分公司注册-八年级下册数学期末试卷

浅谈特殊角的三角形各边的关系以及其面积与各边的关系
九号风景工作室
只要是授完初中教育的人，大家都知道直角三角形各边的关系可以由勾股定理可得: 斜边的平方等于< br>两条直角边的平方和，且其面积等于直角边之积的二分之一。这里我要探讨的问题是三角形中已知一个特< br>殊角（如：30度角，45度角，60度角，120度角，135度角，150度角）及其各边，那么情形 又如何呢？
三角形各边是否也存在着某种特殊关系呢？其面积是否也与三角形各边存在着某种直接或接近 的关系
呢？下面我们就此问题一起来分析探讨论证（30度角，45度角，60度角，120度角，13 5度角，150度角）
的三角形各边之间以及面积与各边之间是否存在着某种具体数量关系。
如图①所示：在△ABC中，已知：∠A=30
0
，a,b,c分别为∠A，∠B, ∠
C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？此三角形的面
积又会与其各边 a,b,c存在怎样的数量关系呢？
分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点D，
所以： ∠ADC=∠BDC=90
0
.在直角三角形ADC中,
∠ADC=90，∠A=30
0
,所以：CD=
11
AC= b,
22
AD=
333
AC = b. 同时在直角三角形BDC中, ∠BDC=90
0
,由图①可得：BD=AD-AB= b-c,
222
2222
由勾股定理可得：BC =BD +DC .即：a =（
222
化简可得：a= b -
3
bc+c ，所以：S
3
1
22
b-c） +（ b）。
2
2
=
ABC
111bc
AB·CD= c· b= 。
2224
如图②所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？
分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以：∠ADC=
∠BDC=90。在直角三角形ADC中 ,∠ADC=90，∠A=30所以：
000
CD=
33
11
AC= b，AD= AC = b. 同时在直角三角形
22
22
0
BDC中, ∠BDC=90，由图②可得：BD=AB-AD= c-
3
b.由
2
勾股定理可得：BC = DC+BD .即：a =（
2222
b）。化简可得：a= b -
3
bc+c， 所以：S
2222
3
1
2
b）+（c-
2
2
=
ABC
111bc
AB·CD= c· b= 。
2224
0
由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我 们可以得出结论：有一个角为30的三
角形其各边的关系是：30度角所对的边的平方等于另两边的平方 的和与另两边的积的
3
倍的差; 其面
积等于30度角两邻边之积的四分之一。

1

要是∠A为45
0
角的三角形，它们各边又有怎样的关系呢？其面积与其各边又有怎样的数量关系呢？
如图③所示：在△ABC中，已知∠A=45
0
，a,b,c分别为∠A，∠
B, ∠C的对边，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？三 角
形的面积又各边a,b,c存在怎样的数量关系呢？
分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点
D，所以： ∠ADC=∠BDC=90
0
.在直角三角形ADC中, ∠ADC=90
0
，
0
∠A=45,所以：AD=CD=
22
b ,由图③可得：BD=AD-AB= b- c .
22
同时在直角三角形BDC中, 由勾股定理可得：BC
2
=BD
2
+DC
2
.即：
2
a =（
22
22222
b-c） +（b）。化简可得：a= b -
2
bc+c ，
22
=
ABC
所以：S
2
2bc
11
AB·CD= c· b= 。
4
2
22
如图④所示： 假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？
分析：过点C作CD⊥AB且交AB于点D，所以 ：∠ADC=∠BDC=90
0
。在
直角三角形ADC中, ∠ADC=90
0
，∠A=45
0
，所以：AD =CD=
2
b， 同时在直角三角形BDC中, ∠BDC=90
0
，
2
由图④可得：BD=AB-AD= c-
222
22222
b.由勾股定理可得：BC = DC+ BD，即：a =（ b）+（c-
222
=
ABC
2222
b）。化简可得：a= b -
2
bc+c， 所以：S
2
2bc
11
AB·CD= c· b= 。
4
2
22
0
由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论 ：有一个角为45的三角
0
形其各边的关系是：45角所对的边的平方等于另两边的平方的和与 另两边的积的
2
倍的差; 其面积等
于45角两邻边之积的四分之根号二。
同样的方法我们来分析一下60 角的三角形的情况。
如图⑤所示：在△ABC中，已知∠A=60 ，a,b,c分别为∠A，∠B, ∠
C的对边 ，那么三角形各边a,b,c会有怎样的数量关系呢？三角形的面积
又各边a,b,c存在怎样的数量关 系呢？
分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AB且交AB的延长线于点D，

2
0
0
0

所以： ∠ADC=∠BDC=90
0
.在直角三角形ADC中, ∠ADC=90
0
，∠A=60
0
,
所以：AD=
33
111
AC= b,CD=AC= b, 由图⑤可得： BD=AD-AB= b- c .同时在直角三角形BDC
22
222
3
1
b-c）
2
+（b）
2
。化简可得：a
2
= b
2
- bc+c
2
，
2
2
中, 由勾股定理可得：BC
2
=BD
2
+DC
2
.即：a
2
=（
所以：S =
ABC
33bc
11
AB·CD= c· b= 。
24
22
如图⑥所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的
结论呢？
分析：过点C作CD⊥AB 且交AB于点D，所以：∠ADC=∠
BDC=90
0
。在直角三角形ADC中, ∠ADC=90
0
，∠A==60
0
，
所以：AD =
33
11
AC= b，CD= AC= b,
22
22
由图⑥可得：BD=AB-AD= c-
1
b, 同时在直角三角形BDC中, 由勾股定理可得：
2
3
1
22222
b）+（c- b）。化简可得：a= b -bc+c，
2
2
BC = DC+ BD，即：a =（
2222
所以：S =
ABC
33bc
11
AB·CD= c· b=。
24
22
0
由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角 为60的三角
形其各边的关系是：60角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的差; 其面积等于60角
两邻边之积的四分之根号三。
可见，特殊角为30度角，45度角，60度 角的三角形其各边确实存在某种内在的关系，其面积也与特
殊角的邻边确实存在着某种内在的关系。要是 ∠A为120的角，135的角，150的角的三角形的情况又
将如何呢？ 其实我们可以用同样的方法去分析论证得出与上面相类似的结论：
如图⑦所示：在三角形ABC中，若∠A=120，a,b,c分别为∠A，
∠B, ∠C的对边，则有：
a= b +bc+c， S
222
0
000
00
=
ABC
3bc
0
。（即三角形中120角所
4
对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的 和; 其面积等
于120角两邻边之积的四分之根号三）
0

3

如图⑧所示：在三角形ABC中，若∠A=135
0
，a,b,c
分别 为∠A，∠B, ∠C的对边，则有：
a
2
= b
2
+
2
bc+c
2
， S =
ABC
2bc
。（即三角形
4
中135
0
角所对的边的平方等于另两边的平 方的和与另两边
的积的
2
倍的和; 其面积等于135
0
角两邻边之积的四分
之根号二）
如图⑨所示：在三角形 ABC中，若∠A=150
0
，a,b,c
分别为∠A，∠B, ∠C的对边，则有：
222
a= b+
3
bc+c， S =
ABC
bc。（即三角形中150
0
角所
4
对的边的平方等于另两边的平方的和与另 两边的积的
3
倍的
和; 其面积等于150
0
角两邻边之积的四分之一）
要是你对上面这些结论有疑 问的话，你可以用以上的方法去分析论证一下，看看能不能得出与上面相
同的结论，有句话说得好，事实 胜于雄辩，理论来源实践，有兴趣的话你不烦试试。








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