《三角形中边与角之间的不等关系》重难点创新教法
紫罗兰监狱-尤其
《三角形中边与角之间的不等关系》重难点创新教法
学科年级
一、教学内容分析
八年级数学 教材版本 人教版
本节课是新人教版八年
级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上
是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后
而设置的.整个探究过程充
分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形
进
行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰
三角形性质的
折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同
时本节课的探究过程中的转化思想又为
将来解决几何问题提供了重要的经验和
方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用
，对培养学生
综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.
二、学情分析
学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、
轴对称以及等腰三
角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程
中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的
探究学生应该拥有相应的知识和经验
基础.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力
.在教学过程
中直接体现出来的难点便是学生很难用几何语言去叙述辅助线的做法.
三、教学目标
1.知识与技能：
（1）通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；
（2）能利用轴对称的性
质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角
相等的转化解决边角之间的不等问题.
2.过程与方法：
通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过
探
索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长
补短等方法来
构造全等三角形的经验.
3.情感与态度：
提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充
满着探索与创新，激发学生
学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.
四、教学重难点
重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.
难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.
五、设计理念
根据本节
课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课
堂效率，采用以观察发现为主，多媒体
演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，
通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问
题情境，启发学生
思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程.
六、教学活动
活动内容
设计意图
活动一、温故知新，铺垫新知
1、如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,则∠3= °,
复习三角形
∠1 ∠3（填“>”“<”）
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠C= °
的外角和等
腰三角形的
3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则BD
CD，
性质，为探究
∠1 ∠2（填“>”“<”“=”）
三角形中边
与角之间
的不等关系
做好知识和
经验铺垫.
第1题图 第2题图 第3题图
活动二、创设情境，引入新知
问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，
那么它们所对的角也相等
。如果两条边不相等，那么这两
通过类比等
条边所对的角会不会相等呢？或者两个不相等的角所
对
腰三角形的
的边之间大小关系又怎样？这就是我们这一节课要研究
的内容：三角形中
边与角的不等关系.
边角关系猜
问题2 ：如图1，在△ABC中，边AC对∠B，边AB对
∠C，
想，引出课
AB>AC，∠C与∠B有什么样的大小关系呢？
题.
通过直观观
图1
师生活动：
学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方
察，发现在一
便，统一制作△ABC，且AB＞A
C）.
个三角形中
追问1：仔细观察自己剪出的三角形纸片，∠C与∠B有怎
角之间
的不
样的大小关系呢？
等关系
.
师生活动：同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B.
追问2：可以通过哪些方法证明∠C大于∠B呢？
师生活动：学生独立思考，发现可以通过测量或折叠得出
∠C大于∠B.
通过观察等
追问3：在以往的学习中，我们是如何用折纸来探究等腰
腰三角形的
折纸过程，类
三角形中“等边对等角”的？
师生活动：教师通过几何画板演示等腰
三角形折纸过程.
比寻找不等
学生回忆通过对折使点B与点C重合，∠B与∠C重合，
边三角形中
比较角大小
最终得到∠B与∠C相等.
的折纸方法.
追问4：这条折痕是等腰三角形的什么线？
教
学
引
入
教
学
重
点
活动三、实验探究，探索新知
探究（一）：“大边对大角”
问题3：类比刚才等腰三角形折纸的经验，我们又可以怎
样通过折叠比较出∠B与∠C的大小呢？请同学们分小组
讨论交流，并说明自己是如何通过折纸比较的
.
师生活动：学生动手操作，相互比较，小组交流，并请学
生上台展示讲解.教师几
何画板展示学生的折纸方法，让学
生体会辅助线的做法.
方法一：叠合法：在△ABC中，我
们可以将△ABC沿BC的
垂直平分线DE折叠，使点B落在点C上.
追问1：同学们思考一下折痕DE实际上就是BC边上的什
培养学生的<
br>动手操作能
力,为后面证
明时添加辅
助线作铺垫
.
让学生从折
么线？
纸实验中寻
追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？
师生活动：学生上台展示讲解证明思路，其他学生点评.
找比较∠B与
教
学
难
证明：作BC的垂直平分线DE，分别交AB、BC于E、D，
连接EC
∵DE垂直平分BC（已知）
∴EB=EC（垂直平分线性质）
教
∴∠B=∠ECB（等边对等角）
学
∵∠ACB>∠ECB
难
∠C大小的方
法，从中受到
启发，找到证
明的方法，几
何画板展示<
br>和问题设置
引导学生思
考辅助线的
作法.
通过问题引
发学生换位
思考，
寻找更
多的折纸方
法从而得到
其它的证明
方法，拓展学
点
∴
∠ACB>∠B（等量代换）
点
追问3： 我们沿着BC的垂直平分线折叠实现了∠B的转
化，那么我们是否还可以沿着三角形
的其它线折叠将∠C
进行转化呢？小组讨论交流其它的折纸方法，并说明自己
是如何比较∠B与
∠C的大小的.
师生活动：分小组交流讨论其它的折纸方法，并让学生上
台展示讲解，教师点评.
方
法二：沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折
（或将△ADB沿AD翻折）.
追问1：同学们体会一下折痕AD实际上就是BC边上的什
么线？
追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？
师生活动：学生独立思考完成，然后上台展示讲解证明思
路，其他学生点评，老师总结.
方法三：沿角平分线折叠：沿过点A的直线翻折使点C落
到AB边上.
追问1：同学们体会一下折痕AD实际上就是∠BAC的什么
线？
追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？
师生活动：学生独立思考完成，然后上台展示讲解证
明思路，其他学生点评，老师总结.
追问3：是否还有不同的方法来证明这个结论？学生展示
讲解方法四和方法五.
方法四： 方法五：
生思维的广
度和深度.
通过几何画
板的演示和
追加问题，引
导学生思考
辅助线的作
法和证明的
思路.
性质1：在一个三角形中,如果两条边不等，那么它们所对
的角也不等,大边所对的角较大（简写成大边对大角）.
符号表示：∵在△ABC中，AB>AC
∴∠C > ∠B.
探究（二）“大角对大边”
问题4：既然有“大边对大角”，那么反过来有没有“大角
对大边”呢？
如图∠C＞∠B，AB和AC有怎样的大小关系？
师生活动：学生自主分析并证明，教师通过几何画板演示
验证猜想的正确性,并归纳.
证明：作BC的垂直平分线DE，分别交AB、BC于E、D，
连接EC
通过类比思
考，让学生继
续探究证明
∵EA+EC>AC（三角形两边之和大
于第三边）
“大角对大
∴EA+EB>AC（等量代换）
边”，培养学
即AB>AC
生独立探究
性质2：在一个三角形中,如果两个
角不等，那么它们所对
的能力.
的边也不等，大角所对的边较大.（简写成大角对大边）.
符号表示：∵在△ABC中，∠C > ∠B
∴AB>AC.
∵DE垂直平分BC（已知）
∴EB=EC（垂直平分线性质）
活动四、解决问题，应用新知
例1、利用上述的两个结论，回答下面问题：
（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有
怎样的大小关系？
（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么
巩
这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？
（3）直角三角形的哪一条边最大？为什么？
师生活动：学生回答，相互补充，并说明理由.
例2、已知：如图，在△ABC中，AB>A
C，∠ABC的平分线
与∠ACB的平分线相交于点O.猜想OB与OC的大小关系.
师生活动：学生分析题中条件和解题思路,由一个三角形
中，AB>AC
，利用“大边对大角”得出∠ABC>∠ACB，根据
题设，得出这两个角的一半的大小关系，再根据“
大角对
大边”得出结论.
固
重
难
点
三个问题有
层次
、有梯度
地考查了学
生对两个性
质的认识和
运用.
例2的目的
是在证明时，
充分使用转
化的思
想，进
一步巩固“大
边对大角”
“大角对大
边”.
小
结
通过小结，使
学生梳理本
教师与学生一起回顾本节课
所学的主要内容，并请学生回
节课所学内
答以下问题：
容和研究方
法，把握本节
（1）本节课学习了哪些主要内容？
体
（2）我们是怎么探究“大边对大角”“大角对大边”的？
课的核心，
会
翻折、旋转
（3）本节课你学到了哪些来研究几何图形中的边和角的
等在研究几
大小关
系的方法.
何问题的作
用.
活动五、学有所思，感悟新知