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三角形三边关系的典型题例析
三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形 的两边的和大于
第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许
多典型的几 何题目.现举例说明.
一、确定三角形某一边的取值范围问题
根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：
已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.
例1 用三条绳子 打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分
别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.
简析 设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.
故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.
二、判定三条线段能否组成三角形问题
根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即
可.
例2 （1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾
相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A.5cm、7cm、10cm B.7cm、10cm、13cm
C.5cm、7cm、13cm D.5cm、10cm、13cm
（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三
角形的是（ ）
A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm
D.2cm,3cm,6cm
C.12cm,5cm,6cm

简析 由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞
8，故应选B.
例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）a－3，a，3(其中a＞3)；
（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；
（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).
简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线
段不能组成三角 形.
（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，
所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.
（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，
所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.
三、求三角形某一边的长度问题
此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可 能有一
个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及
推论.
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm
和21cm两部分，求 这个三角形的腰长.
简析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点. 1111
根据题意，得x+
2
x＝12，且y+
2
x＝21；或 x+
2
x＝21，且y+
2
x＝
12.
解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.

显然当x=8，y=17时， 8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的
A

腰长是14cm.


B
图1
A
D
C

D

P
B C


图2
例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇
数，则第三边长为______.
简析 设第三边长为x厘米，因为9-2数，
所以x=9.故应填上9厘米.
四、求三角形的周长问题
此类求三角形的周长问题 和求三角形某一边的长度问题一样，也会设
计陷阱，所以也应避免答案的错误.
例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于
_______.
简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰
还是底，
故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即
周长等于16；
当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是
16或17.
五、判断三角形的形状问题
判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.

例7 已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca= 0.
试判断三角形的形状.
简析 因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a 2+2b2+2c2－2ab－2bc
－2ca=0.
于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.
此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，
即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角
形.
六、化简代数式问题
这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确
定代数式的符号.
例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，
求b的值.
简析 因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.
所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5.
七、确定组成三角形的个数问题
要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，
做到不漏不重.
例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，
能组成三角形的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
简析 由三角形的三边关系知： 若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则

可以组成三角形；若以长度分别为3cm、 4cm、5cm，则可以组成三角
形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形； 若以长
度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为2cm、3cm、
4 cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选
C.
例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少
个？
简析 设较大边长为a，另两边长为b、c.因为a＜b＋c，
1
(a＋b＋c).又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c.
2
1
所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c).
3
1111
所以，(a＋b＋c)＜a＜(a＋b＋c).×24＜a＜×24.
3232
故2a＜a＋b＋c，a＜
所以8＜a＜12.即a应为9，10，11.
由三角形三边关系定理和推论讨论知：

a9,


b8,


c7 ,


a10,


b8,

< br>c6,


a10,


b9,


c5,


a11,


b7,


c6,


a11,

a1 1,

a11,


b8,

b9,< br>
b10,


c5,

c4,
< br>c3.

由此知符合条件的三角形一共有7个.
八、说明线段的不等问题
在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借 助三角形三边之
间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用 .
例11 已知P是△ABC内任意一点，试说明:
AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞
1
(AB＋BC＋CA)的理由.
2
简析 如图2，延长BP交AC于D点.在△ABD中，可证明AB＋AD＞BP＋PD.
在△PDC中，可证明PD＋DC＞PC.两式相加，可得AB＋AC＞BP＋PC，
同理可得AB＋BC＞PA＋PC，BC＋CA＞PA＋PB.
把三式相加后除以2，得AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC.

在△PAB中，PA＋PB＞AB；在△PBC中，PB＋PC＞BC；
在△PAC中，PA＋PC＞CA.
1
(AB＋BC＋CA)，
2
1
综上所述：AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞(AB＋BC＋CA).
2
上面三式相加后除以2，得PA＋PB＋PC＞