少年天子康熙-陌生的近义词

锐（钝）角三角形三边应满足的条件
江西省永丰中学（331500） 刘 忠
一、问题的提出
先来看以下例题及其解法.
例1 已知锐角三角形的三边长分别为2，3，
x
，求
x
的取值范围.
解1因为三角形是锐角三角形，所以三个角均为锐角，所以
2
2
3
2
－x
2
0,2
2
x
2
－3
2
0, 3
2
x
2
－2
2
0
同时成立.解之得
5x13
，所以
x
的取值范
围是

5,13
.


23x,

解2 由

3x2,< br>得
1x5
，即当
x

15，

时长分 别为2，3，
x
的三条线段能构成三角形.

2x3

当3为最大边，即
x3
时，
2x－30,x5,5x3;

222
当
x
为最大边，即
x3
时，
23－x 0,0x13,3x13;

222
当
x3
时，23－30
恒成立，
x＝3
符合题意.
222
因此，
x
的取值范围是

5,13
. 
5

综上，
x
的取值范围是

1，

5,13＝

5,13
.

所谓“皮之不存，毛将焉 附”.要成为锐角三角形或钝角三角形，前提是要能构成三角形.解法2
首先确定了长分别2，3，x
的线段作为三角形的边应满足的条件（
x

15
，再通过分 类讨论，
，

）
得到三角形的内角是锐角应满足的条件，虽然过程较长，但心 里踏实.解法1简单明快，但没有确定
长分别2，3，
x
的线段能作为三角形的边应满 足的条件，答案虽然一样，但总感觉是巧合.难道锐角
三角形三边应满足的条件确实有这么简单？
二、问题的解决
定理1 三边长分别为
a,b,c
的
ABC< br>中，
A
为锐角的充要条件是
b
2
c
2
a
2
0cosA1
.
2bc
证明 （1）充分性： < br>cosA0b
2
c
2
a
2
0bc< br>即
bca
；

bc

2
b
2
c
2
2ab
b
2
c
2
a< br>2
a
，

abc,
b
2
c
2
a
2

cosA11bca

2bc< br>
acb.

故在
0cosA1
的条件下，长为
a,b,c
的三条线段能构成三角形.
又由
0cosA1
，得
A
为锐角.
综上，知
0cosA1
时，
ABC
中
A
为锐角.
（2）必要性：
b
2
c
2
a
2
A BC
中
A
为锐角
0cosA1
.
2bc
综上（1）（2）所述，三边长分别为
a,b,c
的
ABC
中，
A
为锐角的充要条件是
b
2
c
2
a
2
0 cosA
.
1
2bc
定理2 三边长分别为
a,b,c< br>的
ABC
是锐角三角形的充要条件是
b
2
c
2< br>a
2
0,a
2
c
2
b
2
 0,a
2
b
2
c
2
0
.
证明 （1）充分性：
由定理1的充分性的证明可知，
b
2
c
2
a
2
0bca,a
2
c
2
b
2< br>0acb,a
2
b
2
c
2
0ab c
.所
以，在已知条件下长分别为
a,b,c
的三条线段能构成三角形.
b
2
c
2
a
2
0
，所以
A
为锐角.同理，
B,C
亦为锐角. 又
bca0cosA
2bc
222
综上，
bca0,acb0,abc0
时，
ABC
为锐角三角形.
（2）必要性（略）.
综（1）（2）所述，三 边长分别为
a,b,c
的
ABC
是锐角三角形的充要条件是
222 222222
b
2
c
2
a
2
0,a
2
c
2
b
2
0,a
2
b
2
c
2
0
.
由定理2可知，例1中的解法1，不是答案的巧合，而是简单明快的正确解法！
至此，我们肯定会想，钝角三角形的三边是不是也有应满足的类似条件呢？
定理3 三边长 分别为
a,b,c
的
ABC
中，
A
为钝角的充要条件是< br>b
2
c
2
a
2
1cosA0
.
2bc
证明 （1）充分性
b
2
c
2
a< br>2
2
cosA1

bc

a
2
bca
；
2bc
1cosA0A
为钝角
A
为最大角
a
为最大边，又
bca
，所以满足已知条件的< br>长分别为
a,b,c
的三线段能构成三角形，且
A
为钝角.
（2）必要性（略）.
综（1）（2）所述，三边长分别为
a,b,c
的< br>ABC
中，
A
为钝角的充要条件是
b
2
c
2
a
2
1coAs
.
0
2bc

定理4 三边长分别为
a,b,c
的ABC
为钝角三角形的充要条件是
b
2
c
2
a< br>2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
1cosA0
，
0
，0
. 或
1cosB
或
1cosC
2bc2ac2ab
证明 略.
三、定理的应用
例2 已知钝角三角形的三边长分别为2，3，
x
，求
x
的取值范围.
2
2
x
2
3
2
2
2
3
2
x
2
0
或
1 0
， 解 由题意，得
1
22x223
1213－x0
， 即
－4xx50
或
－

x
2
13,x
2< br>5,
所以

2
或

2
所以
1x 5,
或
13x5
.所以
x
的取值范围的取值范
x4 x50x25,

围是
1，5
22

13，5
.
1
s

Binp

，且
R
acb
2
.

4

例3（2011年浙江）在
 ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.已知
sinAsCinp
5
,b1
时，求
a,c
的值；
4
（2）若角
B
为锐角时，求
p
的取值范围.
（1）当
p
解 （1）略
（2）
sinAsinCpsi nBacpb
，因为
ABC
的角
B
为锐角，所以
a c

－2acb
2
a
2
c
2
b< br>2

0cosB1
，所以
01
，
2ac
2ac
即
0
2

pb

2
1< br>－2b
2
b
2
36
4
102p
2
31p
2
4p2
.
1
2
22
2b
4