直角三角形的边角之间的关系(中考复习)
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直角三角形的边角之间的关系（中考复习）
知识考点一：直角三角形的三边之间的关系
1、正切的定义
在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正
切，记作tanA。
即tanA=
A的对边a
A的邻边b
例1已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，
求tanA
的值。
2、正弦、余弦的定义
在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
即sinA=
A的对边a
斜边c
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
即cosA=
A的邻边b
斜边c
例1：在△ABC中
，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、
cosB的值。通过计算你
有什么发现？
4、三角函数的定义（重点）
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间
存在如下关系：
（1）三边之间关系：
a
2
b
2
c
2
；
（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间关系：sinA=，cosA=
，tanA=。（其中∠A的对边
为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）
除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以
上关系求另外3个元素。
例1：方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其
中
BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
a
c
b
c
a
b
巩固练习：
1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=，求CD的
长。
3
5
2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana
3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=，求tanA
的值。
1
3
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
5<
br>，周长为30，求△ABC的面积。
12
5、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则
sinB
的值是多少？
知识考点二：30°，45°，60°角的三角函数值
1、30°，45°，60°角的三角函数值
根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正
弦、余弦和正切值。
例1求下列各式的值。
（1）
sin60sin30
；
（2）
tan
2
604tan60422sin45
。
tan60
巩固练习：
1、2
cos45
的值等于________。
2、求下列各式的值。
（1）
2sin303tan30tan45
；
（2）
cos
2
45tan60cos30
。
3、已知a为锐角，且tana=5，求
sina3cosa
的值。
2cosasina
3
4、计算
3sin602cos458
。
能力过关检测
一、填空题：
1．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。
2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，cosA .
3．比较下列三角函数值的大小：sin40
0
cos40
0
4、化简：
sin30
tan60
。
sin60
3
5
5．若
A
是锐角，
cosA >
3
，则∠A应满足 。
2
6．
小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部6米处测得顶端的仰角是
60
0
，已知小芳的身
高是1米5，则旗杆高 米。（保留
1位小数）[来源:学科网]
7
、某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋
转．某一指令规定：机器人先向正前方
行走１米，然后左转45°.
若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人
共走了 米．
8、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60
0
，如果点P
是菱形内一点，且
PB=PD=2
3
，那么AP的长为 .
二、选择题：
9、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的长是（ ）
A. B. C. D.
10、已知等边△ABC
（
）
A.2 B.
3
C.2
3
D.4
3
11．在
ABC
中∠C=90
0
，2
∠A=∠B，∠A:∠B:∠C对边分别为a、b、
c，则a：b：c [来源:学+科+网]
等于（ ）
A．
1:2:1
B．
1:2:1
C．
1:3:2
D．
1:2:3
12、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的
2倍，那么锐角A
的边长为
4
5
3
5
3
4
4
3
2，则其面积为
的正弦值（
）
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化
13、某人沿着倾斜角α为的斜坡前进了100米，则他上升的最大高度
是（ ）
A.
14、等腰三角形底边与底边上的高的比是
2:3
，则顶角为
（ ）
A 60
0
B 90
0
C
120
0
D 150
0
15、如图，已知正方形AB
CD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋
转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠B
AD′等于
（ ）
A.1 B.
D′
B C
C
A D
A
α
E D
A
E
B
2
100
sin
米
B.100sinα米 C.
100
cos
米
D.100cosα米
C.
2
2
D.
2
B
2
D C
(第15题图)
(第16题图) (第17题图) (第18题图)
16、如图，CD是平面镜，光
线从A出发经CD上点E发射后照射到B
点。若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、
D，且AC=3，
BD=6，CD=11则tanα的值为（ ）
A.
11
B.
3
C.
9
D.
11
3
1111
9
17、如图，在300
m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为
30°和60°，则塔高CD为（
）
A.200m B.180m C.150m D.100m
18、如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，则tan∠
ACE的值为（
）
A.
1
B.
4
C.
3
D.2
2
3
4
三、解答题：
1、如图，在
RtABC
中，
BCA90
，
CD
是中线，
BC6,CD5
，
求AC的长和
tanACD
的值。
C
B
A
D
2、
某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠
道深0.8米，下底宽1.2米，坡
角为45
0
（如图所示）。，求挖土
多少立方米。
3、一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.
5
A
B
D
C
海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东
30°方向航行10海里到
达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航
线
向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
北
C
B D
[来源:
A
东 <
br>4、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得
峰顶A的仰角为α，前进m米
至D处时测得峰顶A的仰角为β(此
时C、D、B三点在同一直线上).
(1)用含α、β和m的式子表示h ；
(2)当α=48°，β=66°，m=50米时，求h的值.(精确到1米)