山东省高考分数线-这就是我的中国梦

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三角形三边关系定理的应用

关于三角形三边关系，有 下述定理：三角形任意两边之和大于第三边。其推论为：三角
形任意两边之和小于第三边。这个定理及其 推论在解题中有着较为重要的应用，下面举例说
明，希望对大家学好这部分知识能有所帮助。
一、判断三点是否共线
例1：已知A、B、C三点，且AB=3，BC=5，AC=7。是判断这三点是否在一条直线上？
解：∵AB+BC=3+5=8，AC=7，∴AB+BC >AC
故A、B、C三点不在同一条直线上。
二、已知三条线段，判断它们能否构成三角形
例2：下列几组线段中，不能构成三角形的是（ ）
A．3.1，4.2，7 B．2.8，14.7，18 C．10，6，8 D．6.8，5.3，12
解析：根据三角形三边关系定理，取较小的两边之和与最大边进行比较，只有
2.8+14.7=17. 5<18成立。所以本题应选B。
三、求三角形的某一条边长（或取值范围）
例3：等腰三 角形的底边长为5cm，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差
为3cm，则腰长为（ ）
A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．3cm
解析：设腰长为acm，则根据题意有：(a+
解之得：a=8或a=2。
但当a=2时，2+2<5，应舍去。故本题应选B。
例4：已知三角形的两边长分别为1、2，如果第三边的长为整数，那么第三边的长为____。
解：设第三边长为x，则根据三角形的三边关系有：2－1∵x为正整数，∴第三边的长为2。
四、讨论三角形的周长（或取值范围）
例5：若三角形的两边长分别为7和1，且第三边长为整数，则此三角形的周长为_____。
解：要求三角形的周长，首先要求出第三边的长。设第三边的长为x，则据定理有：
7－1又∵x为正整数，∴x=7
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aaaa
)－(+5)=3或(+5)－(a+)=3
2222

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故三角形的周长为：7+7+1=15。
例6：三角形两边分别为a、b，且al
的取值范围是（ ）
A．3a<
l
<3b B．2b<
l
<2(a+b) C．2a+b<
l
解析：∵a+b>c，∴2(a+b)>a+b+c，
即
l
<2(a+b) ①
又a+c>b，∴a+b+c>b+b=2b，
即
l
>2b ②
比较①、②两式知：2b<
l
<2(a+b)，故本题应选B。
五、判断符合条件的三角形的个数
例7：三角形的三边长都为自然数，其中一边是4（但不是 最短边），这样的三角形共
有____个。
解析：设最短边为x，另一边为y，则有：1≤x≤3，且4－x当x=1时，y=4；
当x=2时，y=3，4，5；
当x=3时，y=3，4，5，6。
故符合条件的三角形共有8个。
六、讨论代数式的取值范围
例8：若a、b、c是三角形的三条边，则代数式a
2< br>－2ab－c
2
+b
2
的值是（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
解：a
2
－2a b－c
2
+b
2
=(a
2
－2ab+b
2
)－c
2
=(a－b)
2
－c
2
=(a－b+c)(a－b －c)
∵a+c>b，∴a－b+c>0；又∵a∴(a－b+c)(a－b－c)<0，故本题应选C。
七、证明条件等式
例9： 已知在△ABC中，a
2
－16b
2
－c
2
+6ab+10 bc=0，若a、b、c是三角形的三边。求证：
a+c=2b。
证明：∵a
2－16b
2
－c
2
+6ab+10bc=0，∴(a
2
+6ab+9b
2
)－(25b
2
－10bc+c
2
)=0 ∴(a+3b)
2
－
(5b－c)
2
=0
∴[(a+3b )+(5b－c)][(a+3b)－(5b－c)]=0，即（a+8b－c）(a－2b+c)=0
∵a+b>c，∴a+8b－c>0
∴只有a－2b+c=0，即a+c=2b。
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八、证明不等式
例10： 如图1，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，求证：AB+BC+AC>2AD。
A
B
D
C

图1
证明：在△ABDH△ACD中，∵AB+BD>AD，AC+DC >AD，∴AB+(BD+DC)+AC >2AD
∵BD+DC=BC，∴AB+BC+AC>2AD。
例11：如图2所示，P是△ABC内的任意一点。求证：PB+PCA
P
B
图2
证明：延长BP交AC于E。∵EP+EC>PC，
E
C

∴BP+EP+EC>BP+PC，即BE+EC>BP+PC ①
∵AE+AB>BE，∴AE+EC+AB>BE+EC ②
由①、②可知PB+PC例12：如图1所示，P为边长为1的等边△ABC内的任意一点，设
l
=PA+PB+PC 。求
证：1.5<
l
<2。
A
M
B
P
N
C

图3
证明：∵AP+PB>AB，AP+PCBC
∴2(AP+BP +CP)>AB+AC+BC=3，∴
l
>
3
=1.5
2
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过P作MN∥BC交AB、AC于M、N，∴PA∴PA+PB+PC∴PA+PB+PC<2，∴1.5<
l
<2。

练习：
⒈ 长度分别为2，3，4，5的四条线段可确定多少个不同的三角形？
⒉ 边长分别为4和9的三角形是等腰三角形，试确定这个等腰三角形的底边和腰长。
⒊ 已知一个三角形有两边分别为6和8，求这个三角形周长m的取值范围。
⒋ 一个三角形的两边分别为5和1997，且周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（ ）
A. 1个 B.3个 C.5个 D.7个
⒌ 在△ABC中，点D在AB上，BD=CD。求证：AB>AC。

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