春季吃什么-与佛论禅

三角形三边关系定理在初中数学中的应用
三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何 的基础，而三角形
三边关系定理是研究三角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要
之处，笔 者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总
结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮 助。

之差小于第三边。定理分析：无论是定理还是推论都有“任意”
二字，所以定理 和推论都包含三项内容，用a，b，c表示三角形的三
边，则定理可以表示为：a+b>c,a+c>b ,b+c>a;推论则表示为：
a-b将定理和推论简化为：a-bb），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下面的例题。
1、 判断三条线段是否可以构成三角形
例题1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（ ）
A.3，4，5 B.2，4，6 C.5，6，8 D.7,10,15
解法分析： 下面我们以A选项为列 来详细说明定理的使用，首先我
们任意的取出两条线段，不妨我们取3和4.然后根据定理我们做出4-3内，如果在则能 构成三角形，如果不在范围内则不能构成三角形，此
题显然1<5<7,因此可以构成三角形。答案为B 。
例题2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形，可以
构成的三角形的个数是：
（ ）

A．1 B. 2 C. 3 D. 4
解法分析 ：四根木条选3根有四种情况：
4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10 cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三
角形三边关系定理知以12cm，8cm，4cm 不能构成三角形，其它三
种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择C。
说明：实际 上判断能否构成三角形的条件和根据已知两边判断第三边
的取值范围是一样的，因此在这里就不一一叙述 了。
2、 判断三点是否共线
三角形三边关系定理的主要内容是描述构成三角形的条件，那 么
如果不能构成三角形会是情形呢？其中就包括三点共线的情况，当
a-b设a>b）或c=a+b时，a,b,c三条线 段共线。
例题3 已知A，B，C三点，且AB=3，BC＝4，AC＝7.判断这
三点是否在一条直线上？
解 法分析：根据题意显然有3+4=7，所以这三点共线。需要说明
的是a-b=c和c=a+b本质上是 一样的，因为3＋4＝7可以表示为3
＝7－4 .
3、 与三角形周长相关，尤其是等腰三角形周长。
例题4 等腰三角形△ABC两边的长分别是7和4，求三角形的周长
为（ ）
A.15 B. 25 C.11 D.15或25
解法分析：因为是等腰三角形，所以首先要判断7和 4哪个是腰？哪

个是底，因此要进行分类讨论，把所以的可能都列举出来：7、7、4< br>和7、4、4，然后根据三角形的三边关系定理来验证，结果两种情况
都符合，故答案为D。
例题5 等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x
2
-6x+8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是：（ ）
A. 8 B. 10 C.8或10 D. 6
解法分析：解法同例题4，不同的是两种组合分别为4、4、2和4、2、
2，符合 条件的只有4、4、2，故答案为B。需要说明的是因为关于
周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于 等腰三角形具有典型性，
因此在这里举例说明。
4、 证明线段的不等关系
例题6 如图1，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，求证：
AB+BC+AC>2AD。
A
A
B
D
E

C
B
D
图1
C
图2
证明：
在△ABD和 △ACD中，∵AB+BD>AD,AC+CD>AD，∴
AB+BC+AC>2AD.
变式：如图1，在△ABC中，D是BC边上的中点，求证：AB +AC>2AD。
．．< /p>

证明：延长AD到E点，使得AD＝AE，连结BE和CE，如图2，因
为AD和 BC互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，因此
AC=BE。
在△ABE中，AB+BE>AE，又∵BE=AC，AE=2AD，∴AB+AC>2AD。
例题7 如图，已知A、B两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向
两个村供水，为了使水站 到两村距离之和最小，问水站应该建在哪
里？
B
A
D
水站
C

解法分析：做A点关于直线的对称 点C，连结AB与直线的交点即为
水站的位置。如果水站建在D处，因为AD=CD,CD+BD>BC ，所以
AD＋BD>BC。
5、判断两个圆的位置关系（创新应用）
上述的几种情 况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的
应用，在笔者的教学过程中，发现如果使用这个定理来判 定两圆的位
置关系十分的简洁和实用，在这里与大家一起分享，希望对大家能有
所启发。我们都 知道两圆的位置关系有6种，主要是根据两圆半径r
1
，
r
2
和圆心 距d三者之间的关系，如何把它们和三角形的三边关系联系
起来呢？我是这样做得，如图3，以两圆相交 为例。当两圆相交时，
这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三角形三边关系定理，即
r2
-r
1
1
+r
2
(假设r
2
>r
1
). 而当两圆相切时，恰好对应等号成立时，如