新疆喀纳斯湖-夜夜夜夜

2017—2018学年寒假辅导 第1讲 直角萨娇新的边角关系
一、 知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义
∠A的对边
a
正弦: sinA＝＝
c
斜边
关键点拨与对应举例

根据定义求三角函数值时，一定根据
题目图形来理解，严格按照三角函数
的定义求解，有时需要通过辅助线来
构造直角三角 形.
1.
锐角三
角函数

∠A的邻边
b
余弦: cosA＝＝
c
斜边
∠A的对边
a
正切: tanA＝＝.
∠A的邻边
b
度数
三角函数

30°
1

2
3
2
45°
2

2
60°
3

2
1

2
2.
特殊角
的三角函
数值

sinA
cosA

2

2
tanA
知识点二 ：解直角三角形

3

3
1
3


科学选择解直角三角形的方法口诀：
3
.
解直角
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
三角形已知直边求直边，理所当然用正切；
的概念

已知两边求一边，勾股定理最方便；
222
(1)三边之间的关系：a＋b＝c；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
4.
解直角
aba
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
ccb
三角形的
例：在Rt△ABC中，已知a=5,
22
常用关系
(4)相等的角 ①商的关系:tanA= ;②平方关系:sinA+cosA=1.
∠A=30°，则c= ,b= .
(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.
知识点三 ：解直角三角形的应用
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在 水平线下方
解直角三角形中“双直角三角形”的
的角叫做俯角．（如图①）
基本模型：
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡
（1） 叠合式 （2）背靠式
比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，
5.
仰角、俯
用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
角、坡
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅
度、坡角

垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
和方向
解题方法：这两种模型种都有一条公
角

共的直角边，解题时 ，往往通过这条
边为中介在两个三角形中依次求边，
或通过公共边相等，列方程求解.

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
6.
解 直角
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际
问题转化为解直角三角 形问题；
三角形实
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
际应用的< br>(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到
一般步骤

问题的解．
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个
锐角，由 直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的
过程叫做解直角三角形．

二、 专题讲座
专题一：锐角三角函数的概念
注意：、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，
与直角三角形的 无关
2.取值范围
例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
①
sinA
(
斜边
(
斜边
)
＝______，
sinB
cosB
(
斜边
(
)
)
＝_ _____；
②
cosA
③
tanA
例2. 锐角三角函数求值：
)
＝______，
()
＝______，
A的邻边
＝______；
斜边
B的对边
tanB
＝______．
()
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝__ ___，cosA＝___ ___，tanA＝____ __，
sinB＝___ ___，cosB＝_____ _，tanB＝___ ___．
例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

类型一：直角三角形求值

3
例4．已知Rt△ABC中，
C 90,tanA,BC12,
求AC、AB和cosB．
4



例5.已知
A
是锐角，
sinA
8
，求cosA
，
tanA
的值
17



类型二. 利用角度转化求值：
例6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是A C边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．

例7.如图，角

的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边O A上有一点P（3，4），则
sin


．

A

D

E


B

F

C



例7图 例8图 例9图 例13图
3
，则这个菱形的面积= cm
2
．
5
例9.如图，沿
AE
折叠矩形纸片
A BCD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处．已知
AB8
，AB=8,则
tan∠EFCBC10
，
3
344< br>的值为 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5
435例8.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，
sinA
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23
，求AB的长．



例11．已知：如图，△A BC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
sinA
1


3
(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．








例12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．





类型四：利用网格构造直角三角形
例
1 3
如图所示，△
ABC
的顶点是正方形网格的格点，则
sinA
的值 为（ ）

A
．

1
51025
B
．
C
．
D
．

2
5
510

对应训练：
1．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=
5
，则tanA的值为（ ）A．
525
1
B． C． D．2
55
2
3
434
3
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于 （ ） A． B. C. D.
5
5
543
3. 如图，在等腰直角三角形
ABC
中，
C90
，
AC6，
D
为
AC
上一点，若
tanDBA
1
，则
AD
的长
5
为( ) A．
2
B．
2
C．
1
D．
22


4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8， ∠A的平分线AD=
163
求∠B的度数及边BC、AB的长.
3
；
A

C
D
B

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结
果保留根号）

6．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．

7. 在△ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是 （ ）
A.2
3
cm
2
B.4
3
cm
2
C.6
3
cm
2
D.12 cm
2

8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.


C

AB

9．如图，A、B、C三点在正方形网络线的 交点处，若将
ABC
绕着点A逆时针旋转得到
AC'B'
，则
t anB'
的值
为（ ） A.
1
11
B. C. D.

1

3
42
A
10．正方形网格中，
∠AOB< br>如图放置，则tan
∠AOB
的值是（ ）
A．
5

5
B.
25 1
C. D. 2
52
O

B

专题二：特殊角的三角函数值

锐角 30° 45° 60°
当 时，正弦和正切值随着角度的增大
而 余弦值随着角度的增大而


sin
cos
tan









例1．求下列各式的值．
（1）
2cos302sin45tan60
（2）
tan60sin452cos30
（3）3
1
+( 2π－1)
0
－
－
2
3
tan30°－tan45°
3





(4)

3

1

(5)
tan45sin30
；
2cos60sin45
tan30

2

2
1cos60

0





例2．求适合下列条件的锐角

．
(1)
cos




0
(4)
6cos(

16

)33
（5）已知

为锐角，且
tan(

30)
1

2
(2)
tan


2
3
(3)
sin2



3
2

3
，求
tan

的值



（ ）在
ABC
中，若
cosA



例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin A <
12
2
(s inB)0
，
A，B
都是锐角，求
C
的度数
22
1
，那么∠A的取值范围是（ ）
2
A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90°
2. 已知∠A为锐角，且
cosAsin30
，则 （ ）
A. 0°<∠ A < 60° B. 30°<∠ A < 60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°<∠ A < 90°
0

例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD中，DE ⊥AB于E，BE＝16cm，
sinA
菱形的周长．
12

求此
13

对应练习：
2013

1

（1）2
1< br>1.计算
：

23tan45(21.41)
0

2.计算
：

3

1
0
sin30

（

3.14）








3.计算：






(
2-3
)
0
骣
1
+
琪
-
琪
桫
2
-2
--2-2cos60°
. 4计算：< br>(2014－5)
0
－(cos60°)
-2
＋
3
8
－3tan30°
；
5.计算：






6.计算：|1﹣|﹣（）﹣4cos30°+（π﹣3.14）．
﹣
10
3

1

7.已知α是锐角，且sin(α+15°) =． 计算
84cos

(

3.14)
0tan



的值．
2

3





1