西崎崇子-选择的艺术

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第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图



三视图与直观图
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征，并能运用这
些特征描述现实生活中简单物体的结构．
(2)能画出简单空间图形 (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易
组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用 斜二测画
法画出它们的直观图．
(3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解
空间图形的不同表示形式．
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严
格要 求)．


知识点一 空间几何体的结构特征
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
易误提醒 (1)棱台可以看成是由棱锥截得的，但截面一定与底面平行．

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(2)球的任何截面都是圆．球面被经过球心的平面截得 的圆叫作大圆，大圆的半径等于
球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫作小圆，小圆的半径小于球的 半径．
必记结论 球的截面的性质
(1)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝R
2
－d
2
.
[自测练习]
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
答案：B

2．如图，在球中被平面所截面的截面小圆的半径为2，球心半径为3， 则球心到截面圆
心距离为________．
解析：由条件知r＝2，R＝3，
∴ r
2
＋d
2
＝R
2
，∴d＝R
2
－r2
＝5.
答案：5
知识点二 空间几何体的三视图
1．三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
2．三视图的画法
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察
几何体的正投 影图．
易误提醒 (1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线
表示．
(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
[自测练习]
3．(20 16·深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它
的俯视图是( )

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解析：由于三视图可见部分用实线画出，不可见部分用虚线画出，故选B.
答案：B
4．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为( )

A．圆锥
C．三棱柱
B．三棱锥
D．三棱台
解析：根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱．
答案：C
知识点三 空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
1．原图形中x轴 、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，
z′轴与x′轴和y′ 轴所在平面垂直．
2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的 线
段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
必记结论 斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变


“三变”
与y轴平行的线段的长度变为原来的一半


图形改变
平行性 不改变


“三不变”

与x，z轴平行的线段的长度不改变


相对位置不改变




[自测练习] < br>5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原
来的图形是 ( )

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解析：根据斜二测画法的规则知，选A.
答案：A


考点一 空间几何体的结构特征|

1．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等 的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面
与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两 垂直，则其三个侧面也两两垂直；④
棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．
其中正确命题的序号是( )
A．①②③
C．③
B．②③
D．①②③④

解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错 ；对于②，截面与底面不一定平行，故
②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等 腰梯形，故④错；由面面
垂直的判定及性质知③正确，故选C.
答案：C
2．下列结论中正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
解析：当一个几何体由具有相同的底面 且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各
面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不 是直角三角形或是直角三角形但
旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥 的所有棱都相等，
则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底 面边

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长，故C错误．
答案：D

解决空间几何体结构特征问题的三个策略
(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．
(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．
(3)通过反例对结构特征进行辨析．

考点二 空间几何体的三视图|

(2016·温州模拟)(1)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )



(2)(2016·汕头模拟)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过 N，顶点D，C
1
的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是( )


[解析] (1)利用排除法求解．B的侧视图不对，C图的俯视图不对，D的正 视图不对，
排除B，C，D，A正确，故选A.
(2)能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线．故选B.
[答案] (1)A (2)B

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三视图问题的求解方法
(1)对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成
的，然后再画其 三视图．
(2)由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；< br>③综合起来，定整体．


(2015·江西师大附中模拟)已知一个三 棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧
视图面积为( )

A.
3

2
B.
3

4
C．1
1
D.
2
解析：由三棱锥的正视图与俯视图 可知，该三棱锥的侧视图是一个两条直角边长分别为
3133
，1的直角三角形，故它的面积为 ××1＝.
2224
答案：B
考点三 空间几何体的直观图|

1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于
x轴．已知四 边形ABCD的面积为22 cm
2
，则原平面图形的面积为( )


A．4 cm
2

C．8 cm
2

B．42 cm
2

D．82 cm
2

解析：依 题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD

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相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm
2
.
答案：C
2．已知△ABC是边长为a的等边三角形，则其直观图△A′B′C′的面积为________．

解析：如图所示，设△A′B′C′为△ABC的直观图，
O′为A′B′的中点．
由直观图的画法知A′B′＝a，
13a3a
O′C′＝·＝，
224
1
∴S
△
A
′
B
′
C
′
＝·A′B′·(O′C′·sin 45°)
2
1

3a
6a
2
2

＝·a· ＝.
2

4
×
2

16
6a
2
即边长为a的等边三角形的直观图的面积为.
16
6a
2
答案：
16

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S< br>直观图
＝
原图形．
2
S
4



15.画三视图忽视边界线及其实虚致误
【典例】 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几
何体的侧视图为( )

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[解析] 还原正 方体后，将D
1
，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D
1
A的射影为< br>C
1
B，且为实线，B
1
C被遮挡应为虚线．
[答案] B
[易误点评] (1)忽视B
1
C是边界线致误．
(2)注意了B
1
C是边界线，但忽视了B
1
C不可视，在侧视图中应为虚线，从而造成错误
答案．
[防范措施] (1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，< br>其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的
是我们 要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面
与面之间的边界线 ，再根据是否可视确定实虚．
[跟踪练习] (2015·张家界模拟)沿一个正方体三个面的对角线 截得的几何体如图所示，
则该几何体的侧视图为( )


解析：结合几何体及选项知B项正确．
答案：B

A组 考点能力演练
1.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是
( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在 △ABC中，AC
∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB.又因为A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠ AB，∴△ABC是直
角三角形．B项正确．
答案：B
2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )

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A．8
C．42
B．43
D．4
解析：由三视图可知，该几何体是一个正三 棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三
角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝43.
答案：B
3．(2016·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示 某个三棱锥，则不是该三棱锥的
三视图是( )

解析：易知该三棱锥的底面是直 角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左
往右看得到的图形，结合B、D选项知，D选项中 侧视图、俯视图方向错误，故选D.
答案：D
4．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三 个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的
四个面中，直角三角形的个数为( )

A．1
C．3
B．2
D．4

解析：观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A- BCD的底面BCD是直角三角形，

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AB⊥平面BCD， CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形，由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD
⊥平面ABC，C D⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D.
答案：D
5．(2016·长沙模拟)某 几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可
以作为该几何体的俯视图的是( )


A．①③
C．①②③
B．①③④
D．①②③④
解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切 ，故图
②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，故选A.
答案：A
6．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体 的
4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧
面 垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．
解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方
体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中的四面体A -C B
1
D
1
；②错误，反例如图所示，底面
△ABC为等边三角形，可 令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三
角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但 不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻
的两个侧面．
答案：①
7.如图所示 ，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边
长为a的正三角形，则△ABC的面积为 ________．
解析：如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′ 交y′轴
于点D′，则C′，D′到x′轴的距离为
3
a.
2

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∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝
由斜二测画法的法则知，
1
在△ ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为6a，∴S
△
ABC< br>＝
2
a·6a＝
6
2
a.
2
6
2
a
2
6
a，
2
答案：
8．(2016·武邑一模)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影
是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线
段，则a＋b的 最大值为________．
解析：本题构造长方体，体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中
为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b
2
－1＋a
2－1＝6，即a
2
＋b
2
＝8，利用不等式

2
≤
a＋b


2

a
2
＋b
2
＝4，则a＋b≤4.
2
答案：4
9．已知正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．
解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高OS＝3，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，
在Rt△SOA中，
OA＝SA
2
－OS
2
＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
1
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝2，SO＝3，
2
∴SE＝5，即棱锥的斜高为5.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为 正方形，PC与底面ABCD垂直，
下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三
角形．

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(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA.
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，
其面积为36 cm
2
.
(2)由侧视图可求得PD ＝PC
2
＋CD
2
＝6
2
＋6
2
＝62.
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD
2
＋AD
2
＝62
2
＋6
2
＝63 cm.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出 的是一
个几何体的三视图，则这个几何体是( )

A．三棱锥
C．四棱锥
B．三棱柱
D．四棱柱
解析：由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选
B.

答案：B
2．(2014·高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示 ，将该石材切削、打磨，
加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

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A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题图可知该几何体为三棱柱，最大球 的半径为r，则8－r＋6－r＝8
2
＋6
2
，
得r＝2.
答案：B
3．(2013·高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的 正方形，侧
视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A.


解析：由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂
直于面BDD
1
B
1
，正视图的方向垂直于面A
1
C1
CA，且正视图是长
为2，宽为1的矩形，故正视图的面积为2，因此选D.
答案：D
4．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱
C．四面体
B．圆锥
D．三棱柱
2＋1
3
B．1 C. D.2
22
解析：圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．
答案：A
5．(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )

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A．1 B.2
C.3 D．2
解析：由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底
ABCD，且 底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长
SC＝3，选C.
答案：C


面
为