工作思路-会计工作总结范文

怎样求三角形的边与角

近几年高考中，已知三角形中的一些边与角的关 系式，求边长或角的大小或角的某种三角函
数值已经成为高考的热点，此类题目在高考中多为容易题，但 是许多学生三角知识比较薄弱，失分
较多.为了帮助同学们掌握这个知识点,熟悉这类题目的一般解法， 我们选择近年的高考典型题进行
归类研究.
一、解答此类题所需的基础知识：
设角
A、B、C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，
ABC
的外接圆半径为
R
.
1、三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式等：
sinCsin[

(AB)]sin(AB)sinAcosBcosAsinB
，
c osCcos[

(AB)]cos(AB)cosAcosBsinAs inB
，
sin2A2sinAcosA
，
cos2Acos
2
Asin
2
A2cos
2
A112sin
2
A
.
2、余弦定理：
cab2abcosC
，
2 22
a
2
b
2
c
2
角化边：
cosC 
，
2ab
a
2
b
2
c
2
cosC
. 边化角：
2ab
特例：勾股定理及其逆定理.
3、正弦定理：
abc
2R
，
sinAsinBsinC
asinA

，等.
bsinB
abcsinAa
,sinB,sinC,
，等. 角化边 ：
sinA
2R2R2RsinBb
边化角：
a2RsinA,b2R sinB,c2RsinC,
二、基本题型：
（一）角化边比较合理的，化边后一般又可 以使用余弦定理、勾股定理或者与已知的边的关系
式联立为方程组.
例1、在
AB C
中，
sinAcosBsinC
，求证：
A
解析：由正、余弦 定理：

2
.
a
2
c
2
b
2
ac
，∴
a
2
c
2
b
2，
2ac
由勾股定理的逆定理：
A

2
.
22
例2、在
ABC
中，
ac2b
，且
sinAc osC3cosAsinC
，求
b
.

a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
3c
，
2(a
2
c
2
)b
2
，又
a
2
c
2
2b
， 解析：
a
2ab2bc
∴
4bb
，又
b0
，∴
b4< br>.
例3、在
ABC
中，
22(sin
2
Asi n
2
C)(ab)sinB
，
ABC
的外接圆半径为
2
.求
C
.
解析：由正弦定理：
sinA
2
aabbcc
,sinB,sinC,

2R
22
2R< br>22
2R
22
a
22
)
2
(
c< br>22
)
2
](ab)
b
22
， ∴已知条件可 化为：
22[(

a
2
b
2
c
21

，
C
.
abcab
，由余弦定理：< br>cosC
3
2ab2
222
例4、在
ABC
中，
acosBbcosAcsinC
，求
C
.
a
2< br>c
2
b
2
b
2
c
2
a2
bc
， 解析：由余弦定理：
acosBbcosAa
2 ac2bc
∴已知条件可化为：
ccsinC
，
sinC1
，∴
A

2
.
例5、在
ABC
中，
2a sinA(2bc)sinB(2cb)sinC
，求
A
.
解析：由正弦定理：
2aa(2bc)b(2cb)c
，∴
a< br>2
b
2
c
2
bc
，
2
< br>b
2
c
2
a
2
1

，∴A
∴
cosA
.
3
2bc2
（二）边化角比较合 理的，化角后经常得到特殊角,一定要注意角的取值范围，可能有不合题意
的解(例2)!经常利用三角 函数的单调性得到角的相等关系(例3).
例1、在
ABC
中，
acos B3
，
bsinA4
，求
a
.
解析：
aco sB3sinAcosB3

，由正弦定理：

，
bsinA4sinBsinA4
cosB33

，∴
cosB
，
a5
.
sinB45
3
2
cos(AC）cosB，
，
例2、 设⊿ABC的内角A、B、C的对边长分别为< br>a
、b、c
b
2
ac,
求
角B.
co sB
解析：由
cos(AC）
3
及
B

( AC)
得：
2
3
cos(AC）-cos(AC），
< br>2

33
cosAcosCsinAsinC(cosAcosCs inAsinC)，sinAsinC，

24
由
bac
及正 弦定理得
sinBsinAsinC
，
∴
sinB
2
2
22
3

2

3
，
.
sin B,
B
或
B
433
2
但是由
bac知
ba
或
bc
.所以
B
例3、已知
A BC
的内角
A
，
B
及其对边
a
，
b
解析：∵
sinAsinBsinA

3
.
满足
abacotAbcotB
，求内角
C
．
cosAcosB
sinB
，
sinAsinB
∴
s inAsinBcosAcosB
，
sinAcosAcosBsinB
，
∴
2sin(A)2sin(B)
，∴
sin(A)sin( B)

4444

3

3

, B
， 又
A
444444


∴A

4


4
B
，
AB
2
，
C

2
.
（三）以角变换为主要变 形的,主要利用三角形内角和定理、诱导公式、和角公式、二倍角公式
等：
例1、在
ABC
中，
sinAcosBsinC
，求证：
A

2
.
解析：
sinAcosBsin(AB)sinAcosBcosA sinB
，
cosAsinB0
，又
0B

，∴< br>sinB0
，
∴
cosA0
，又
0A
< br>，∴
A

2
.
例2、设
ABC
是锐角 三角形，
a,b,c
分别是内角A，B，C所对边长，并且
sin
2
Asin(B)sin(B)sin
2
B.
求角A的值.
33解析：
sinA(
2

3131
cosBsinB)(c osBsinB)sin
2
B,

2222
sin
2< br>A
333

3
cos
2
Bsin
2B,
sinA,
又
A
为锐角，
A
.
4443
2
例3、在⊿ABC中，
sin(CA)1,sinB.
求< br>sinA
的值.
解析：由
sin(CA)1
得
CA
1
3

2
,

∴
B
< br>A(
∴
sinBsin(

2
A)
2
2A
,

1
2A)cos2A12sin
2
A.
23
∴
sinA
例4、
2
1
3
,又
sinA0
，∴
sinA
.
3
3
⊿ABC中， 角A、B、C的对边长分别为在
sinAsinB
,
sin(BA)cosC.
求A，B；
cosAcosB
sinAsinBsinCsinAsinB< br>,
即
,
解析： 因为
tanC
cosAcosBco sCcosAcosB
∴
sinCcosAsinCcosBcosCsinAcos CsinB
，
∴
sinCcosAcosCsinAsinBcosCcosBsinC
，
tanC
a、b、c，
∴
sin(CA)sin(BC)
，
∴
CABC
，或< br>CA

(BC)
（不合题意）
∴
AB2C，又
ABC

，∴
C
又
sin(BA)c osC
∴
A

3
,∴
AB
2
< br>.
3
1

5

,则
BA
或< br>BA
(舍去)
266

4
,B
5

.
12
（四）有些题目利用几何意义求解十分方便,特边别是解答选择题或者填空题的时候.这里的几何
意义主 要有直角三角形边角关系、三角形的外接圆直径等.
BbcoAsc
，
sC例1、在
ABC
中，
acos
则
C__________
.
解析：如图1,作
ABC
的高
CD
,则当
D
在边
AB
上时,
BDacosB,ADbcosA
,
∴
cABADBDacosBbcosA
,当
D
在边
A B
的延长
线或反向延长线上时,
acosBbcosAc
仍然成立.
∴已知条件可化为：
ccsinC
，
sinC1
，∴
A 

2
.
例2、在
ABC
中，
acosB3
，
bsinA4
，求
a
.
解析：仍然利用图1有，BDacosB3
，
CDbsinA4
，
由勾股定理：
aBC
例3、在四
BD
2
AD
2
5.

边形
ABCD
中，
ABB
，
D
ADDC
,
BCD120
,
BD3
,则
AC__________
.
解析：如图2，由圆的知识
AC
为
BCD
外接圆的直径. 由正弦 定理
C
A
图2
B

BD
3
2RA C
,∴
AC2.

sinBCD
sin120
总之, 从上面的例题可以看出,关键是利用正弦定理和余弦定理进行边与角的转化,转化时还
经常利用三角恒等 变形,变形转化时一定要依据目标进行,不可盲目变形,另外还要重视数形结合结
合思想的在解题中的利 用.