奖品-黄花岗七十二烈士陵园

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《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》
学习要求：
1．理解三角形的角平分线、中线、高线的 概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和
高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点：
一、三角形中的边角关系
1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法
是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：
①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。
②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类
①三角形按边的关系可以如下分类：

不等边三角形

三角形

底和腰不相等的等腰三角形


等腰三角形
等边三角形


②三角形按角的关系可以如下分类：

直角三 角形Rt(有一个角为直角的三角形)

三角形


锐角三角形( 三个角都是锐角的三角形)


斜三角形

钝角三角形(有一个角为 钝角的三角形)


5．三角形具有稳定性。
知识结构：

二、命题与证明
1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果„„，那么„„。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。
3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。
5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。
6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。
7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。
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8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：
（1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。
（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。
（3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
（5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。
（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（7）等腰三角形的判定与性质。
（8）直角三角形的判定与性质。
9．反证法
①假设，②推理，③矛盾，④结论。








《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》练习题
一、填空题：
1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是_______ ____，这个三角形是_______ ____
三角形。
2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_______ ____。
3．三角形的三边长分别为
a1
，
a
，
a 1
，则
a
的取值范围是_______ ____。
4．三角形的三边 为
1
，
1a
，
9
，则
a
的取值范围是_ ______ ____。
5．已知a，b，c为ΔABC的三条边，化简(a+b-c) －|b－a－c|＝_______ ____。
6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线， △ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm， 求AD的长。
7．如图，CE平分∠AC B，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝_______ ____。

C




D

E

A
B

8. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为_______ ____。
9. 等腰三角形的周长为20cm，
（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_______ ____；
（2）若其中一边长为5cm，则腰长为_______ ____。
10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，则△ABC的周长的取值范围是_______ ____。
11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三 角形的底边长为
_______ ____。
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三 角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为
_______ ____。
13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_________________________ ______。
2
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14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______ ____。
15．三角形的最小角不大于_______ ____度，最大角不小于_______ ____度。
16．三角形的三个内角中至少有_______ ____个锐角，三个外角中最多有_______ ____个锐角。
17．在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝_______ ____度。
18．在△ABC中，∠A ＝
11
∠B＝∠C，则∠B＝_______ ____。
23
19．如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A＝_______ ____。
20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，则∠BDC的度数是_______ ____。
21．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC＝_______ ____。
22．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝7 5°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝
20°，则∠2的度数为_______ ____。

A
A


B

C
D

1
2
B
F

E
D
C

（第20题图） （第21题图） （第22题图）
23．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落 在△ABC外（如图），若∠2＝20°，则
∠1的度数为_______ ____。






24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现
∠BOC＝90°＋
1
∠A，理由如下：
2
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
11
∠ABC，∠2＝∠ACB
22
1
∴∠1＋∠2＝ (∠ABC＋∠ACB)
2
∴∠1＝
又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∴∠1＋∠2＝
11
(180 °－∠A)＝90°－∠A
22
11
∠A）＝90°＋∠A。
22
∴∠BOC＝180°－（ ∠1＋∠2）＝180°－（90°－
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和 CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请
说明理由。
探究3：如图3中，O是 外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只
写结论，不需证明）。
结论： 。
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25．如图，已知∠A＝80°，
（1）若点O为两角平分线的交点，则∠BOC＝_______ ____；
（2）若点O为两条高的交点，∠BOC＝_______ ____。
26. 如图， △ABC的面积等于
12cm
2
，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE＝2E C，O为DC与BE交点，
若△DBO的面积为
acm
2
，△CEO的面积为
bcm
2
，则
ab
_______ ____。
27．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP。若∠BPC＝50°， 则
∠PAC＝_______ ____度。







（第25题图） （第26题图） （第27题图）
28．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于 点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝
_______ ____度。





二、选择题：
1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的（ ）
A．7cm B．4cm C．3cm D．10cm
2．若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
3．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（ ）
A.－6＜a＜－3 B.－5＜a＜－2 C.2＜a＜5 D.a＜－5或a＞－2
5. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．不能确定
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8．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
9．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
10．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形
11．三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
12．在ΔABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么ΔABC是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形
13. 三角形中，最大角

的取值范围是（ ）
A.
0

90
B.
60

180

C.
60

90
D.
60

180

14．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45°
D．72°
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上答案都不对
16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1＋∠2的大小为（ ）
A．130° B.230° C.180° D.310°
17．已知如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°则∠DFE等于（ ）
A.120° B.115° C.110° D.105°


C

E


1


A
2


D

B



（第16题图） （第17题图）
18．在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜180° B．0°＜∠A＜80
0

C．50°＜∠A＜130° D．80°＜∠A＜130°
19．若

、

、

是三角形的三个内角，而
x



，
y
< br>

，
z



，那么
x
、
y
、
z
中，锐
角的个数的错误判断是（ C ）
A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角
C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角
20．如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是
（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
21．在ABC中
⑴如图1，若P点 是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°

1
2
∠A； < br>⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝
1
2
∠A；
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1
∠A。
2
⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－
上述说法正 确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个








D．3个
22. 如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE 的中点，且
S
ABC
4cm
，则S阴影
等于（ ）
A.2cm B.1cm C.
22
2
1
2
1
2
cm
24
23．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1 ＋∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
5. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ）
A. ∠1＝2∠2 B. 2∠1＋∠2＝180°
C. ∠1＋3∠2＝180° D. 3∠1－∠2＝180°


24. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ）
A. ∠1＝2∠2 B.
C. D.








（第22题图） （第23题图） （第24题图）

25．如图，把△ABC纸片沿DE 折叠，使点A落在四边形BCDE外部A的位置，则∠A′、∠1与∠2的数量关系，结
论正确是（ ）
A．∠1＝∠2＋∠A′ B．∠1＝2∠2＋2∠A′
C．2∠1＝∠2＋∠A′ D．∠1＝2∠A′＋∠2
26．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于D，若∠B＝50°，则∠ADC＝（ ）
A．60° B．80° C．65° D．40°
27．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝35 °，则∠CAP＝（ ）
A.45° B.50° C.55° D.65°




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（第25题图） （第26题图） （第27题图）
三、解答下列各题：
1．△ABC的三边长分别为4、9、x，
⑴求x的取值范围；
⑵求△ABC周长的取值范围；
⑶当x为偶数时，求x；
⑷当△ABC的周长为偶数时，求x；
⑸当△ABC周长是5的倍数时，求x；
⑹若△ABC为等腰三角形，求x。










2．已知△ABC的三条边为整数，且
a
2
b
2
4a2b50
，求
c
的值。






3．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：
（1）a∥b；（2）b⊥c；（3）a⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c。
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。






4．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。






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5．有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？










6．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于
A
1
，∠
A
1
BC与∠
A
1
CD
的平分线相交于
A
2
，依此类推，∠
A
4
BC与∠
A
4
CD的平分线相交于
A
5
，则∠
A
5
的大小是多少？


A
A
1


A
2


BCD

第3题图







7．在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数。












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8．（1）已知如图（a），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE 平分∠BAC，则∠EAD与∠B，∠C有何数
量关系？










（2）如图（b），AE 平分∠BAC，F为其上一点，且FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？










（ 3）如图（c），AE平分∠BAC，F为AE延长线上一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠B、∠C又有 何数量关系？











9．如图，P为△ABC内任意一点，求证：
⑴∠BPC ＞∠A；
⑵∠BPC＝∠ABP＋∠A＋∠ACP；
⑶AB＋AC＞PB＋PC。







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10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E。
（2）图（1）中点A向下 移到BE上，五个角的和有无变化？（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E如图（2），
说明你的结论的正确性。
（3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即∠ CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），
说明你的结论的正确性。













11．如图已知△ABC中，∠B和∠C外角平分线相交于点P。
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝70°，求∠BPC度数。
（2）若∠ABC＝α，∠BPC＝β，求∠ACB度数。












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12．△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点。
（1）如果纸片沿直线脚折叠，使点A′正好落在线段AC上，如图1，此时∠A与∠BDA′的关系是 ；
（2）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的内部，如图2，试猜想∠A和∠BDA′ 、∠CEA′的关系是
；
（3）如果纸片沿直线DE折叠， 使点A′落在△ABC的外部，如图3，则此时∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是
，请说明理由。
























13．如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F。
（1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？
（2）当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？









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14．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有几个？









15．有一位 同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知ΔABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c
的值满足等式|b＋c－2a|＋（b＋c－5）
2
＝0，求b的取值在什么范围？”。你能解 答这道题吗？








16．在 ΔABC中，∠A＞∠B＞∠C ，且∠A＝4∠C，求∠B的范围。











17．在△ABC中，∠A是最大角，∠C是最小角，且∠A＝2∠C，求∠C的取值范围。








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《第13章 三角形中的边角关系》练习题答案
一、填空题：
1．8，等腰。 2．2。 3．
a2
。 4．
9a7
5．2b－2c。 6．AD＝13cm。 7．8cm； 8. 9。
9.（1）6cm或7cm；（2）
15
2
cm。 10．周长＞12。 11．1。 12．10厘米或
22
3
厘米。
13．有两个角相等的三角形是等腰三角形； 14．20°或120°； 15．60，60； 16．2，1；
17．120°； 18．60°； 19．30°或120°； 20．95°； 21．50°；
22．解：如图，∵∠CEF＋∠CFE＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C，
∴∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝85°＋55°＝140°，
又将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，
∴∠C′EF＋∠C′F＝∠CEF＋∠CFE＝140°，
∴∠CEC′＋∠CEC′＝140°＋140°＝280°，
∵∠1＝20°，

∴∠2＝180°×2－∠CEC′＋∠CEC′－∠1＝360°－280°－20°＝60°
故答案为：60。
23．解：如图，
∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°；
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′＝∠C＝40°，
而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，
∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝20°，
∴∠3＋20°＋∠4＋40°＋40°＝180°，
∴∠3＋∠4＝80°，
∴∠1＝180°－80°＝100°。
故答案为100。
24．∠BOC＝1
2
∠A，∠BOC＝90°－
1
2
∠A；
25. （1）130°；（2）100°或80°；
26. 2；
27．解：延长BA，做PN⊥AD，PF⊥BA，PM⊥BC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠BCP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
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∴PF＝PM，
∵∠APC＝50°，
∴∠BAP＝∠PAC＝（x－50）°，
∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝2x°－（x°－50°）－（x°－50°）＝100°，
∴∠CBF＝100°，
在Rt△PFB和Rt△PMB中，
PA＝PA，PM＝PF，
∴Rt△PFB≌Rt△PMB，
∴∠FAP＝∠PAC＝40°。
28．50°。
二、选择题：
1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D
12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B
21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26．C 27．C。
考点：三角形内角和定理。
分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线 的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝
∠FAP，即可得出答案。
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝35°，
∴∠ABP＝∠PBC＝（x－35）°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－35°）－（x°－35°）＝70°，
∴∠CAF＝110°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA＝PA，PM＝PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP＝∠PAC＝55°。
故选C。

三、解答下列各题：
1．⑴5＜x＜13；
⑵18＜△ABC的周长＜26；
⑶当x为偶数时， x＝6、8、10、12；
⑷当△ABC的周长为偶数时， x＝7、9、11；
⑸当△ABC周长是5的倍数时，x＝7、12；
⑹若△ABC为等腰三角形，x＝9。 < br>2．
a2
，
b1
，
1c3
，则整数
c2
。
3．答案不惟一，如果
a∥b
，
bc
，那么< br>ac
；如果
bc
，
ab
，那么
a∥c
；如果
bc
，
ac
，
那么
a∥b
等。
4．要画图，写已知、求证、证明。
5．6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10； 8、8、12；8、10、12、4、10、12）
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6．3°。
7．∠BOC＝50°或130°；
8．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°－∠C
∵ AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝
∵∠BAC＝180°－∠B －∠C
∴∠EAC＝
1
∠BAC，
2
111
（180°－∠B －∠C）＝90°－∠B －∠C，
222
11
∠B －∠C－（90°－∠C）
22
∴∠EAD＝∠EAC－

∠CAD
＝90°－
＝

1
(∠C－∠B)。
2
1
(∠C－∠B)。
2
（2）如图（b），过A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝
∵AG⊥BC，∵FD⊥BC，
∴∠AGC＝∠FDG＝90°，
∴FD∥AG，
∴∠EFD＝∠EAG，
∴∠EFD＝
1
(∠C－∠B)。
2
1
(∠C－∠B)。
2
（3）如图（c），过点A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝
∵AG⊥BC，∵FD⊥BC，
∴∠AGB＝∠FDC＝90°，
∴FD∥AB，
∴∠AFD＝∠EAG，
∴∠AFD＝

1
(∠C－∠B)。
2










说明 ：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问
题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。
9．延长BP交AC于D。
⑴∠BPC＞∠PDC＞∠A；
⑵∠BPC＝∠PDC＋∠ACP；∠PDC＝∠A＋∠ABP；
∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP。
⑶∵AB＋AD＞BD。
PD＋DC＞PC。
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∴AB＋AD＋PD＋DC＞BD＋PC。
∴AB＋AC＞PB＋PC。
10.（1）180°。
（2）无变化。理由:∠CAD＋∠B＋∠C＋∠E＝∠CAD＋∠EAD＋∠BAC＝180°。
（3）无变化。
理由:∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°。
11．解：（1）∠BPC＝180°－（
＝180°－
11
∠EBC＋∠BCF）
22
11
（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ ACB）
22
1
＝180°－（180°－30°＋180°－70°）
2
＝50°；
（2）∠BPC＝180°－
＝
1
（180 °－∠ABC＋180°－∠ACB）
2
1
（∠ABC＋∠ACB），
2
1
（α＋∠ACB）。
2
∵∠BPC＝β，∠ABC＝α，
∴β＝
故∠ACB＝2β－α。

12．解：（1）∠BDA′＝2∠A；
根据折叠的性质可知∠DA′E＝∠A，∠DA′E＋∠A＝∠BDA′，故∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A＋∠DA′E＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，
∴∠A＋∠DA′E＝360°－∠ADA′－∠A′EA，
∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，
理由：如图3，DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。
故答案为：（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BD A′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。
13．解：（1）由图可得：∠D＋∠1＝∠3＋∠F①
∠2＋∠F＝∠B＋∠4②
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
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∴①－②得：∠B＋∠D＝2∠F；
（2）设∠B＝2k，则∠D＝4k
∴∠F＝3k， ∴∠B∶∠D∶∠F＝2k∶4k∶3k＝2∶4∶x， ∴x＝3。
14．111、222、333、122、133、144、223、233、234。
15 ．解：对于已知|b＋c－2a|＋(b＋c－5)
2
＝0，由于绝对值与平方数都大于或等于 0，
所以要使已知等式成立，只能是 |b＋c－2a|＝0，(b＋c－5)²＝0，
由此可得：a＝
5
2
，c＝5－b，
利用三角形‘两边之差小于第三边’的性质，可得：
①b－c＜a，
b－(5－b)＜
5
2

∴b＜
15
4
，
②c－b＜a ，
(5－b)－b＜
5
2
，
∴b＞
5
4
，
综合得，b的取值范围是：
515
4
＜b＜
4
。
16．∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A＝4∠C，5∠C＋∠B＝180°＜6∠B ， ∠B＞30°。
同理
5
4
∠A＋∠B＝180°＞94∠B，∠B＜80°。
所以 30°＜∠B＜80°。
17．36°≤∠C ≤45°。




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