鹤蟾片-选择爱

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案

一、直角三角形的边角关系
1
．如图（
9
）所示（左图为实景侧视 图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太
阳能热水器：先安装支架
AB
和< br>CD
（均与水平面垂直），再将集热板安装在
AD
上
.
为使< br>集热板吸热率更高，公司规定：
AD
与水平面夹角为

1
，且 在水平线上的射影
AF
为
1.4m
.
现已测量出屋顶斜面与水平面夹 角为

2
，并已知
tan

1
1.082
，
tan

2
0.412
．如果安装工人确定支架
AB
高为
25cm
，求支架
CD
的高（结果精确到
1cm
）？

【答案】

【解析】

过
A
作< br>AFCD
于
F
，根据锐角三角函数的定义用
θ
1
、
θ
2
表示出
DF
、
EF
的值，又可证
四边 形
ABCE
为平行四边形，故有
EC=AB=25cm
，再再根据
D C=DE+EC
进行解答即可．


2
．在矩形
ABCD< br>中，
AD
＞
AB
，点
P
是
CD
边上 的任意一点（不含
C
，
D
两端点），过点
P
作
PF ∥BC
，交对角线
BD
于点
F
．

（
1
）如图
1
，将
△PDF
沿对角线
B D
翻折得到
△QDF
，
QF
交
AD
于点
E
．求证：
△DEF
是等
腰三角形；

（
2
）如图
2
，将
△PDF
绕点
D
逆时针方向旋转得到
△P'DF'
，连接
P'C
，
F'B
．设旋转角为
α
（
0°
＜
α
＜
180°
）．

①
若
0°
＜
α
＜
∠BDC
，即
DF'
在< br>∠BDC
的内部时，求证：
△DP'C∽△DF'B
．

②< br>如图
3
，若点
P
是
CD
的中点，
△DF'B
能否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan∠DBF'
的值，如果不能，请说明理 由．

【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
①证明见解析；
②
【解析】

【分析】（
1
）根据翻折的 性质以及平行线的性质可知
∠DFQ=∠ADF
，所以
△DEF
是等腰三角形；

（
2
）
①
由于
PF∥BC
， 所以
△DPF∽△DCB
，从而易证
△DP′F′∽△DCB
；
< br>②
由于
△DF'B
是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形 的内角进行分
类讨论．

【详解】（
1
）由翻折可知：
∠DFP=∠DFQ
，

∵PF∥BC
，

∴∠DFP=∠ADF
，

∴∠DFQ=∠ADF
，

∴△DEF
是等腰三角形；
< br>（
2
）
①
若
0°
＜
α
＜
∠ BDC
，即
DF'
在
∠BDC
的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF
，

∴∠P′DF′
﹣
∠F′D C=∠PDF
﹣
∠F′DC
，

∴∠P′DC=∠F′DB
，

由旋转的性质可知：
△DP′F′≌△DPF
，

∵PF∥BC
，

∴△DPF∽△DCB
，

∴△DP′F′∽△DCB

∴
1
3
.

或
2
3
DCDP'


，

DBDF'
∴△DP'C∽△DF'B
；

②
当
∠F′DB=90°
时，如图所示，

∵DF′=DF=
∴
1
BD
，

2
DF'1

，

BD2
DF'1

；

BD2
∴tan∠DBF′=

当
∠DBF′=90 °
，此时
DF′
是斜边，即
DF′
＞
DB
，不符合 题意；

当
∠DF′B=90°
时，如图所示，

1
BD
，

2
∴∠DBF′=30°
，

∵DF′=DF=
∴tan∠DBF′=
3
.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相
似三角 形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定
理、运用分类思想进行 讨论是解题的关键
.


3
．已知
Rt△ABC
中 ，
∠ACB=90°
，点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
边上，连结
BE
、
AD
交于点
P
，
设
AC=kBD
，
CD=kAE
，
k
为常数，试 探究
∠APE
的度数：

（
1
）如图
1
， 若
k=1
，则
∠APE
的度数为

；

（
2
）如图
2
，若
k=
3
，试问（
1
）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成
立，求出
∠APE
的 度数．

（
3
）如图
3
，若
k=
3
，且
D
、
E
分别在
CB
、
CA
的延长线 上，（
2
）中的结论是否成立，
请说明理由．


【答案】 （
1
）
45°
；（
2
）（
1
）中结论不成 立，理由见解析；（
3
）（
2
）中结论成立，理

由见 解析
.

【解析】

分析：（
1
）先判断出四边形
ADBF
是平行四边形，得出
BD=AF
，
BF=AD
，进 而判断出
△FAE≌△ACD
，得出
EF=AD=BF
，再判断出
∠ EFB=90°
，即可得出结论；

（
2
）先判断出四边形
ADBF
是平行四边形，得出
BD=AF
，
BF=AD
，进而判断出
△FAE∽△ACD
，再判断出
∠EFB=90°
，即可得出结论；

（
3
）先判断出四边形
ADBF
是平行四边形，得出
BD= AF
，
BF=AD
，进而判断出
△ACD∽△HEA
，再判断出∠EFB=90°
，即可得出结论；

详解：（
1
）如图
1
，过点
A
作
AF∥CB
，过点
B
作
B F∥AD
相交于
F
，连接
EF
，


∴∠ FBE=∠APE
，
∠FAC=∠C=90°
，四边形
ADBF
是平 行四边形，

∴BD=AF
，
BF=AD
．

∵AC=BD
，
CD=AE
，

∴AF=AC
．

∵∠FAC=∠C=90°
，

∴△FAE≌△ACD
，

∴EF=AD=BF
，
∠FEA=∠ADC
．

∵∠ADC+∠CAD=90°
，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD
．

∵AD∥BF
，

∴∠EFB=90°
．

∵EF=BF
，

∴∠FBE=45°
，

∴∠APE=45°
．


（
2
）（
1
）中结论不成立，理由如下：

如图< br>2
，过点
A
作
AF∥CB
，过点
B
作
BF∥AD
相交于
F
，连接
EF
，


∴∠FBE=∠APE
，
∠FAC=∠C=90°
，四边形
ADBF
是平行四边形，

∴BD=AF
，
BF=AD
．

∵AC=< br>3
BD
，
CD=
3
AE
，

ACCD

3
．

BDAE
∵BD=AF
，

∴
ACCD

3
．

AFAE
∵∠FAC=∠C=90°
，

∴△FAE∽△ACD
，

∴
ACADBF

3
，
∠FEA=∠ADC
．

AFEFEF
∵∠ADC+∠CAD=90°
，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD
．

∵AD∥BF
，

∴∠EFB=90°
．

∴在
Rt△EFB
中，
tan∠FBE=
∴∠FBE=30°
，< br>
∴∠APE=30°
，

（
3
）（
2）中结论成立，如图
3
，作
EH∥CD
，
DH∥BE
，
EH
，
DH
相交于
H
，连接
AH
，

EF3
，


BF3

∴∠APE=∠ADH
，
∠HEC=∠C=90°
，四边形
EBDH
是平行四边形，

∴BE=DH
，
EH=BD
．

∵AC=
3< br>BD
，
CD=
3
AE
，

ACCD

3
．

BDAE
∵∠HEA=∠C=90°
，

∴△ACD∽△HEA
，

∴
ADAC

3，
∠ADC=∠HAE
．

AHEH
∵∠CAD+∠ADC=90°
，

∴∠HAE+∠CAD=90°
，

∴

∴∠HAD=90°
．

在
Rt△DAH
中，
tan∠ADH=
∴∠ADH=30°
，

∴∠APE=30°
．

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形 的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判 定和性质．

AH
3
，

AD

4．已知：如图，在
Rt△ABC
中，
∠ACB=90°
，点
M< br>是斜边
AB
的中点，
MD∥BC
，且
MD=CM
，< br>DE⊥AB
于点
E
，连结
AD
、
CD
．
（
1
）求证：
△MED∽△BCA
；

（
2
）求证：
△AMD≌△CMD
；

（
3
）设
△MDE
的面积为
S
1
，四边形
BCMD< br>的面积为
S
2
，当
S
2
=
值．

17
S
1
时，求
cos∠ABC
的
5
< br>【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
cos∠ABC=
【解析】

【分析】

5
.

7
（
1
）易证
∠DME=∠CBA
，
∠ACB=∠MED=90°
，从而可证明
△MED∽△BCA
；

（
2
）由
∠ACB=90°
，点
M
是斜 边
AB
的中点，可知
MB=MC=AM
，从而可证明
∠AMD=∠C MD
，从而可利用全等三角形的判定证明
△AMD≌△CMD
；

（
3
）易证
MD=2AB
，由（
1
）可知：
△MED ∽△BCA
，所以
2
S
1
S
V
ACB
< br>MD

1



，所以

AB< br>
4
S
△MCB
=
知
S
1
ME12

S
△ACB
=2S
1
，从而可求出
S< br>△EBD
=S
2
﹣
S
△MCB
﹣
S
1
=S
1
，由于，从而可
SEB
25
V
EBDME57

，设
ME=5x
，
EB=2x
，从而可求出
AB=14x
，
BC=
，最后根据锐角三角函数的
EB22
定义即可求出答案．

【详解】

（
1
）
∵MD∥BC
，

∴∠DME=∠CBA
，

∵∠ACB=∠MED=90°
，

∴△MED∽△BCA
；

（
2
）
∵∠ACB=90°
，点
M
是斜边
AB
的中点，

∴MB=MC=AM
，

∴∠MCB=∠MBC
，

∵∠DMB=∠MBC
，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC
，

∵∠AMD=180°
﹣
∠DMB
，

∠CMD=180°
﹣
∠MCB
﹣
∠MBC+∠DMB=180°
﹣
∠MBC< br>，

∴∠AMD=∠CMD
，

在
△AMD
与
△CMD
中，


MDMD


AMDCMD
，


AMCM

∴△AMD≌△CMD
（
SAS
）；
（
3
）
∵MD=CM
，

∴AM=MC=MD=MB
，

∴MD=2AB
，

由（
1
）可知：
△MED∽△BCA
，

∴
2
S
1
S
V
ACB

MD

1



，


AB

4
∴S
△ACB
=4S
1
，

∵CM
是
△ACB
的中线，

∴S
△MCB
=
1
S
△ACB
=2S
1
，

2
2
S
1
，

5
∴S
△EBD< br>=S
2
﹣
S
△MCB
﹣
S
1
=∵
S
1
S
V
EBD

ME
，

EB
S
1
ME

∴
2
，

S
1
EB
5
∴
ME5

，

EB2
设
ME=5x
，
EB=2x
，

∴MB=7x
，

∴AB=2MB=14x
，

MDME1

，

ABBC2
∴BC=10x
，

∵

∴cos∠ABC=
【点睛】

BC10x5

.

AB14x7
本题考查相似三角形的 综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与
判定，相似三角形的判定与性质，三角 形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综
合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进 行解题是关键
.


5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝9 0°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D，垂足为E.设P是
PD，PD交 AB于点G.

(1)
求证：
△PAC∽△PDF
；

(2)若AB＝5，，求PD的长；

＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函 数关系式．(不要求写出
上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与
(3)在 点P运动过程中，设
x的取值范围)


【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】

；（3）.

试题分析：（
1
）应用圆周角定理证明
∠APD
＝
∠FPC
，得到
∠APC
＝
∠FPD
，又由
∠PAC
＝
∠ PDC
，即可证明结论
.

（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求 得BC，AC的长，则由AC=2BC得
可知△APB是等腰直角三角，由△ACE∽△ABC可求得A E，CE的长，由
形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求 得DF的长，
由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.

，由角的转换可 得
，由△AGD∽△PGB可得，两
（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由△AGP∽△DGB可得
式相乘可得结果.

试题解析：（
1
）由
APCB
内接于圆
O
，得
∠FPC
＝
∠B< br>，

又
∵∠B
＝
∠ACE
＝
90°
－
∠BCE
，
∠ACE
＝
∠APD
，
∴∠APD< br>＝
∠FPC.

∴∠APD
＋
∠DPC
＝
∠FPC
＋
∠DPC
，即
∠APC
＝
∠FPD.

又
∵∠PAC
＝
∠PDC
，
∴△PAC∽△ PDF.

（2）连接BP，设
∴
∵△ACE∽△ABC，∴
∵AB ⊥CD，∴
如图，连接
BP
，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

.

，∵∠ACB=90°，AB=5，
.∴
，即
.

. ∴.

∴△AEF
是等腰直角三角形
. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得
∴PD的长为.

，即.

（
3
）如图，连接
BP
，
BD< br>，
AD
，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即
∵AB⊥CD
，
BP⊥AE
，
∴∠ABP
＝
∠AF D.

∵，∴
.

.

.

.

.

∵△AGP∽△DGB，∴
∵△AGD∽△PGB ，∴
∴
∵，∴
，即
.

∴与之间的函数关系式为.

考点：
1.
单动点问题；
2.
圆周角定理 ；
3.
相似三角形的判定和性质；
4.
勾股定理；
5.
等腰 直
角三角形的判定和性质；
6.
垂径定理；
7.
锐角三角函数定义；
8.
由实际问题列函数关系式
.



6
．问题背景
:

如图（
a
）
,
点
A
、
B
在直线
l
的同侧，要在直线
l
上 找一点
C
，使
AC
与
BC
的距离之和最
小，我们可 以作出点
B
关于
l
的对称点
B′,
连接
A B′< br>与直线
l
交于点
C
，则点
C
即为所求
.

（
1
）实践运用：


如图
(b )
，已知，
⊙O
的直径
CD
为
4
，点
A
在
⊙O
上，
∠ACD=30°
，
B
为弧
AD
的中点，
P
为
直径
CD
上一动 点，则
BP+AP
的最小值为

．

（
2
）知识拓展：

如图
(c)
，在
Rt △ABC
中，
AB=10
，
∠BAC=45°
，
∠BAC< br>的平分线交
BC
于点
D
，
E
、
F
分 别是
线段
AD
和
AB
上的动点，求
BE+EF
的最 小值，并写出解答过程．

【答案】解：（
1
）
22
．

（
2
）如图，在斜边
AC
上截取
AB′=AB
，连接
BB′
．

∵AD
平分
∠BAC
，
∴点
B
与点
B′
关于直线
AD
对称．

过点
B′
作
B′F⊥AB,
垂足为
F
，交
AD于
E
，连接
BE
．

则线段
B′F
的长即为所求
(
点到直线的距离最短
)
．

在
Rt△AFB

中，
∵∠BAC=45
0
, AB

=
，

∴
∴BE+EF
的最小值为
【解析】

试题分析：（
1
）找点
A
或点
B
关于
CD
的对称点，再连接其 中一点的对称点和另一点，和
MN
的交点
P
就是所求作的位置，根据题意先求 出
∠C′AE
，再根据勾股定理求出
AE
，即可
得出
PA+ PB
的最小值：

如图作点
B
关于
CD
的对称点< br>E
，连接
AE
交
CD
于点
P
，此时
PA+PB
最小，且等于
A
．作直
径
AC′
，连接
C′E
，

根据垂径定理得弧
BD=
弧
DE
．

．



∵∠ACD=30°
，
∴∠AOD=60°
，
∠DOE=30°
．
∴∠AOE=90°
．

∴∠C′AE=45°
．

又
AC
为圆的直径，
∴∠AEC′=90°
．

∴ ∠C′=∠C′AE=45°
．
∴C′E=AE=
∴AP+BP
的最小值是< br>22
．

（
2
）首先在斜边
AC
上截取AB′=AB
，连接
BB′
，再过点
B′
作
B′F⊥A B
，垂足为
F
，交
AD
于
E
，连接
BE< br>，则线段
B′F
的长即为所求．

AC′=
22
．


7
．已知：
△ABC
内接于
⊙O
，
D
是弧
BC
上一点，
OD⊥ BC
，垂足为
H
．

（
1
）如图
1
，当圆心
O
在
AB
边上时，求证：
AC=2OH
；

（
2
）如图
2
，当圆心
O
在
△ABC
外部时，连接
AD
、
CD
，
AD
与
BC< br>交于点
P
，求证：

∠ACD=∠APB
；
< br>（
3
）在（
2
）的条件下，如图
3
，连接
B D
，
E
为
⊙O
上一点，连接
DE
交
BC< br>于点
Q
、交
AB
于点
N
，连接
OE
，
BF
为
⊙O
的弦，
BF⊥OE
于点
R
交
DE
于点
G
，若
∠ACD
﹣
∠ABD=2∠BDN
，
AC=
，
BN=
，
tan∠ABC=
，求
BF
的长．


【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
24.

【解析】
试题分析：（
1
）易证
OH
为
△ABC
的中位线，可得
AC=2OH
；（
2
）
∠APB=∠PAC+∠ACP
，< br>∠ACD=∠ACB+∠BCD
，又
∵∠PAC =∠BCD
，可证
∠ ACD=∠APB
；（
3
）连接
AO
延长交于
⊙O
于点
I
，连接
IC
，
AB
与
OD
相交于点
M
，连接
OB
，易证
∠GBN=∠ABC
，所以
B G=BQ.
在
Rt△BNQ
中，根据
tan∠ABC=
，可求得NQ
、
BQ
的长
.
利用圆周角定理可求得
IC
和
AI
的长度，设
QH=x
，利用勾股定理可求出
QH
和< br>HD
的长度，利用垂径定理可求得
ED
的长
度，最后利用
ta n∠OED=
即可求得
RG
的长度，最后由垂径定理可求得
BF
的长 度．

试题解析：（
1
）在
⊙O
中，
∵OD⊥BC
，
∴BH=HC
，
∵
点
O
是
AB
的中点，
∴AC=2OH
；
（
2
）在
⊙O
中，∵OD⊥BC
，
∴
弧
BD=
弧
CD
，
∴∠PAC=∠BCD
，
∵∠APB=∠PAC+∠ACP
，
∠ACD=∠A CB+∠BCD
，
∴∠ACD=∠APB
；（
3
）连接
AO
延长交于
⊙O
于点
I
，连接
IC
，
AB< br>与
OD
相交于点
M
，连接
OB
，

∵∠ACD
﹣
∠ABD=2∠BDN
，
∴∠ACD
﹣
∠BD N=∠ABD+∠BDN
，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND
，
∴∠ACD< br>﹣
∠BDN=∠AND
，
∵∠ACD+∠ABD=180°
，
∴2∠AND=180°
，
∴∠AND=90°
，
∵tan∠ABC=
，
∴
，
∴
，
∴
∴∠ABC=∠QDH
，
∵OE=OD
，

，
∵∠BNQ=∠QHD=90°
，
∴∠ OED=∠QDH
，
∵∠ERG=90°
，
∴∠OED=∠GBN
，
∴∠GBN=∠ABC
，
∵AB⊥ED
，
∴BG=BQ=
，
GN=NQ=
，

，
∴
，
∴IC=
，∴
由勾股定理可求得：
∵∠ACI=90°
，
tan∠AIC=tan∠ ABC=
AI=25
，

设
QH=x
，∵tan∠ABC=tan∠ODE=
BH=BQ+QH=
∵OB
2
=B H
2
+OH
2
，
∴
，

，
∴，
∴HD=2x
，
∴OH=OD
﹣
HD=
，
， 解得：，当
QH=
时，
∴QD=
∴ND=
时，
∴QD=∴ND=NQ+QD=
∵tan∠OED=
∴EG=
，

，∴MN=
，
MD=15,∵
，
∴QH=
不符合题意，舍去，当< br>QH=

，
ED=
，
∴
，
∴GD=GN+ND=
，

，
∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24
．

,∴E G=ED
﹣
GD=
，
RG
，
∴RG=

考 点：
1
圆；
2
相似三角形；
3
三角函数；
4
直角三角形
.


8
．水库大坝截面的迎水坡坡比（
DE
与
AE
的长度之比）为
1
：
0.6
，背水坡坡比为
1
：
2
，
大坝高
DE=30
米，坝顶宽
C D=10
米，求大坝的截面的周长和面积．



【答案】故大坝的 截面的周长是（
6
34
+30
5
+98
）米，面积是
1470
平方米．

【解析】

试题分析：先根据两个坡比求出< br>AE
和
BF
的长，然后利用勾股定理求出
AD
和
BC
，再由大
坝的截面的周长
=DC+AD+AE+EF+BF+BC
，梯形的面 积公式可得出答案．

试题解析：
∵
迎水坡坡比（
DE
与< br>AE
的长度之比）为
1
：
0.6
，
DE=30m，

∴AE=18
米，

在
RT△AD E
中，
AD=
DE
2
AE
2
=6
34< br>米

∵
背水坡坡比为
1
：
2
，

∴BF=60
米，

在
RT△BCF
中，
BC=< br>CF
2
BF
2
=30
5
米，

∴
周长
=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6
34
+10+30
5
+88=
（
6
34
+30
5
+98
）米 ，

面积
=
（
10+18+10+60
）
×30÷ 2=1470
（平方米）．

故大坝的截面的周长是（
6
34
+30
5
+98
）米，面积是
1470
平方米．


9
．如图，
AB
是
⊙O
的直径，
PA< br>、
PC
与
⊙O
分别相切于点
A
，
C
，
PC
交
AB
的延长线于点
D
，
DE⊥PO
交
PO
的延长线于点
E
．

(1)
求证：
∠EPD=∠EDO
；

(2)
若< br>PC=3
，
tan∠PDA=
3
，求
OE
的长．
4

【答案】（
1
）见解析；（
2
）
【解析】

【分析】

5
.

2
（
1
）由切 线的性质即可得证
.
（
2
）连接
OC
，利用
tan ∠PDA=
OC=
3
，可求出
CD=2,
进而求得
4
3
，再证明
△OED∽△DEP
，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出
OE
的长
.

2
【详解】

（
1
）证明：
∵PA
，
PC
与
⊙O
分别相切于点
A< br>，
C
，

∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO
，

∵DE⊥PO
，

∴∠PAO=∠E=90°
，

∵∠AOP=∠EOD
，


∴∠APO=∠EDO
，

∴∠EPD=∠EDO.

（
2
）连接
OC
，

∴PA=PC=3
，

∵tan∠PDA=
3
，

4
∴
在
Rt△PAD
中，

AD= 4
，
PD=
PA
2
AD
2
=5
，

∴CD=PD-PC=5-3=2
，


∵tan∠PDA=
3
，

4
∴
在
Rt△OCD
中，

OC=
3
，

2
OD=
OC
2
 CD
2
=
5
，

2
∵∠EPD=∠ODE
，
∠OCP=∠E=90°
，

∴△OED∽△DEP
，

PDPEDE
===2
，

DODEOE
∴DE=2OE,

∴

5

25
，在
Rt△OED
中，
OE
2
+DE
2=OD
2
，即
5OE
2
=

=

4

2

∴OE=
5
．

2
2

【点睛】

本题考查了切线的性质；锐角三角函数； 勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠PDA=
3
，得线段的长是解 题关键
.

4

10
．超速行驶是引发交通事故的主要原因 ．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知
识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线
AO
）的距离为
120
米的点
P
处．这时，一
辆小轿车由西 向东匀速行驶，测得此车从
A
处行驶到
B
处所用的时间为
5
秒且
∠APO
＝
60°
，
∠BPO
＝
45°
．

（
1
）求
A
、
B
之间的路程；

（
2
）请判断此车是否超过了万丰路每小时
65
千米的限制速度？请说明理由 ．（参考数
据：
21.414,31.73
）．

【答案】

【小题
1
】
73.2

【小题
2
】超过限制速度．

【解析】

解：（
1
）
AB100(31)
(2)
此车制速度
v=
73.2 (
米
)
．
…6
分

=18.3
米

秒


11
．已知
AB
是
⊙O
的直径，弦
CD⊥AB
于
H
，过
CD
延长线上一点
E
作
⊙O
的切线交
AB
的延长线于
F
，切点为
G
，连接
AG
交
CD于
K
．

（
1
）如图
1
，求证：KE
＝
GE
；

（
2
）如图
2
，连接
CABG
，若
∠FGB
＝
1
∠ACH
，求 证：
CA∥FE
；

2
3
，
AK
＝
10
，求
CN
5
（
3
）如图
3
，在（< br>2
）的条件下，连接
CG
交
AB
于点
N
，若
sinE
＝
的长．


【答案】（
1
）证 明见解析；（
2
）
△EAD
是等腰三角形．证明见解析；（
3
）
【解析】

试题分析：

20
10
.

13
（
1
）连接
OG
，则由已知易得
∠ OGE=∠AHK=90°
，由
OG=OA
可得
∠AGO=∠OAG
，从而可
得
∠KGE=∠AKH=∠EKG
，这样即可得到
KE=GE
；

（
2
）设
∠FGB=α
，由
AB
是 直径可得
∠AGB=90°
，从而可得
∠KGE=90°-α
，结合
GE=KE
可得
∠EKG=90°-α
，这样在
△GKE
中可得∠E=2α
，由
∠FGB=
∠E=∠ACH
，由此即可得到
CA ∥EF
；

（
3
）如下图
2
，作
NP⊥A C
于
P
，

1
∠ACH
可得
∠ACH=2 α
，这样可得
2

由（
2
）可知
∠ACH=∠ E
，由此可得
sinE=sin∠ACH=
CH=4a
，则
tan∠ CAH=
AH3

，设
AH=3a
，可得
AC=5a
，
AC5
CH4

，由（
2
）中结论易得
∠CA K=∠EGK=∠EKG=∠AKC
，从而可
AH3
得
CK=AC=5a，由此可得
HK=a
，
tan∠AKH=
AH
3
，< br>AK=
10
a
，结合
AK=
10
可得
a=1
，
HK
则
AC=5
；在四边形
BGKH
中，由∠BHK=∠BKG=90°
，可得
∠ABG+∠HKG=180°
，结合
∠AKH+∠GKG=180°
，
∠ACG=∠ABG
可得
∠ACG=∠A KH
，

在
Rt△APN
中，由
tan∠CAH=
tan∠ACG=
4PN

，可设
PN=12b
，
AP=9 b
，由
3AP
PN5

tan∠AKH=3
可得
C P=4b
，由此可得
AC=AP+CP=
13b
=5
，则可得
b=
，由
CP13
此即可在
Rt△CPN
中由勾股定理解出
CN
的长
.

试题解析：

（
1
）如图
1
，连接
OG
．


∵EF
切
⊙O
于
G
，

∴OG⊥EF
，

∴∠AGO+∠AGE=90°
，

∵CD⊥AB
于
H
，

∴∠AHD=90°
，

∴∠OAG=∠AKH=90°
，

∵OA=OG
，

∴∠AGO=∠OAG
，

∴∠AGE=∠AKH
，

∵∠EKG=∠AKH
，

∴∠EKG=∠AGE
，

∴KE=GE
．

（
2
）设
∠FGB=α
，

∵AB
是直径，

∴∠AGB=90°
，

∴∠AGE=∠EKG=90°
﹣
α
，

∴∠E=180°
﹣
∠AGE
﹣
∠EKG=2α
，

∵∠FGB=
1
∠ACH
，

2

∴∠ACH=2α
，

∴∠ACH=∠E
，

∴CA∥FE
．

（
3
）作
NP⊥AC
于
P
．

∵∠ACH=∠E
，

∴sin∠E=sin∠ACH=
则
CH=
2
AH3

，设
AH=3a
，
AC=5a< br>，

AC5
2
ACCH4a
，
tan∠CAH=
CH4

，

AH3
∵CA∥FE
，

∴∠CAK=∠AGE
，

∵∠AGE=∠AKH
，

∴∠CAK=∠AKH
，

∴AC=CK=5a
，
HK=C K
﹣
CH=4a
，
tan∠AKH=
∵AK=
10
，

∴
AH
=3
，
AK=
AH
2
HK
2
10a
，

HK
10a10
，

∴a=1
．
AC=5
，

∵∠BHD=∠AGB=90°
，

∴∠BHD+∠AGB=180°
，

在四边形
BGKH
中 ，
∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°
，

∴∠ABG+∠HKG=180°
，

∵∠AKH+∠HKG=180°
，

∴∠AKH=∠ABG
，

∵∠ACN=∠ABG
，

∴∠AKH=∠ACN
，

∴tan∠AKH=tan∠ACN=3
，

∵NP⊥AC
于
P
，

∴∠APN=∠CPN=90°
，

在
Rt△APN
中，< br>tan∠CAH=
在
Rt△CPN
中，
tan∠ACN=
∴C P=4b
，

∴AC=AP+CP=13b
，

∵AC=5
，

∴13b=5
，

∴b=
PN4

，设
PN=12b
，则
AP=9b
，

AP3
PN
=3
，

CP
5
，

13

∴CN=
PN
2
CP
2
=< br>410b
=
20
10
．

13


12
．如图，某人在山坡坡脚
C
处测得一座建筑物顶点
A
的 仰角为
63.4°
，沿山坡向上走到
P
处再测得该建筑物顶点
A的仰角为
53°
．已知
BC
＝
90
米，且
B< br>、
C
、
D
在同一条直线上，山
坡坡度
i
＝< br>5
：
12
．

(1)
求此人所在位置点
P< br>的铅直高度．
(
结果精确到
0.1
米
)

( 2)
求此人从所在位置点
P
走到建筑物底部
B
点的路程
(< br>结果精确到
0.1
米
)(
测倾器的高度忽
略不计，参考数据：
tan53°≈
4
，
tan63.4°≈2)

3

【答案】（
1
）此人所在
P
的铅直高度约为
14.3
米；（
2
）从
P
到点
B
的路程约为
127.1< br>米

【解析】

分析：
(1)
过
P
作
PF⊥BD
于
F
，作
PE⊥AB
于
E
， 设
PF
＝
5x
，在
Rt△ABC
中求出
AB
，用含
x
的式子表示出
AE
，
EP
，由
tan∠ APE
，求得
x
即可；
(2)
在
Rt△CPF
中， 求出
CP
的长
.

详解：过
P
作
PF⊥B D
于
F
，作
PE⊥AB
于
E
，

∵
斜坡的坡度
i
＝
5:12
，

设
PF
＝
5x
，
CF
＝
12x
，

∵
四边形
BFPE
为矩形，

∴BF
＝
PEPF
＝
BE.

在
RT△ABC
中，
BC
＝
90
，

tan∠ACB
＝
AB
，

BC
∴AB
＝
tan63.4°×BC≈2×90
＝
180
，

∴AE< br>＝
AB
－
BE
＝
AB
－
PF
＝180
－
5x
，

EP
＝
BC
＋
CF≈90
＋
120x.

在
RT△AEP
中，

tan∠APE
＝< br>∴x
＝
AE1805x4
＝
，

EP90＋12x3
20
，

7
100
14.3
.

7
∴PF
＝5x
＝
答：此人所在
P
的铅直高度约为
14.3
米.


由
(1)
得
CP
＝
13x
，

2 0

37.1
，
BC
＋
CP
＝
90
＋
37.1
＝
127.1.

7
答：从
P
到点
B
的路程约为
127.1
米
.

∴CP＝
13×
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几 何图
形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股
定 理或三角函数求相应的线段长
.