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三 角 形
知识结构：
1、三角形的定义：
2、基本元素：三条边、三个角


不等边三角形


按边分

等腰三角形


等边三角形




3、三角形的分类



锐角三角形


按角分


< br>直角三角形


钝角三角形



4、相关 概念与性质


中线


三线

高线


角平分线



180

内角和等于


余。


内角性质

推论1：直角三角形两锐角互

推论2：外角性质


于第三边 ；

三边关系：两边之和大

两边之差小于第三边。



知识点1、三角形中的相关概念
例0 1．如图，AD是
ABC
的中线；BE是
ABC
的角平分线，CF是ABC
的高，则
BD
_____

11
_____ __；
ABE
________

______；

______

______
90
.
22
< br>例02．如图，
ACB90
，
CDAB
于D，则BC边上的高 是______，AC边上的高是_______，
AB边上的高是_______，三条高的交点是________.
说明 在直角三角形中，有两条高恰好是它的两条边.

例03．下面说法中错误的是（ ）
（A）三角形的三条中线都在形内； （B）三角形的三条高线都在形内；
（C）三角形的三条内角平分线都在形内； （D）直角三角形有两条高线与直角边重合.
说明 钝角三角形三条高中，钝角边上的两条高在三角形外。

例04．⑴三角形的一条高是（ ）
A.直线 B.射线 C.垂线 .D.垂线段
⑵下列说法中正确的是（ ）
A．如图1，由AB
、
BC
、
DE三角形线段组成的图形是三角形.
B．如图2，已知
BADCAD
，则射线AD是
ABC
的角 平分线.
C．如图，已知点D为BC的中点，则线段AE为
ABC
的中线.
D．如图，已知
ABC
中，
ADBC
于点D，则线段AD是ABC
的高.
说明 三角形的中线、高线、角平分线都是一些相应的线段而不是射线。

1

例05．下列每个图形中各有哪些三角形.






说明： 数三角形的个数容易少数或多数，故必须按照一定的顺序去数. 先数出个数后，再写出是哪些三角形.

AC3cm
，例06．已知AD
、
AE分别为
ABC
的中线、高线，且
AB5cm
，则
ABD
与
ACD< br>的周长之差为_______，
ABD
与
ACD
的面积关系为__ _____.
说明：⑴⑵等底同高的三角形面积相等

例07．
如图在 ABC中，已知AC＝8，BC＝6，ADBC于D，
AD＝5，BEAC于E，求BE的长
B
D
说明：通过三角形的面积公式，用“等面积法”来求线段长度是一种常见的方法。

知识点2、内角和
例01．在
ABC
中，
（1）
A 80,BC
，则
B
_____________；
（2）< br>AC35,BA20
，则
B
___________ __；
（3）
C90
，
A30
，则
B< br>_____________.
说明：⑴本题有一个隐含的条件，即
AB C180
；⑵用“方程思想”是一种常见的方法。

例02．一个三角形的一个 外角是它相邻内角的
1.5
倍，是一不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.
说明：三角形的一个外角与它相邻的内角之间的关系是互补，而且是与它不相邻的两内角之和.

例03．如图，已知：在
ABC
中，
ABAC,AEF AFE
，延长EF与BC的延长线交于G.
求证：
G
A
E
C
1
(ACBB)

2
说明：对于比较复杂的几何证明题，可以尝试运用“反推法”。

例04 ．如图，已知
A27
，
CBE96
，
C30.
求：
ADE
的大小.



例0 5．已知：BD为
ABC
的角平分线，CD为
ABC
的外角的
 ACE
的平分线，它与BD的延长线交于D. （如下
图）求证：
A2D





2

说明：已知三角形的一个内角平分线和一个外角平分线，可以想到利用外角与内角的关系证题。
例06．已知：如图，在
ABC
中，
ADBC
于D，AE平分
BAC
（
CB
）
求证：
EAD
1
(CB)

2



例07．如图，P是
ABC
内任一点，求证：
BPCA
.




说明：证明此类角的不等关系时，大多考虑三角形内角和定 理的推论，即三角形的一个外角大于任何一个和它不
相邻的内角，它指出了三角形的一个外角与它不相邻 的内角的不等关系。

例08．已知：如图，在
ABC
中，
A :B:C3:4:5
，BD
、
CE分别是边AC、AB上的高，BD
、
CE相交于H，
求
BHC
的度数.





例09．如图，已知：CE为
ABC
外角
ACD
的平分线. CE交AB的延长线于点E.
求证：
BACB





例10．如图，五角星ABCDE，求
ABCDE
的度数.





说明：欲求
ABCD E
的度数，则可设法把它们转化在一个三角形中。

知识点3、三边关系
例01．在
ABC
中，
AB9,BC2
，并且AC为奇数，那么ABC
的周长是多少？
例02．如图，在等腰
ABC
中，
ABAC
，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个
三角形的 腰长及底边长.





3

例03．已知长度为
2cm,3cm,4cm,5cm
的四 条线段，能组成多少个不等边三角形？




例04．已知等腰 三角形的周长是14
cm
，底边与腰的比为
3:2
，求各边的长.





例05．如图，D是
ABC
内任意一点，BD延长线与AC交于E点，连结DC.
求证：
ABACBDDC
.




说明 求证的结论是边的不等关系，因此，应考虑 “两边之和大于第三边”。


例06．如图，O为
ABC
内一点.
求证：
OAOBOC
1
(ABBCCA)

2




例07．两根木棒的长分别为3
cm< br>和5
cm
，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是多少？



例08． 草原上有4口油井，位于四 边形ABCD的4个顶点，如图1现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能
使它到4口油井的距离 HA+HB+HC+HD为最小，说明理由.

C

D
A
B

4