4，则 h + i = 14．小计有解 48=32 个，解例见下表：



结论：本问题的解的个数为：(12 + 10 + 5 + 6 + 5 + 4)  8 = 42  8 = 336．

注：<1>如不考虑两个加数的上下位置关系，则总的解的个数为：42  82 =
168．

<2>由于情形 (B) 与 情形 (A) 是同一个问题，故解的个数也为：42  8
= 336．

【计算机解法】为验证此结果，仍用 Matlab、Mathematica、Turbo C 编程
进行模拟解题，充分利用计算机运算速度快的特点进行穷举法检验．实践表明本
问题有且只有 336 个不同竖式（解），而 Matlab 程序清单可参见附录5，你可
发现它与附录 1 十分相似．

【评论】这个问题的逻辑解法较复杂，而计算机解法则是如此的简 单快捷，
运行整个程序不要 1 分钟．实际上非常复杂的“四色问题”的证明也是这样：
对 1482 种有代表性地图的分析，若依靠人工去做，可能要几十年甚至上百年的
时间，而用计算机，只要 1200 小时即告完成．这还是 70 年计算机的计算水平，
若用现在的计算机，计算时间应该不会超过一天!

问题三：在图 3 的加法算式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字
都不相同，问可有多少个解?

【逻辑解法】为简洁起见，将此竖式记作：

a + bc + def = ghi 或 ，其中 a ~ i 代表 1 ~ 9 这 9 个互不相同的非
零数字．

据九余数性质并采用完全类似问题二的讨论可知，“和数”的三个数字之和
必定为：g + h + i = 9 或 g + h + i = 18．同时，g  1，否则 d = 1；另外 g > d，
从而 g = d + 1．

由于 9  g  2，以下按 g = 9，8，7，  ，2 的顺序分类讨论：

(0) g = 9，d = 8．则 h + i = 9．由于 a ~ i 互不相同，于是 g，h，i 的可能
的取值为（见下表）：


图3
小计有解 0 个．

(1) g = 8，d = 7．则 h + i = 1(不可能，舍去) 或 h+i=10．由于 a ~ i 互不相
同，于是g，h，i 的可能的取值为(见下表)：

对这些竖式有序地交换三个加数的个位数、两个加数的十位数，可得到每个类型
的 12 个不同竖式 (解)，小计有解 212=24 个．

完全类似地有如下一系列过程：

(2) g = 7，d = 6．则 h + i = 2(不可能，舍去) 或 h+i=11．仿(1)，小计有解
212=24 个．

(3) g = 6，d = 5．则 h + i = 3 或 h + i = 12．有解 112=12 个，解例见下表：

(4) g = 5，d = 4．则 h + i = 4 或 h + i = 13．有解 312=36 个，解例见下表：



(5) g = 4，d = 3．则 h + i = 5 或 h + i = 14．有解 2  12 = 24 个，解例见下
表：


(6) g = 3，d = 2．则 h + i = 6 或 h + i = 15．有解 2  12 = 24 个，解例见下
表：

(7) g = 2，d = 1．则 h + i = 7 或 h + i = 16．有解 2  12 = 24 个，解例见下
表：

结论：本问题的解的个数为：(2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 2 + 2)  12 = 168．

【计算机解法】让我们再尝试计算机解法．仍用 Matlab、Mathematica、Turbo
C 编程进行穷举法验证，程序清单类似于附录1~附录5，不再另附．运行结果
表明本问题的确有且只有 168 个不同竖式（解），要说明的是：该程序在一般
的计算机上运行一次也只需不到 1 分钟．

【评论】也许有人会说，你的问题还仅是一个有穷的问题，象“费马大定理”
这样的无穷问题，你的计算机就无能为力了! 情况或许是这样．但应该注意到：
非常复杂的“四色问题 ”也是一个无穷问题，但妙就妙在有人能将它们缩小到
1482 种有代表性地图以内，从而成为一个有穷的问题!

至此，对于计算机解题的作用恐怕再不能视而不见了! 下面的两个问题也是
成功地运用计算机 解题的的一些典型例子，而至少到目前为止还没有看到它们的
推理解法.

问题四：图 4 的加法等式是：两个真分数之和等于第三个真分数，每个□
表示一个不为 0 的数字，任意两个数字都不相同．比如：
出所有可能的解．

，试找

图4

【计算机解法】本问题利用计算机程序已找到解答，共有 10 个解．解答请
参见：《数学教学》（华东师范大学）1994 年第 5 期．

【评论】程序如何编? 看起来问题似乎很简单，只要将附录1~附录5 稍加
修改即可．例如可利用附录 6 的 Matlab 程序进行计算．但实际情况让我们大
吃一惊：用 Matlab 程序居然只有 6 个解！还有 4 个解到哪里去了？用 Turbo
C 程序编写出的类似的程序居然只有 7（或9）个解！还有 3（或1）个解到哪
里去了？还有人用 Turbo C 程序编写出的类似的程序，却居然得到了 11 个
“解”！这个多出的 1 个“解”是哪里来的？

类似的问题还会发生在本实验的“四、自己动手”的第 6 题中，用不同的
语言编写出的类似 程序，其运行结果居然差距很大，你能明白其中的道理吗？根
据观察，可能是浮点问题，也可能是整数的 上界问题，或别的什么原因．具体什
么原因，留作思考题．

问题五：图 5 的加法等式是：两个假分数之和等于第三个假分数，每个□
表示一个不为 0 的数字，任意两个数字都不相同．试找出所有可能的解．

图5

< br>【计算机解法】本问题利用计算机程序也已找到解答，共有41个解．同样
只要将附录1 ~ 5的程序稍加修改即可．

(三)、小结

数字填图问题是一种活泼的、变形 的数学问题，逻辑推理是这类问题的一般
解法．但也有若干数字填图问题要找到这样的逻辑推理解法是非 常地困难，而采
用计算机解法则轻而易举．问题一和问题二就是这样的例子．至于问题四和问题
五则只能给出计算机解法．尽管数学家们很难接受计算机解法，因为他们担心计
算机会出错（尽管这种出 错的概率几乎为零!），更重要的是他们坚信逻辑证明
是解答这类问题的根本方法．但上述事实证明计算 机解法也是十分有效的．另一
个公认的例子是“四色问题”，它的证明实际上就是一个计算机证明．关于 这个
问题的争论可能会有一个相当长的时间．不管将来的结论如何，但计算机证明
(解题) 毕竟代表将来数学问题解决的一个方向．就象安德鲁·怀尔斯 (Andrew
Wiles) 突发灵 感地把“伊娃沙娃理论”和“科利瓦金弗莱切方法”结合在一起
可以完美地互相补足，以致最终证明了“ 费马大定理”一样，未来的数学家或许
会让“逻辑证明”和“计算机证明”也完美结合，从而解决更多的 数学问题．

注；西蒙·辛格[英]，1998 年．《费马大定理一个困惑了世间智者 358 年
的谜》，薛密 译，上海译文出版社．



四、 自己动手

1．一道竞赛题（以下称“原问题”）

1998 年 4 月香港数理教育学会主办的初中数学竞赛有这样一道试题：

在下面的加法算式中，每个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么
A 与 B 的乘积的最大值是多少?

解答：最大值是 15．你能给出逻辑推理解法并用计算机加以验证吗?

由上述问题引伸出的三个问题：

2．满足原问题题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?

本问题有 60 个不同竖式（解）．试给出逻辑推理解法并用计算机加以验证．

原竞赛题是针对初中生 而设计的，故问题的难度被大大降低了．本练习已有
一定难度．不可否认，逻辑推理是解决问题的重要途 径，而计算机模拟解题在其
中所起的作用也是不言而喻的．我们可以将练习 2 一般化，你将发现计算机模
拟解题的有效性和重要性．

3．如果在原问题中删除条件 ：“任意两个数字都不相同”，则满足题意的不同
的加法算式（竖式）共有多少个?

本问题实际上是一个有约束条件的全排列问题．本问题的答案是：48195 个!

这真是一个神奇的数值．要得到这个数值应该说是有一定难度的．试给出逻
辑推理解法并用计算机加以 验证．

注：假如在本问题中允许三个“加数”与“和数”均可以由数字 0 作为开
头，去掉“任意两个数字都不相同”这个条件限制，本问题则变成一个真正的全
排列问题．在 a + bc + def = ghij 中，“和数”ghij 是被动的．由 a，b，c，d，
e，f  {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，此时本问题有解 10
6
个．

练习 3 是利用计算机模拟解题的真正代表，可以说计算机模拟解题能力在
某些方面确已达到了逻辑推理解题的能力．而以下的练习 4 将把练习 2 的难度
进一步加 大．你将发现运用计算机模拟解题在某些方面甚至已超过运用逻辑推理
解题．这个问题是：

4．假如违反常规，允许三个“加数”与“和数”均可以由数字 0 作为开头，保
留条件：“ 任意两个数字都不相同”，则满足原问题题意的不同的加法算式（竖
式）共有多少个?

本问题共有 228 个解，即在练习 2 有 60 个不同竖式（解）的基础上再增
加 168 个解．试给出逻辑推理解法并用计算机加以验证．

分析和观察：练习 4 的结论与本实验中的“问题三”的结论是否有一定的
联系? 有何联系?

5．验证本实验中的“问题四”、“问题五”的结论．能否给出相应的推理解法?

答案是：非常困难! 不妨一试．你是否发现运用计算机模拟解决本问题，已
超过运用逻辑推理解决本问题?

6．设A ~ J表示十个互不相同的数字，问：方程（注意： 组成分数的四个数的
第一位数字不能为0）


共有多少个解？

答案是110个? 是118个? 是其它的数字？为什么？

7．前面所说的“用不 同的语言编写出的类似程序，其运行结果居然差距很大”
现象，你遇到过吗？试结合附录6，分析产生漏 （增）解的原因．

8．利用Matlab文件操作技术修改附录1，使得结果可以保存到一个 文本文件
中．类似地，用Turbo C文件操作技术修改附录3，使得结果也可以保存到一个
文本文件中．