生活的图片-曾参烹彘

七楼A座办公家园




精品内容
请下载使用
希望对您有所帮助

第22讲相似三角形及其应用
一、知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形 形状相同的图形称为相似图形
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相
定义
相似多边形
相似比
等，那么这两个多边形相似
相似多边形对应边的比称为相似比
k

七楼A座办公家园

七楼A座办公家园
两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相
相似三角形
似．当相似比
k
＝1时，两个三角形全等
比例线段
定义
对于四条线段
a
、
b
、
c
、
d
， 如果其中两条线段的
求两条线段的比时，
比例
线段
长度的比与另两条线段 的长度的比相等，即
对这两条线段要用同一
____________，那么，这四条线段叫做 成比例线段，简
长度单位
称比例线段
在线段
AB
上，点
C
把线段
AB
分成两条线段
AC
和
黄金
分割
防错提醒
BC
(
AC
＞
BC
)，如果____ ____，那么称线段
AB
被点
C
黄
金分割，点
C
叫做线段
AB
的黄金分割点，
AC
与
AB
的
比叫做 黄金比，黄金比为________
平行线分线段成比例定理
一条线段的黄金分
割点有______个
定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应
推论
线段的比________
相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
判定定理1
形________
判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那
判定定理3
么这两个三角形相似
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两
判定定理4
个三角形相似
七楼A座办公家园

七楼A座办公家园
拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
相似三角形及相似多边形的性质
(1)相似三角形周长的比等于相似比
三角形
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
(1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形
定义
位似与相
似关系
两个多边形 不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，
像这样的两个图形叫做位似图形，这个点 叫做位形中心
位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连
线相 交于一点，对应边互相平行
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；
位似图形
的性质
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；
(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；
(4)位似图形对应角相等
以坐标原
点为中心
的位似变
换
(1)确定位似中心O；
位似
作图
(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；
(3)按照相似比取点；
(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
在平 面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么
位似图形对应点的坐标的比等于__ ______
相似多
边形
七楼A座办公家园

七楼A座办公家园
相似三角形的应用
几何图形的证明
常见问题
与计算
建模思想
大小等
建立相似三角形模型
(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；
常见题目类
型
(2)测量底部可以达到的物体的高度；
(3)测量底部不可以到达的物体的高度；
(4)测量不可以达到的河的宽度
二、题型、技巧归纳
考点一：比例线段
例1已知直线
a
∥
b
∥
c
，直线
m
、
n
与
a
、< br>b
、
c
分别交于点
A
、
C
、
E、
B
、
D
、
F
，
AC
＝4，
CE
＝6，
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积
相似三角形在实
际生活中的应用
BD
＝3，则
BF
＝( )
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5

技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理， 熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
例2 如图△
ABC
是一张锐角三角形 的硬纸片，
AD
是边
BC
上的高，
BC
＝40 cm，
AD
＝30 cm，从
这张硬纸片上剪下一个长
HG
是宽HE
的2倍的矩形
EFGH
，使它的一边
EF
在
BC< br>上，顶点
G
、
H
分别
在
AC
，
AB
上，
AD
与
HG
的交点为
M
.
(1)求证：
AMHG


ADBC
(2)求这个矩形
EFGH
的周长．
七楼A座办公家园

七楼A座办公家园

技巧归纳：
1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；
2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
考点3三角形相似的判定方法及其应用
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12 ，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．


技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先 找两对对应角相等；②若只能找到一对对应
角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不 到角相等，就判断三边是否对应成比
例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性” ．
考点4位似
例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴 、y轴的正半轴上，正方形
A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形， 已知AC＝3√2，若点A′的坐
标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似 比是( )
七楼A座办公家园

七楼A座办公家园

A、
1112
B、 C、 D、
6323
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知 条件求得两个
正方形的边长。
三、随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿
AB
＝2 m，它的影子
BC
＝1.6 m，
木竿
PQ
的影子有一部分落在了墙上，
PM
＝1.2 m，
MN
＝0.8 m，则木竿
PQ
的长度为__ __m.

2、如图，在△
ABC
中，∠
BAC
＝60°，∠
ABC< br>＝90°，直线
l
1
∥
l
2
∥
l
3
，
l
1
与
l
2
之间距离是1，
l
2
与
l
3
之间距离是2，且
l
1
，
l2
，
l
3
分别经过点
A
，
B
，
C
，则边
AC
的长为

．

3 、如图，将正方形纸片
ABCD
沿
MN
折叠，使点
D
落在边
AB
上，对应点为
D
′，点
C
落在
C
′处 ．若
AB
＝6，
AD
′＝2，则折痕
MN
的长为 ．

七楼A座办公家园

七楼A座办公家园
参考答案
ACBD43
例1、因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.
CEDF6DF
例2、解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
AMHG
∴△AHG∽△ABC，∴ ＝.
ADBC
AMHG
(2 )由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
ADBC
30－x2x
可得＝，解得x＝12，2x＝24.
3040
所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．
例3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.
∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；
(2)∵△ABE∽△DEF，
BEAB
∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，
EFDE
∴BE＝AB＋AE＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，
106
∴＝，
EF4
20
解得EF＝.
3
例4、 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方 形的
边长后即可求两个正方形的相似比．
∵在正方形ABCD中，AC＝32，
∴BC＝AB＝3.
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为(1，2)，
∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
22
七楼A座办公家园

七楼A座办公家园
1
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.
3
故选B.

随堂检测
1、 2.3
2、
2
21

3
210






真诚的期待能帮助到您
希望您再次下载

3、
THANKS
七楼A座办公家园