依依不舍-李广将军

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4.3 立体图形的表面展开图


1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图
将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸 ．礼物外形不同，包装纸的形
状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展 开图是什么形状
呢？
(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．

(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．

(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．

【例1】 如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使
AB
，
DC
重合，
则所围成的几何体图形是( )．


解析：此题 可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以
排除A；圆锥的侧面展开图是 扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也
要排除；故选D.
答案：D
2.正方体的表面展开图
(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的 个数，归纳起来有四
种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正 方体
的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间
出现了两组“日”型结构．
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(2)正方体展开图 中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)
是正方体的两个对面，如图1中的
A
面和
B
面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，
如图2、 图3的
A
面和
B
面．
此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．
解技巧 正方体的表面展开图的判断思路 (1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行
之间有且只有一个“日”型结构．
【例2】 一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在
该正方形中，与“爱”相对的 字是( )．


A．家 B．乡 C．孝 D．感 < br>解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、
折一折，即 可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图
对面之间不能有公共边或公 共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后
“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱 ”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”
相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对 面寻找技巧——“相间、‘Z’端是
对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个 小正方形)是正方体的两
个对面易知“爱”与“乡”相对．
答案：B
【例3】 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是( )．
A．4 B．6 C．7 D．8
解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则 原正方体相
对两个面上的数字和最小为6.
答案：B
谈重点 解决正方体展开图问题的关键 熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以
有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．

3．正方体表面展开图的应用
如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开 图一共有11个．正方
体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．
(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．

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(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．
(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．




【例3－1】 一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，< br>在该正方体中和“超”所对的汉字是__________．

解析：这是“1–3– 2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共
边或公共顶点，所以“超”字的对面不 能是“沉”、“着”、“越”，根据上下相对和左右
相对，由于“信”和“着”相对，“着”和“超”相 邻，所以“信”和“超”相邻．这样和
“超”相对的字只能是“自”．
答案：自
【例3－2】 六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体
礼盒． 她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案(实线部分)，经裁剪、折叠后成为
一个封闭的正方体 礼盒．请你参照如图，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、
折叠后也能成为一个封闭的正方 体礼盒．

图1 图2
分析：阿兰设计的是正方体 的11种展开图中的一种，可以从剩下的10种展开图中任选
两种在如图的小方格中画出．
解：如图2所示．

4.其他立体图形展开图的应用
由平面图形围成的立体 图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观
察，并大胆想象立体图形与表面展开图的 关系．
立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先
观察立体图形的每一个面的形状．
圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形， 底面是圆；
n
棱柱
的侧面展开图是
n
个高相等的长方形，底面是n
边形；
n
棱锥的侧面展开图是
n
个三角形，
底面是< br>n
边形．

【例4】 小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛， 从
A
处爬行到对面
的中点
B
处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条 最短路线图．
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分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．
解：如图所示．

5．立体图形展开图的应用
立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要 学生经历一定的实验
操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸 、翻转活
动，较好地考查了学生的空间观念．
解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种 图案的面的特点及位置，解题时，先正
确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特 点，从而选出正确的答
案．
有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要 求的选择项先排除
掉，再一步步的寻找正确的选项．
要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立 体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充
分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经 验．

【例5－1】 如图所示的正方体的展开图是( )．


解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白
三角形，C项折 叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.
答案：B
【例5－2】 图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中
哪一个是图2的表面展开图( )．

解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D，又阴影部分正方形在左，三角形
在右．故选A.
答案：A
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