新人教版八年级数学(上)三角形(三)——边、角关系及有关的证明
杀猪菜-原来爱
三角形（三）——边、角关系及有关的证明
知识点一、三角形三边关系
定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
B
c
A
b
a
C
表达式：△ABC中，设a＞b＞c
则b-c＜a＜b+c
a-c＜b＜a+c
a-b＜c＜a+b
给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a、b、c为三边的长）
①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；
②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；
③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a、b，求第三边x的范围：|a-b|＜x＜a+b。
例题讲解
例题1、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm
AC=3cm，则△ABG和△ACG的
周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？
A
BGC
例题2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）
A、直线 B、线段
C、射线 D、以上都不对
例题3、三角形三条高的交点一定在（ ）
A、三角形的内部 B、三角形的外部
C、顶点上
D、以上三种情况都有可能
例题4、直角三角形中高线的条数是（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
例题5、现有10cm的
线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可
以得到几种不同形状的三角形
？
例题6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？
（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm
（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ
例题7、已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的范围是
自主练习
1、下列条件中能组成三角形的是（ ）
A、5cm, 7cm, 13cm
B、3cm, 5cm, 9cm
C、6cm, 9cm, 14cm
D、5cm, 6cm, 11cm
2、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（ ）
A、5，6
B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能
3、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（ ）
A、4，6
B、4，6，8 C、6，8 D、6，8，10
4、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。求这个三角形的周长。
5、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的范围是
6、如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为
7、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（
A、1 B、2 C、3 D、4
8、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）
A、5，9，3
B、5，7，3 C、5，2，3 D、5，8，3
9、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是______cm。
1
0、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BCM的周
长比△ACM的周
长大3，求BC和AC的长。
知识点二、三角形角的关系
定理：三角形三个内角的和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
）
例题精讲
例1、已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC
，∠ABC的平分
线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。
例2．如图所
示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．
例3．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A
应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李
叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零
件不合格，
你能说出道理吗？
例4．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
专题检测
1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于 度。
2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，这个三角形是 三角形。
3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于 度。
4、已知，在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°，则这个三角形一定是（ ）
A、不等边三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
5、一个三角形有一外角是88°，这个三角形是（ ）
A、锐角三角形
B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定
6、已知△ABC中，∠A为锐角，则△ABC是（ ）
A、锐角三角形
B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定
7、已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形（ ）
A、是锐角三角形
B、是直角三角形 C、是钝角三角形 D、以上三种都有可能
8．△ABC中，若∠C
-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直
角”或“钝角”）．
9．如图1，x=______．
(1)
(2) (3)
10．如图2，△ABC中，
点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连
EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系
是_________．
11．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
12．如图，
在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的
交点，求∠B
HC的度数．
知识点三、与三角形有关的证明
例1.如图，已知，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗？为什么？
例2.如图，△ABC中，∠1与 ∠A有什么关系？为什么？
例3.如图，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的
大小关系,并说明理
由.
例4.如图，已知P是△ABC内任意一点，求证：PB+PC＜AB+AC。
例5.已知P是△A
BC内任意一点，试说明AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞
1
(AB＋BC＋CA)的理
2
由.
课堂练习：
1.如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交A
B于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△
ABC的角平分线.
2.已
知，如图，在
△ABC
中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想∠C和∠DOE之间<
br>具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
3.如图，∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC的度数。
4.在△ABC中，E是AC延
长线上的一点，D是BC上的一点，下面的命题正确吗？若正确，
请说明理由。⑴ ∠1=∠E +∠A
+∠B; ⑵ ∠1 ＞∠A.
5.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系,并证明之。
6.如图，已知△ABC与△DEF是一副三角形的拼图，A,E,C,D在同一条直线上，
（1）求证：EF∥BC; (2)求∠1与∠2的度数。
提高训练
1.如图，∠ECF＝90,线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的
外角
平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点A在射线CE上运动
，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？
说说你的理由。
0
2.思考题：（1）如图1，
有一块直角三角形X
YZ放
置在△ABC上，恰好三角
板XYZ的两条直角边XY、
XZ分别经过点B、C
．△ABC
中，∠A=30°，则∠
ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB
=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边
XY、XZ•仍然分别
经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若
不变化，请求出∠
ABX+∠ACX的大小．
(1)
(2)
3.如图1，在△ABC中，AE
BC于E,AD为∠BAC的平分线。
00
（1）∠B=50，∠C=70，求∠DAE的度数；
（2）若∠C>∠B,则∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系？说明理由；
(3)若点A在A
D上移动到点F,FE
BC于E,其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还
有（2）中的结论？试说明理由。（如图2）
4.如图，在△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P,AP交BC于D,
过B
0
作BG
AP于G.（1）若GBP=45，求证:AC
<
br>BC;
（2）在图上作出△PDC在PC边的高DH,并探究∠APB和∠HDC的数量关系，并说明理由。
5.已知：如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．