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【考点训练】三角形三边关系-2


一、选择题（共10小题）
1．（2011•青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍， 想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，
那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）

A．1，3，5 B． 1，2，3 C． 2，3，4 D． 3，4，5

2．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）

A．1cm，2cm，4cm B． 4cm，6cm，8cm C． 5cm，6cm，12cm D． 2cm，3cm，5cm

3．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）


3cm 4cm 7cm 11cm
A．B． C． D．

4．（2012•长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三 根组成一个三角形，那么可
以组成的三角形的个数是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

5．（2011•梧州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）

A．1，2，3 B． 3，4，5 C． 3，1，1 D． 3，4，7

6．（2012•常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ）


13 17 22
A．B． C． D． 17或22

7．（2011•徐州）若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（ ）


2cm 3cm 7cm 16cm
A．B． C． D．

8．（2011•南通）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）

A．3，8，4 B． 4，9，6 C． 15，20，8 D． 9，15，8

9．（2012•东莞）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）


5 6 11 16
A．B． C． D．

10．（2011•莆田）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（ ）


15 12
A．B． C． 12或15 D． 不能确定

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2007•安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 _________ ．

12．（2004•云南）已知三角形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为 _________ ．

13．（2007•柳州）如果三角形的两条边 长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第
三边的长为 _________ cm．

14．（2006•连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定 线段BC的长，使构成△ABC能惟一确
定．你认为BC的长可以是 _________ ．


15．（2005•泸州）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为 _________ cm．

16．（2007•贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是 _________ ．

17．（2006•梧州）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有 _________
个．

18．（2004•芜湖）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 _________ ．

19．（2004•玉溪）已知一个梯形的两底长分别是4和8 ，一腰长为5，若另一腰长为x，则x的取值
范围是 _________ ．

20．（2004•嘉兴）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆 成一个
三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： _________ ， _________ ， _________ （单
位：cm）．

三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知三角形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数．
（1）请写出一个三角形符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有n个，求n的值．
（3）试求出（2）中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例．

22． 如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的
三边长．

23．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x，
（1）求x可能的取值范围；
（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？

24．已知三角形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围．

25．三角形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x﹣3x）cm、（﹣x+6x﹣2）cm
22

①求这个角形的周长；
②x是否可以取2和3？如果可以，求出相应的三角形的周长；如果不可以，请说明理由．

26．一个四边形的周长是48cm，已知第一条边长是acm，第二条比第一条边的2倍长3cm，第 三条
边等于第一、第二两条边的和．
（1）用含a的代数式表示第四条边．
（2）当a=7时，还能得到四边形吗？说说理由．

28．如图，在四边形ABCD内找一点O，使OA+OB+OC+OD之和最小，并说出你的理由．


29．若三角形三边长分别为2x，3x，10，其中x为正整数，且周长不超 过30，求x的取值范围．写
出这个三角形的三边长．

30．已知△ABC的三 边长a，b，c均为整数，且a和b满足|a﹣4|+（b﹣1）=0，求△ABC中c边的
长．

2
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【考点训练】三角形三边关系-2

参考答案与试题解析


一、选择题（共10小题）
1．（2011•青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍， 想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，
那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）

A．1，3，5 B． 1，2，3 C． 2，3，4 D． 3，4，5

考点： 三角形三边关系．
分析： 首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第 三边②三角形的两边差小于第三边
求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．
解答： 解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2，
∴1＜x＜5，
∵x为整数，
∴x=2，3，4，
故选：C．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．

2．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）

A．1cm，2cm，4cm B． 4cm，6cm，8cm C． 5cm，6cm，12cm D． 2cm，3cm，5cm

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解答： 解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3=5，不能组成三角形．
故选B．
点评： 此题考查了三角形的三边关 系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大
于第三个数．

3．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）


3cm 4cm 7cm 11cm
A．B． C． D．

考点： 三角形三边关系．
分析： 已知三角形的两边长分别为3cm和7cm， 根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边
之差＜第三边；即可求第三边长的范围．

解答： 解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．
因此，本题的第三边应满足4＜x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案．
3，4，11都不符合不等式4＜x＜10，只有7符合不等式，故答案为7cm．
故选C．
点评： 此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不
等式即可．

4．（2012•长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三 根组成一个三角形，那么可
以组成的三角形的个数是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 三角形三边关系．
专题： 压轴题．
分析： 从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即
可．
解答： 解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；
只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故选B．
点评： 考查了三角形三边 关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；
注意情况的多解和取舍．

5．（2011•梧州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）

A．1，2，3 B． 3，4，5 C． 3，1，1 D． 3，4，7

考点： 三角形三边关系．
专题： 应用题．
分析： 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
解答： 解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2=3，不能组成三角形，故A错误；
B、3+4＞5，能够组成三角形；故B正确；
C、1+1＜3，不能组成三角形；故C错误；
D、3+4=7，不能组成三角形，故D错误．
故选：B．
点评： 本题考查了三 角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大
于第三个数，难度适中．

6．（2012•常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ）


13 17 22
A．B． C． D． 17或22

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： 由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论．
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解答： 解：当4为底时，其它两边都为9，
∵9、9、4可以构成三角形，
∴三角形的周长为22；
当4为腰时，其它两边为9和4，
∵4+4=8＜9，
∴不能构成三角形，故舍去．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三 角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到
两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况 是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也
是解题的关键．

7．（2011•徐州）若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（ ）


2cm 3cm 7cm 16cm
A．B． C． D．

考点： 三角形三边关系．
专题： 应用题．
分析： 已知三角形的两 边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意
两边之差＜第三边，即可 求出第三边长的范围．
解答： 解：设第三边长为xcm．
由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，
解得3＜x＜15．
故选C．
点评： 本题考查了三角形三边关系定理的应用．关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后< br>解不等式组即可．

8．（2011•南通）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）

A．3，8，4 B． 4，9，6 C． 15，20，8 D． 9，15，8

考点： 三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
解答： 解：A，∵3+4＜8∴不能构成三角形；
B，∵4+6＞9∴能构成三角形；
C，∵8+15＞20∴能构成三角形；
D，∵8+9＞15∴能构成三角形．
故选A．
点评： 此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌 握情况，注意只要
两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形 ．

9．（2012•东莞）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）


5 6 11 16
A．B． C． D．

考点： 三角形三边关系．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的
值即可．
解答： 解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只 有11符合
条件．
故选C．
点评： 本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

10．（2011•莆田）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（ ）


15 12
A．B． C． 12或15 D． 不能确定

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；
解答： 解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；
∴腰长为6，
∴周长为6+6+3=15．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三 角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形
两边之差小于第三边．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2007•安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 15或18 ．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 本题没有明确说明已知的 边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为7．再根据
三角形的性质：三角形的任意两边的 和＞第三边，任意两边之差＜第三边判断是否满足，再将
满足的代入周长公式即可得出周长的值．
解答： 解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长=4+4+7=15；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长=7+7+4=18．
所以三角形的周长为15或18．
故填15或18．
点评： 本题考查了等腰三角 形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到
两种情况，分类进行讨论，还应 验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也
是解题的关键．

12．（2004•云南）已知三角形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为 2＜c＜8 ．

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的三边关系：第三边大于两边之差2，而小于两边之和8．
解答： 解：5﹣3＜c＜5+3，∴2＜c＜8．
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点评： 已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

13． （2007•柳州）如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为 23 cm．

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．即可求解．
解答： 解：设第三边的 长为x，满足：23cm﹣10cm＜x＜23cm+10cm．即13cm＜x＜33cm．因而第三
边一定是23cm．
点评： 本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“任意两边之和＞第三边”这一定理．

14． （2006•连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟一 确
定．你认为BC的长可以是 5 ．


考点： 三角形三边关系．
专题： 压轴题．
分析： 要使构成△ABC能惟一确定，根据已知∠BAC=30°，AB =10，则若BC=5时，则三角形是直角
三角形．
解答： 解：∵BAC=30°，AB= 10，根据题意，得BC的长可以是5，∴此时构成的三角形是直角三角
形．
点评： 本题是开放性试题，要熟悉30°的直角三角形的性质．

15．（2005•泸州）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为 22或20 cm．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．
解答： 解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm；
当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm．
因此等腰三角形的周长为22或20cm．
故填22或20．
点评： 本题考查了 等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到
两种情况，分类进行讨 论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也
是解题的关键．

16．（2007•贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是 2＜m＜14 ．

考点： 三角形三边关系．

分析： 三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
.8﹣6＜m＜8+6，
即2＜m＜14．
点评： 此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不
等式即可．

17．（2006•梧州）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有 16 个．

考点： 三角形三边关系．
专题： 压轴题．
分析： 其余两边都小于7，之和应大于7，按规律找到适合的三边即可．
解答： 解：设另两边是x，y，那么x＜7，y＜7，且x+y＞7，并且x，y都是整数．
不妨设x≤y， 满足以上几个条件的x，y的值有：1，7；2，6；3，5；4，4；6，3；2，7；4，
5；4， 6；5，5；7，3；4，7；5，6；5，7；6，6；6，7；7，7共有16种情况．
点评： 正确确定三角形的两边应满足的条件是解决本题的关键，难点是准确有序的得到其余两边的长
度．

18．（2004•芜湖）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 16或17 ．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给 出等腰三角形有两条边长为5和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，
还要应用三角形的 三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：（1）当三角形的三边是5，5，6时，则周长是16；
（2）当三角形的三边是5，6，6时，则三角形的周长是17；
故它的周长是16或17．
故填16或17．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确 腰和底边的题目一定要想到
两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这 点非常重要，也
是解题的关键．

19．（2004•玉溪）已知一个梯形的两底 长分别是4和8，一腰长为5，若另一腰长为x，则x的取值
范围是 1＜x＜9 ．

考点： 梯形；三角形三边关系．
分析： 平移一腰，出现了平行四边形和三角形．根据三角形的三边关系，则可求出1＜x＜9．
解答： 解：如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=8，AB=5，CD=x，求x的取值范围．
过D点作DE∥AB
∵AD∥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴DE=AB=5，EC=BC﹣BE=BC﹣AD=4
∵DE+EC＞x，DE﹣EC＜x
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∴1＜x＜9．

点评： 此类题的解决，要把已知的和未知的线段构造到一个三角形中，根据三角形的三边关系分析．

20．（2004•嘉兴）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四 根小木棒中选出三根摆成一个
三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm）．

考点： 三角形三边关系．
分析： 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
解答： 解：每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．
根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．
点评： 此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．

三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知三角形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数．
（1）请写出一个三角形符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有n个，求n的值．
（3）试求出（2）中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例．

考点： 三角形三边关系．
分析： （1）根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解；
（2）找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求；
（3）用周长为偶数的三角形个数÷三角形的总个数，列式计算即可求解．
解答： 解：两边长分别为5和7，设第三边是a，则7﹣5＜a＜7+5，即2＜a＜12．
（1）第三边长是3．（答案不唯一）；

（2）∵2＜a＜12，
∴n=7；

（3）周长为偶数的三角形个数是4，
周长为偶数的三角形所占的比例为4：7．
点评： 考查了三角形三边关系定理：三角形两边 之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线
段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只 要两条较短的线段长度之和大于第三条线
段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

22．如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的< br>三边长．

考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的周长分别进行讨论，注意要符合三角形的三边关系．
解答： 解：∵周长大于4且不大于10，
∴周长为5，6，7，8，9，10，
当周长为5时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，1；
当周长为6时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，2；
当周长为7时，最长边不能超过3，三边长只能是2，2，3；1，3，3；
当周长为8时，最长边不能超过3，三边长只能是2，3，3；
当周长为9时，最长边不能超过4，三边长只能是2，3，4；3，3，3；1，4，4；
当周长为10时，最长边不能超过4，三边长只能是2，4，4；3，3，4．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

23．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x，
（1）求x可能的取值范围；
（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？

考点： 三角形三边关系；一元一次不等式组的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）根据三角形 的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即可得
出x的取值范围，
（2）根据x的取值范围找出符合条件的整数即可．
解答：
解：（1）由三角形三边之间的关系有：，
解之得6＜x＜12．
（2）如果x为整数，那么x可取7、8、9、10、11．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，难
度适中．

24．已知三角形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围．

考点： 三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围．
解答： 解：∵三角形的三边长分别为2、x﹣3、4，
∴4﹣2＜x﹣3＜4+2，
即5＜x＜9．
点评： 考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系 ，即任意两边之和大于第
三边，任意两边之差小于第三边．

25．三角形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x﹣3x）cm、（﹣x+6x﹣2）cm
①求这个角形的周长；
②x是否可以取2和3？如果可以，求出相应的三角形的周长；如果不可以，请说明理由．
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考点： 整式的加减；三角形三边关系．
专题： 应用题．
分析： （1）三角形三边相加即可求出周长；
（2）将x分别代入三边长计算，利用三角形的三边关系判断，求出周长即可．
22222
解答：
解：（1）周长为（11﹣2x）+（2x﹣3x）+（﹣x+6 x﹣2）=11﹣2x+2x﹣3x﹣x+6x﹣2=x+x+9；
（2）当x=2时，三边长分别为 7，2，6，能构成三角形，周长为15；当x=3时，三边长分别
为5，9，7，能构成三角形，周长 为21．
点评： 此题考查了整式加减的应用，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26．一个四边形的周长是48cm，已知第一条边长是acm，第二条比第一条边的2倍长3cm，第三条< br>边等于第一、第二两条边的和．
（1）用含a的代数式表示第四条边．
（2）当a=7时，还能得到四边形吗？说说理由．

考点： 列代数式；代数式求值；三角形三边关系．
分析： （1）根据四边的周长等于四边的和把四边分别表示出来用周长减去其他3边就可以表示出第
4边了．
（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．
解答： 解：（1）由题意，得
48﹣a﹣（2a+3）﹣（a+2a+3）
=42﹣6a；

（2）当a=7时，则42﹣6a=0，
∴第四边为0．
∴不能构成四边形
点评： 本题考查了列代数式，代数式的值，构成四边形的关系，合并同类项法则的运用．

27．小明同学在研究了课本上的一道问题“四根小木棍的长度分别为2cm，3cm，4cm，和5c m，任取
其中3根，可以搭成几个不同的三角形？”后，提出下列问题：长度分别为a，b，c（单位： cm）的
三根小木棍搭成三角形，已知a，b，c都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，用满足上述条 件的三根小木
棍能够搭出几个不同的三角形？请你参与研究，并写出探究过程．

考点： 三角形三边关系．
专题： 探究型．
分析： 根据三角形的三边关系：任 意两边之和大于第三边可得a+b＞c，又有a≤b＜c可得b＜c＜a+b，
c﹣b＜a≤b，根据四 根小木棍的长2cm，3cm，4cm，和5cm可得1＜a≤5，在分别讨论a=2、3、
4、5时， b的值即可．
解答： 解：若三边能构成三角形则必有两边之和大于第三边，即a+b＞c，
又b＜c，则b＜c＜a+b，
又c﹣b＜a≤b，故1＜a≤5，从而a=2，3，4，5，
当a=2时，5＜c＜7，此时c=6，

当a=3时，5＜c＜8，此时c=6，7，
当a=4时，5＜c＜9，此时c=6，7，8，
当a=5时，5＜c＜10，此时c=6，7，8，9；
故一共有1+2+3+4=10个．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边；当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，
不 符合的舍去．

28．如图，在四边形ABCD内找一点O，使OA+OB+OC+OD之和最小，并说出你的理由．


考点： 三角形三边关系；多边形的对角线．
专题： 证明题．
分析： 连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；
取不同于点O的任意一点P， 连接PA、PB、PC、PD，根据三角形任意两边之和大于第三边
可得PA+PC＞AC，PB+PD ＞BD，然后结合图形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
从而可得点O就是 所要找的四边形ABCD内符合要求的点．
解答： 解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．

点评： 本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，本题渗透
了反证法的 思想，希望同学们逐渐适应并熟练掌握．

29．若三角形三边长分别为2x，3x，10 ，其中x为正整数，且周长不超过30，求x的取值范围．写
出这个三角形的三边长．

考点： 三角形三边关系；解一元一次不等式．
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分析： 根据周长不超过30，先确定x的取值范围，再根据x为正整数，确定x的取值 ，最后根据三
角形的三边关系求出这个三角形的三边长．
解答： 解：2x+3x+10≤30
x≤4，即x可取1、2、3、4
当x等于1时，三边长为2，3，10构不成三角形；
当x等于2时，三边长为4，6，10构不成三角形；
所以，当x等于3时，三边长为6，9，10；
当x等于4时，三边长为8，12，10．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系和解一元一次不等式，注意三角形的任意两边之和都大于第
三边．

30．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足|a﹣4|+（b﹣1） =0，求△ABC中c边的
长．

考点： 三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析： 先根据非负数的性质求得a，b的值，再根据三角形三边关系解答．
解答：
解：∵|a﹣4|+（b﹣1）
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=0，
∴a=4，b=1．
又a，b，c均为三角形的三边，
∴3＜c＜5．
∵c为整数，
∴c=4．
答：△ABC中c边的长为4．
点评： 本题要特别注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；
初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．

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