成人小笑话-晚安的短信

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
中文名
三角形重心
定 义
是三角形三边中线的交点
性质比例
重心到对边中点的距离之比为2：1
应用领域
几何
目录

1性质证明

2顺口溜

3向量关系

1
性质证明
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1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=12CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EHBF
∴AH=HF=12AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=12CF
∴HF:CF=12
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=12
∴EG=12CG

证明二

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB' 、COC'分别为
a、b、c边上的中线。根据重心性质知，OA'=13AA'，OB'=13BB' ，OC'=13CC'，过O，
A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=13AH 则，S
△
BOC
=12×OH'a=12×13AHa=13S
△
ABC
；
同理可证S
△
AOC
=13S
△
ABC
，S△
AOB
=13S
△
ABC
，
所以，S
△BOC
=S
△
AOC
=S
△
AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证明方法：
设三 角形三个顶点为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2< br>),(x
3
,y
3
) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点
距离平方和为：
(x
1
-x)
2
+(y< br>1
-y)
2
+(x
2
-x)
2
+(y
2
-y)
2
+(x
3
-x)
2
+(y
3
-y)
2

=3x
2
-2x(x
1
+x< br>2
+x
3
)+3y
2
-2y(y
1
+y2
+y
3
)+x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+ y
3
2

=3[x-13*(x
1
+x
2
+x
3
)]
2
+3[y-13*(y
1
+y
2+y
3
)]
2
+x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
-13(x
1
+x
2
+x
3
)
2
-1
3(y
1
+y
2
+y
3
)
2

显然当x=(x
1
+x
2
+x
3
)3,y=(y
1
+y
2
+y
3
)3（ 重心坐标）时
上式取得最小值x
1
2
+x
2
2
+ x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+y< br>3
2
-13(x
1
+x
2
+x
3
)
2
-13(y
1
+y
2
+y
3
)
2

最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X
1
+X
2
+X
3
)3,(Y
1
+Y
2+Y
3
)3]；
空间直角坐标系——横坐标：(X
1
+X2
+X
3
)3，纵坐标：(Y
1
+Y
2
+Y< br>3
)3，纵坐标：（Z
1
+Z
2
+Z
3
）< br>3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的
重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O， 则向量OG=13（向量OA+向量OB+
向量OC）
2
顺口溜
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三条中线必相交，交点命名为“重心”
重心分割中线段，线段之比二比一；
3
向量关系
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O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。
词条标签：
数学 ， 理学
三角形重心图册

当且仅当三角形是 正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三
角形的中心。
三角形只有五种心
重心:三条中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是 它到对边中点
距离的2倍；重心分中线比为1：2（也称中心）；
垂心:三角形三条高的交点;
内心:三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 到三边距离相等
外心:三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；到三顶点距离相等 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆
心的简称 .