空间几何体的结构特征及三视图与直观图训练题
奶粉市场-国际形势论文
空间几何体的结构特征及三视图与直观图
训练题
一、题点全面练
1
．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体
的侧视图为
( )
解析：选B 根据题意，得点
A
在平面
BC
C
1
B
1
上的投影是点
B
，点
D
在平面
BCC
1
B
1
上的投影是点
C
，棱
AB
1
在平面
BCC
1
B
1
上的投影是
B
B
1
，棱
AD
1
在平面
BCC
1
B
1
上的投影是
BC
1
，棱
B
1
D
1在平面
BCC
1
B
1
上的投影是
B
1
C
1
，棱
B
1
C
是被挡住
的棱，应画成虚线，作出
该几何体的侧视图如图所示，故选B.
2.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方
形和
等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该
多面体的各个面中
有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10
C．14
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形
的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直
三棱柱的高
为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为
＋
2
×
2＝12.
B．12
D．16
3．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视
图为(
)
解析：选D
由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.
4.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱
的高为2，底面周长为16，其三视图如图
所示．圆柱表面上的点
M
在正视图上的对应
点为
A
，圆柱表面上的点
N
在
左视图上的对应点为
B
，则在此圆柱侧面上，从
M
到
N
的路径中，最短路
径的长度为(
)
A．217
C．3
B．25
D．2
解析：选B
先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点
M
，
N
的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及
M
，
N
的位置(
N
为
OP
的四等分点)如图②所示，连接
MN
，则图中
MN
即
为
M
到
N
的最短路径．∵
ON
＝×16＝4，
OM
＝2，
∴
MN
＝
OM
＋
ON
＝2＋4＝25.
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的
x
的值是(
)
2222
1
4
A．2
3
C.
2
9
B.
2
D．3
解析：选D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积
V
11＋2
＝××2×
x
＝3，解得
x
＝3.
32
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )
A．圆弧
C．椭圆的一部分
B.抛物线的一部分
D．双曲线的一部分
解析：选D 根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于
旋转轴的平面
截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
7.如图，△
A
′
B
′
O
′是利用斜二测画法画出的△
ABO<
br>的直观图，已
知
A
′
B
′∥
y
′轴，
O
′
B
′＝4，且△
ABO
的面积为16，过
A
′作
A
′
C
′
⊥
x
′轴，则
A
′
C
′的长为________．
解析：因为
A
′
B
′∥
y
′轴，所以△
ABO
中，
AB
⊥
OB.
1
又因为△
ABO
的面积为16，所以
AB
·OB
＝16.
2
因为
OB
＝
O
′
B
′＝4，所以
AB
＝8，所以
A
′
B
′＝4. <
br>因为
A
′
C
′⊥
O
′
B
′于
C
′，
所以
A
′
C
′＝4sin 45°＝22.
答案：22
8．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形
，在
该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；
②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形
的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：由三视图可知，该几何体是正四
棱柱，作出其直观图为如图
所示的四棱柱
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
，当选择的4个点是
B
1，
B
，
C
，
C
1
时，可知
①正确；当选择的4个点是
B
，
A
，
B
1
，<
br>C
时，可知②正确；易知③不正确．
答案：①②
9．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12
cm，
则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点
A
作
AC
⊥
OB
，交
OB
于点
C
.
在Rt△
ABC
中，
AC
＝12(cm)，
BC
＝8－3
＝5 (cm)．
∴
AB
＝12＋5＝13(cm)．
答案：13 10．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该
几何体需要
的小正方体的块数是________．
22
解析：画出直观图可知，共需要6块．
答案：6
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2018·开封一模)如图，在一个正方体内放入两个
半径不相等的球
O
1
，球
O
2
，这两
个球外切，且
球
O
1
与正方体共顶点
A
的三个面相切，球
O
2<
br>与正方体共顶点
B
1
的三个面相切，
则两球在正方体的面
AA
1
C
1
C
上的正投影是( )
解析：选B 由题意可以判断出两球在正方体的面
AA
1
C<
br>1
C
上的正投影与正方形相切，排
除C、D；若把其中一个球扩大为与正方体相
切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，
所以排除A，B正确．
2.已知点
E
，
F
，
G
分别是正方体
ABCD
A1
B
1
C
1
D
1
的棱
AA
1
，
CC
1
，
DD
1
的中点，点
M
，
N
，Q，
P
分别在线段
DF
，
AG
，<
br>BE
，
C
1
B
1
上．以
M
，
N
，Q，
P
为顶点的三棱锥
P
MN
Q的俯视图
不可能是( )
解析：选C 当
M
与
F
重合，
N
与
G
重合，Q与
E
重合，
P
与
B1
重合时，三棱锥
P
MN
Q
的俯视图为A；当
M
，
N
，Q，
P
是所在线段的中点时，三棱锥
P
MN
Q的俯视图为B；当
M
，
N
，
Q，
P
位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥
P
MN
Q，使其俯视
图为D.
3．(2019·漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(
)
A.5
C．3
B.22
D．23
解析：选C
在棱长为2的正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
AD
的中点，
该几何体
的直观图如图中三棱锥
D
1
MB
1
C
所示．故通
过计算可得
D
1
C
＝
D
1
B
1
＝
B
1
C
＝22，
D
1
M
＝
MC<
br>＝5，
MB
1
＝3，故最长棱的长度为3.
4．已知正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1<
br>的体积为1，点
M
在线段
BC
上(点
M
异
于
B
，
C
两点)，点
N
为线段
CC
1
的中点，若平面
AMN
截正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
所得的截面为四
边形，则线段
BM
的取值范围为( )
1
A.
0，
3
1
C.
，1
<
br>
2
1
B.
0，
2
12
D.
，
23
解析：选B 由题意，正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1<
br>的棱长为1，如图所示，
1
当点
M
为线段
BC
的中点
时，截面为四边形
AMND
1
，当0＜
BM
≤时，截面
2<
/p>
1
为四边形，当
BM
＞时，截面为五边形，故选B.
2
5.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥
的底
面圆上的点
P
出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点
P
处．若该小虫爬行的最短路程为43 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
解析：把圆锥侧面沿过点
P
的母线展开，其图象为如图所示的
扇形，
由题意
OP
＝4，
PP
′＝43，
4＋4－3
则
cos∠
POP
′＝
2×4×4
设底面圆的半径为
r
，
2π4
则2π
r
＝×4，所以
r
＝.
33
4
答案：
3
(二)交汇专练——融会巧迁移
6．[
与椭圆交汇]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，
正视图为正方形，其中
俯视图中椭圆的离心率为( )
222
12π
＝－，所以∠
POP
′＝.
23
1
A.
2
C.
2
2
B.
2
4
3
2
D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边
长为
a
，
则斜边长为2
a
，圆锥的底面半径为
2
a
、母线长为
a
，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2
2
2
<
br>a
2
＝
2
.
2
a
a
、短轴长为
a
，其离心率
e
＝1－
7．[与不等式交汇]已知直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角
形，用一平面截此棱柱，
与侧棱
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别交于三点
M
，
N
，Q，若△
MN
Q为直角三角
形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )
A．22
C．23
B．3
D．4
2
解析：选C 如图，不妨设
N
在
B
处，设
AM
＝
h
，
C
Q＝
m
，则
MB
222222222
＝
h
＋4，
B
Q＝
m
＋4，
M
Q＝(
h
－
m
)＋4，
由
MB
＝
B
Q＋
M
Q，得
m
－
h
m
＋2＝0.Δ＝
h
－8≥0⇒
h
≥8，该直角三角形斜边
MB
＝4＋
h
≥23，
故该直角三角形斜边长的最小值为23.
222