中国好声音里的歌曲-绝望锻炼了我

第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图


[学生用书P120]

一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体
棱柱
棱锥
棱台
(2)旋转体的形成
几何体
圆柱
旋转图形
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
或对边中点连线所在直线
一直角边所在的直线或等腰
三角形底边上的高所在直线
直角腰所在的直线或
圆台 直角梯形或等腰梯形 等腰梯形上下底中点
连线所在直线
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公
共边都互相平行
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
圆锥 直角三角形或等腰三角形

球
2.三视图
半圆或圆 直径所在的直线
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左 方、
正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
3．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图 中，x′轴，y′轴的夹角为45°
(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保 持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
常用结论
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变


“三变”

与y轴平行的线段的长度变为原来的一半



图形改变
平行性不改变


“三不变”

与x，z轴平行的 线段的长度不改变



相对位置不改变
二、习题改编
1．(必修2P19练习T2改编)下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

解析：选D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．
2．(必修2P8A组T1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写 所有
正确的序号)

答案：③⑤
3．(必修2P15练习T1改编)已知 如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填
序号)

解析：由俯视图定义易知选项③符合题意．
答案：③

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )
(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )
(6)菱形的直观图仍是菱形．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
常见误区
|
Ｋ
(1)棱柱的概念不清致误；
(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错；
(3)斜二测画法的规则不清致误．
1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去 一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何
体是( )

A．棱台
C．五棱柱
B．四棱柱
D．六棱柱
解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.
2．将一个长方体沿相 邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视
图如图所示，则该几何体的侧视图为( )

解析：选B.先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图< br>和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.故选B.

3．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标< br>系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm
2
.

解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm
2
.
答案：矩形 8
[学生用书P121]

空间几何体的几何特征(自主练透)

1．下列说法正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：

选D. 由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，
则B不正确．侧棱长与底 面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义
知，D正确．
2．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选B.①不一定 ，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，
棱台的上、下底面是相似且对应边平行 的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一
定相等．
3．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；

②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；
③正确，因 为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正
方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中的三棱锥C
1
­ABC，四个面都是直角三角形．

答案：②③④

空间几何体概念辨析问题的常用方法


空间几何体的三视图(多维探究)
角度一 已知几何体，识别三视图
(1)(2020· 宜宾模拟)已知棱长都为2的正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的直观图如图．若
正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为( )


(2)(20 20·湖南衡阳二模)如图，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，B在平面α上，AB＝2.
若平面A
1
B
1
C
1
D
1
与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
在平面α 上的俯视图的面积为( )

A．2 B．1＋3 C．23 D．22
【解析】 (1)由题知，四个选项的高都是2.若侧视图为A，则中间应该有一条竖直的< br>实线或虚线；若侧视图为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若侧视图为D，则
长度应 为3，而不是1.故选B.
(2)由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD所成的角为30 °，与平面B
1
A
1
AB
所成的角为60°，故所得的俯视图的面积 S＝2×(2cos 30°＋2cos 60°)＝2(cos 30°＋cos
60°)＝1＋3.
【答案】 (1)B (2)B
角度二 已知三视图，判断几何体
(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，
则这个几何体是( )

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )

A．1
C．3
【解析】 (1)
B．2
D．4

由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.
(2)将三视 图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱
锥，如图所示．

易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，
AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，
因为PA⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，
所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，
故△PCD不是直角三角形，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
【迁移探究1】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是
多少？
解：由三视 图可知，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝22，PC＝3，
CD＝5，故 最长棱为PC，且|PC|＝3.
【迁移探究2】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．
1
解：面积最小的面为面PBC，且S
△PBC
＝
BC·PB
2
1
＝
×1×22＝2，
2
即最小面的面积为2.
角度三 已知几何体的某些视图，判断其他视图
(1)(2020·福州模拟)如图为一圆 柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图

可以是( )


(2)(2020·河北衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”
其意思为： “今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2
丈，问：它的体积是多少 ？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的
侧视图的周长为( )

A．3丈
C．8丈
B．6丈
D．(5＋13)丈
【解析】 (1)圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合正视图，可
知侧视 图最高点在中间，故选B.
(2)由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应 高为2丈，所
以腰长为 2
2
＋

3

＝
5
(丈)，所以该楔体侧视图的周长为3＋2×
5
＝8(丈)．故选C.

2

22
2
【答案】 (1)B (2)C

三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和 俯视图的观察方向，注意看到
的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示．
(2)由几何体 的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直
观图的可能形式，然后再找其剩 下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项
代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视
图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．

1．中国古建筑借助榫 卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，
图中木构件右边的小长方体是榫头．若 如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方
体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所< br>以是虚线，结合榫头的位置知选A.
2．(2020·安徽宣城二模)一个几何体的三视图如图 所示，在该几何体的各个面中，面积
最大面的面积是( )

A．2 B．22 C．23
解析：选C.
D．4

如图所示，由三视图可知该几何体是四棱锥P- ABCD截去三棱锥P­ABD后得到的三棱
锥P-BCD.其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，易知面
积最大面为面PBD，面积为
3
×(2 2)
2
＝23.故选C.
4
3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视 图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的

对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对 应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N
的路径中，最短路径的长度为( )

A．217 B．25 C．3 D．2
解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图 ①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长
为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN， 则MS＝2，SN＝4，则从M到N
的路径中，最短路径的长度为MS
2
＋SN
2
＝2
2
＋4
2
＝25.故选B.





空间几何体的直观图(自主练透)
1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )

A．平行四边形
C．菱形
B．梯形
D．矩形
解析：选D .由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，
故四边形ABC D为矩形．
2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
C.
3
2
a
4
6
2
a
8
B．
D．
3
2
a
8
6
2
a
16
解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，

1 3
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点 D′，则C′D′
24
＝
261166
O′C′＝a.所以S
△A′ B′C′
＝
A′B′·C′D′＝×a×a＝a
2
.故选D.
28 22816
3．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在 直
线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
解析：因为OE＝（2）
2
－1
2
＝1，
12
所以O′E′＝
，E′F′＝.
24
所以直观图A′B′C′D′的面积为
122
S′＝×(1＋3)×
＝
.
242

答案：
2

2

(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变


“三变”

与y轴平行的线段的长度变为原来的一半



图形改变
平行性不改变


“三不变”

与x，z轴平行 的线段的长度不改变



相对位置不改变
(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系
对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的
关系S′＝2
S，能更快捷地进行相关问题的计算．
4

[学生用书P124]
构造法求解三视图问题的三个步骤 三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，
是高考的热 点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，而由三视图还原几何体只要按
照以下三个步骤去做，基 本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，
在长(正)方体中画出俯视图；第二 步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向
上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可．
一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何
体的体积为( )

1
A.
6
C.
3

6
B．
2

6
1
D．
2
【解析】

几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正 方体的上底面及底面对角
线．②俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角．正视 图和侧视图
中的直角对应上底面左边外侧顶点(图中D点上方顶
点)，将该顶点下拉至D点， 连接DA，DB，DC即可．该几何体即图中棱长为1的正
111
方体中的四面体ABCD，其 体积为
××1×1×1＝.故选A.
326

【答案】 A
如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还
原其直观图．

【解】 第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①.
第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角．
第三步，将俯视图的直角顶点向上 拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体
为三棱锥A-BCD，如图②.

[学生用书P291(单独成册)]
[基础题组练]
1． 如图所示是水平放置的 三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC
分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中 三条线段AB，AD，AC中( )

A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB

2．如图所示的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶
点的圆锥而得，现 用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤
解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；
故截面图形可能是①⑤.
3．(2020·陕西彬州质检)一个几何体的三视图如图所示，其 中正视图中△ABC是边长为
1的等边三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )

333
A. B． C．1 D．
842
解析：选A.

由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所 示．该正六棱锥的底面正六边形的
133
边长为
，侧棱长为1，高为.侧视图的底面边 长为正六边形的高，为，则该几何体的侧
222
1333
视图的面积为
××< br>＝
，故选A.
2228

4．(2020·江西省名校学术联盟 质检)如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是
某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的 集合为( )

A．{1，5}
C．{1，2，5}
B．{1，6}
D．{1，2，22，6}
解析：选B.如图所示，该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，
侧棱长为6，故选B.
5．(一题多解)(2020·河南非凡联盟4月联考)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，< br>它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，< br>D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为( )

A．12 B．32 C．62 D．6
解析：选B.法一：由题图易知，该几何体为 一个四棱锥(高为23，底面是长为4，宽
为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组 合体，所以其俯视图的外侧边沿线
组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四 边形O′A′B′C′的面积为
3
4×sin 45°＝32.
2
法二：由 斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3
＝12，结合直观图面 积是原图形面积的
2
，即可得结果．
4
6.某多面体的三视图如图所示，其 中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组
成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该 多面体的各个面中有若干个是梯形，
这些梯形的面积之和为________．

解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角 形的直三
棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为
（2＋4）×2
×2＝12.
2
答案：12
7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，
则这个圆台的母线长为______cm.
解析：

如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．
所以AB＝
答案：13
8．已知正四棱锥V- ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高
为________．
12
2
＋5
2
＝13(cm)．

解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V- ABCD
的高．因为底面面积为16，所以AO＝22.
因为一条侧棱长为211，
所以VO＝VA
2
­AO
2
＝44－8＝6.

所以正四棱锥V-ABCD的高为6.
答案：6
9．如图所示的三 个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正
视图和侧视图如图所示(单位：cm )．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．

解：(1)如图．

(2)所求多面体的体积V＝V
长方体
－V
正三棱锥

11284
＝4×4×6－
×(×2×2)×2＝(cm
3
)．
323
10．已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图和侧视图；
(2)求出侧视图的面积．

解：(1)如图．

(2)侧视图中VA＝4
2
－

2

2
×
3
×23

＝12＝23. < br>
32

1
则S
△VBC
＝
×23×23＝ 6.
2
[综合题组练]
1．(2020·河南开封一模)如图，在一个正方体内放 入两个半径不相等的球O
1
，O
2
，这两
个球外切，且球O
1
与正方体共顶点A的三个面相切，球O
2
与正方体共顶点B
1
的三 个面相
切，则两球在正方体的面AA
1
C
1
C上的正投影是( )


解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA
1
C1
C上的正投影与正方形相切，排
除C，D.由于两球不等，把其中一个球扩大为与正方体 相切，则另一个球被挡住一部分，所
以排除A.B正确．

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )

A．圆弧
C．椭圆的一部分
B．抛物线的一部分
D．双曲线的一部分
解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于 旋转轴的平面
截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.
3．如图，在 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， 点P是线段A
1
C
1
上的动点，则三棱锥P- BCD
的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )

A．1
C.3
B．2
D．2
解析：选D.正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着 点P的变化，其正
视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B
1
C
1上移动，由此可知，设正方体的棱长为
1
a，则S
正视图
＝
×a
2
；设A
1
C
1
的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中 ，易知当点P在
2
OC
1
上移动时，S
俯视图
就是底面三角 形BCD的面积，当点P在OA
1
上移动时，点P越靠近
A
1
，俯视 图的面积越大，当到达A
1
的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S
2
俯视图
＝a
，所以
S
俯视图
a
2
的最大值 为＝2，故选D.
1
2
S
正视图
a
2
4．(20 20·河北衡水二模)某几何体的三视图如图所示，三视图中的点P，Q分别对应原
几何体中的点A，B ，在此几何体中从点A经过一条侧棱上点R到达点B的最短路径的长度
为( )

A．a
C.
5
a
2
B．2a
D．3a
解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体 为棱长为a的正四面体(如图1)，将侧面
三角形CDB绕CD翻折到与面ACD在同一平面内(如图2 )，

连接AB与CD交于一点R，该点即为使路径最短的侧棱上的点R，且最短路径为AB
长，在△ACB中，由余弦定理易知AB＝a
2
＋a
2
－2a·a· cos 120°＝3a.故选D.
5．已知正方体ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1
的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，< br>点N为线段CC
1
的中点，若平面AMN截正方体ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
所得的截面为四边形，则
线段BM的取值 范围为( )
1
0，

A.


3

1

C.


2
，1


1
0，

B．


2

12< br>
D．


2
，
3


解 析：选B.由题意，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC
11
的中点时，截面为四边形AMN D
1
，当0＜BM≤
时，截面为四边形，当BM＞时，截面为
22
五 边形，故选B.

6．已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面
截此棱柱， 与侧棱AA
1
，BB
1
，CC
1
分别交于三点M，N，Q， 若△MNQ为直角三角形，则
该直角三角形斜边长的最小值为( )
A．22
C．23
B．3
D．4
解析：选C.如图，不妨设N在B处，AM＝h，C Q＝m，则MB
2
＝h
2
＋4，BQ
2
＝m
2＋4，MQ
2
＝(h－m)
2
＋4，由MB
2
＝BQ< br>2
＋MQ
2
，得
m
2
－hm＋2＝0.Δ＝h
2
－8≥0即h
2
≥8，该直角三角形斜边MB＝
≥23.故选C. 7．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O
1
A
1
B
1
C
1
，如图(2)，
其中O
1
A1
＝6，O
1
C
1
＝2，则该几何体的侧面积为_______ _．
4＋h
2

解析：由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示 的平
行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD
＝2×22＝42， 所以CO＝CD
2
＋OD
2
＝6＝OA，所以俯视图
是以6为边长的 菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面
积为4×6×4＝96.
答案：96
8．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表 之一，印信的
形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体 ”

(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现 了数学
的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表
面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体
共有26个 面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体
的棱长为x，则
答案：26


22
x＋x＋x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.
22
2－1