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第五节 简单几何体的面积与体积
[考纲传真] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．


1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面展开
图
侧面积公
式

S
圆柱侧
＝2πrl

S
圆锥侧
＝πrl
S
圆台侧
＝
π(r
1
＋r
2
)l

圆柱 圆锥 圆台
2.柱、锥、台和球的表面积和体积

柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
表面积
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
底

S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下

S＝4πR
2


1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(2)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
3
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝
2
a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm
2
，其侧面展开图是一个半圆，
第1页 共8页
体积
V＝Sh
1
V＝
3
Sh
1
V＝
3(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下
)h
4
V＝
3
πR
3

则底面圆的半径为( )
A．1 cm
C．3 cm
B．2 cm
3
D．
2
cm
B [S
表
＝πr
2
＋πrl＝πr
2
＋πr·2r＝3πr
2
＝12π，∴r2
＝4，∴r＝2(cm)．]
3．(·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰 富的数学名著，书中有
如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其< br>意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­5­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆
底部的弧 长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已
知1斛米的体积约为1.62立方 尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

图7­5­1
A．14斛
C．36斛
B．22斛
D．66斛
π16
B [设米堆的底面 半径为r尺，则
2
r＝8，所以r＝
π
，所以米堆的体积为V
11π 320320

16

＝
4
×
3
π·r
2
·5＝
12
×

π

2
×5≈
9
(立方尺)．故堆放的米约有
9

÷1.62≈22(斛)．故选B.]
4．(·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为( )
32
A．12π B.
3
π C．8π D．4π
A [设正方体棱长为a，则a
3
＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角 线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的
表面积为4π·(3)
2
＝12 π.]
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5．(·郑州质检)某几何体的三视 图如图7­5­2所示(单位：cm)，则该几何体的
体积是________cm
3
.
【导学号：57962340】

图7­5­2
32
3
[由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2
832
cm的正方形、高为2 cm的四棱锥组成，V＝V
正方体
＋V
四棱锥
＝8 cm
3
＋
3
cm
3
＝
3

cm
3
.]

空间几何体的表面积
(1)某三棱锥的三视图如图7­5­3所示，则该三棱锥的表面积是( )

图7­5­3
A．2＋5 B．4＋5 C．2＋25 D．5
(2)(·全国卷Ⅰ)如图7­5­4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
28π
中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是
3
，则它的表面积是( )
第3页 共8页

图7­5­4
A．17π B．18π C．20π D．28π
(1) C (2) D [(1)由三视图作出三棱锥如图所示，在三棱锥A­BCD中，
AD⊥平面BCD.
△BCD为等腰三角形，E为BC的中点，连接AE，DE，
又AD＝BE＝EC＝1，DE＝2，
所以BD＝CD＝5，AE＝5.
151< br>则S
△
ACD
＝S
△
ABD
＝
2
× 1×5＝
2
，S
△
ABC
＝
2
×2×5＝5，S< br>△
BCD
＝2.
故S
表
＝S
△
ACD＋S
△
ABD
＋S
△
BCD
＋S
△
A BC
＝2＋25.
1
(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球 的
4
，得到的几
41428
何体如图．设球的半径为R，则
3
πR
3
－
8
×
3
πR
3
＝
3< br>π，解得R＝2.因此它的表面
73
积为
8
×4πR
2
＋
4
πR
2
＝17π.]

[规律方法] 1.(1) 多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之
和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意 重合部分的处理．
2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中
发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据
条件求解．
[变式训练1] (·全国卷Ⅲ)如图7­5­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实
线画出 的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
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图7­5­5
A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81
B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的 斜四棱柱，其中有两个侧面为
矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35 )×2＝54＋
185.故选B.]
空间几何体的体积
π
(1)在梯形 ABCD中，∠ABC＝
2
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB
＝2.将梯形ABC D绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几
何体的体积为( )
2π
A.
3

5π
C.
3

4π
B．
3

D．2π
(2)(·天津高考)已知一个四 棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如
图7­5­6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_ _______m
3
.

图7­5­6
(1)C (2)2 [(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD
所在直线旋转一周而形成的旋转体 是由以线段AB的长为底面圆半径，
线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高 的
圆锥，如图所示．
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由于V
圆柱
＝π·AB
2
·BC＝π×1
2
×2＝2π，
11 π
V
圆锥
＝
3
π·CE
2
·DE＝
3π·1
2
×(2－1)＝
3
，
π5π
所以该几何体的 体积V＝V
圆柱
－V
圆锥
＝2π－
3
＝
3
.
(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为
11
1，所以其体积V＝
3
Sh＝
3
×2×1×3＝2.]
[规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式
进行求解． < br>2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的
原则是使底面面积和 高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．
3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得 到几何体的直观图，
然后根据条件求解．
[变式训练2] (·陕西质检(二))某几何体的三视图如图7­5­7所示，则此几何
体的体积是( )
【导学号：57962341】

图7­5­7
A．28π
C．36π
B．32π
D．40π
C [由三视图得该几何体为一个底 面半径为2，高为2的圆柱体和一个上底
1
半径为2，下底半径为4，高为3的圆台，则其体积 为2×π×2＋
3
π×3(2
2
＋4
2
＋
2
2×4)＝36π，故选C.]
多面体与球的切、接问题
(·全国卷Ⅲ)在封闭的直三 棱柱ABC­A
1
B
1
C
1
内有一个体积为V的
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球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA
1
＝3，则V的最大值是( )
A．4π
C．6π
9π
B．
2

32π
D．
3

B [由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC ＝10，要使球的体积V最大，则球
与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的 内切圆的半径
11
为r.则
2
×6×8＝
2
×(6＋8＋1 0)·r，则r＝2.
此时2r＝4＞3，不合题意．
因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
3
由2R＝3，即R＝
2
.
49
故球的最大体积V＝3
πR
3
＝
2
π.]
[迁移探究1] 若本例中的条 件变为“直三棱柱ABC­A
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA
1
＝12，求球O的表面积 ．
[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC­A′B′E′C′，
则球O是长方体ABEC­A′B′E′C′的外接球，
∴体对角线BC′的长为球O的直径．
因此2R＝3
2
＋4
2
＋12
2
＝13，
故S
球
＝4πR
2
＝169π.
[迁移探究2] 若本例 中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，
若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积 ．
[解] 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)
2< br>＋(2)
2
＝r
2
，
9
解得r＝
4
，
44

9

2 43π
则球O的体积V
球
＝
3
πr
3
＝
3
π×

4

＝
16
.

[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋
转 体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条
侧棱和球心，或“切点”、 “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
第7页 共8页
3

2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或 三棱锥的三条侧
棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
[变式训练3] (·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，
C为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
( )
A．36π
C．144π
B．64π
D．256π
1
C [如图，设球 的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S
△
AOB
＝
2
R
2
.
∵V
O­ABC
＝V
C­AOB
，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，V
O­ABC
最大，
∴当C为与球的 大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积
11
V
O­ABC
最大为
3
×
2
R
2
×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4π R
2
＝4π×6
2
＝144π.故选C.]

[思想与方法]
1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，
即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧
面展开图的形状 及平面图形面积的求法．
2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割< br>补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和
等体积法．等积法 的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可
以得到，利用等积法可以用来求解几何 图形的高或几何体的高．
[易错与防范]
1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．
2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，
以防出错．



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