西游记续编-田律

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握
1.考查形式
本章内容在高考中一般为2
道小题和1道解答题，分值
约占22分.
2.考查内容
高考基础小题主要考查几
何体的三视图的识别，几何
体表面积 、体积的求解及线
面角问题，与球有关的切接
问题，解答题主要考查平行
与垂直的关系 和表面积、体
积及点到平面距离的求法.
3.备考策略

(1)熟练掌握解决以下问题
的方法和规律
①应用线面、面面平行、垂
直的判定定理、性质定理问
题；
②求几何体表面积、体积的
1

计算问题；
③线面角、点到平面距离的
求法问题；
④球与几何体的切接问题.
(2)重视分类讨论、转化化归
思想的应用.
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和
直观图
[最新考纲] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，并能运用
这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体 、球、
圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模
型，会用 斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的
三视图与直观图，了解空间图 形的不同表示形式．

2

1．多面体的结构特征
名
称
棱柱 棱锥 棱台
图
形
底
面
侧
棱
侧
面
形
互相平行且全等 多边形
相交于一点，但不一定
相等
互相平行且相似
互相平行且相等 延长线交于一点
平行四边形 三角形 梯形
3

状
2.正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正 多边形的直棱柱
叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的
棱锥叫做正棱锥．特别地 ，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
圆锥 圆台

长度相等且相交于一点

延长线交于一点

底面
全等的等腰三角形 全等的等腰梯形
扇形 扇环
直角三角形
4
直角梯形

4.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、 俯视图，分别是从几何体的正前
方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(3)三视图的长度特征：
“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．
5．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两 垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为
45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴
和z轴的线段在直 观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为
原来的一半．
[常用结论]
1．特殊的四棱柱

2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半 径R及截面的半径r的关系为r＝R
2
－d
2
.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系
5

如下：
2
S
直观图
＝
4
S
原图形
，S
原图形
＝22S
直观图．


一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．
( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
( )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱
台．
(4)菱形的直观图仍是菱形．
( )
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．下列说法正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
D [根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]
2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯
视图是( )
6

A B C D
B [俯视图中显然应有一个被遮挡的图，所以内部为虚线，故选B.]
3．若一个三棱柱的三视图如图所 示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱
的高和底面边长分别为( )

A．2,23 B．22，2 C．4,2 D．2,4
D [由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，故底面
边长为4，故选D.]
4．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′-ABC，
则剩余的部 分是( )
7

A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
B [如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿
A′-ABC，剩余部分 是四棱锥A′-BCC′B′.
8

A′BC截去三棱锥
]

考点
1
空间几何体的结构特征

空间几何体概念辨析题的常用
方法

定义法
紧扣定义，由已知构建几何模型 ，在条件不变的情况下，变换模型中
的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定
通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举
出一个反例即可
反例法
9

1.
下列结论正确的是
(

)
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
B [底面是等边三角形，且各侧面 三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，
所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截 面平行于底面时，
底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．]
2．下列命题正确的是( )
A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．存在每个面都是直角三角形的四面体
C．直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成
的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
B [如图1所示，可排除A，如图2所示，正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中的三
棱锥C
1
-ABC.四个面都是直角三角形，故B正确．
10

图1 图2
选项C中，应以直角腰所在直线为旋转轴，故C错．
选项D中，只有截面与圆柱的母线平行或 垂直，截得的截面才为矩形或圆，
否则为椭圆或椭圆的一部分．故选B.]
3．下列结论正确的是 ( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何
11

体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

图1 图2 < br>B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是
直角边所在直线，所 得的几何体都不是圆锥．
C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D
正确．]
把一摞书摆成长方体形状，沿一

个方向轻轻一推，成为一个平行六面体，此时平行 六面体有两个平行的面是矩形．
考点
2
空间几何体的三视图
(
多维探究
)
12

已知几何体识别三视图

识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定
侧视图；
(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是
它们的分界线；对于简单 的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线
位置．
13

(1)(2019·
武汉模拟
)
如图是一个
BCD
的正视图 、俯正方体，
A
，
B
，
C
为三个顶点，
D
是棱的中点，则三棱锥
A-
视图是
(
注：选项中的上图为正视图，下图为俯视 图
)(

)

14

A B C D
(2)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件 的凸出部
分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的
木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
可以是( )

15

(1)A (2)A [(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知
选A.
(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的
图形．]

16

画三视图时，可先找出各个顶点
在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的实虚．

已知三视图判断几何体特征
由三视图确定几何体的步骤

17

(1)(2018·
北京高考
)
某四棱 锥的
三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
(

)

18

A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆
柱表面上 的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对
应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N的路径中，最短路径的长度为( )

A．217 B．25 C．3 D．2
(1)C (2)B [(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P- ABCD，
如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.

(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所
示．
19

图1 图2
圆柱的侧面展开图及M， N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接
1
MN，则图中MN即为M到N的最短路径 ．ON＝
4
×16＝4，OM＝2，
∴MN＝OM
2
＋ON
2
＝2
2
＋4
2
＝25.故选B.]
有三条侧棱互相垂直的三棱锥、
四棱锥，都可把它们放置在长方体或正方体中来解决问题．

[教师备选例题]
已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积
为 ．
20

1
[由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1的长方体中，截去
2
一个三棱柱AA
1
D
1
-B B
1
C
1
和一个三棱锥C- BC
1
D后剩下的几何体，即如图所示的
1
四棱锥D-ABC
1D
1
，其中侧面ADD
1
的面积最小，其值为
2
.]

21

由三视图中的部分视图确定剩
余视图
由几何体的部分视图确定剩余
视图的方法

解决此类问题，可先根据已知的一部分视图 ，还原、推测直观图的可能形式，
然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐 项代入检
验．
22

如图是一个空间几何体的正视
(

)


23
图和俯视图，则它的侧视图为

A B C D
A [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，
结合正视图的 宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.]
根据正视图和俯视图的长、宽，
可知道侧视图的长、宽．

[教师备选例题]
1
如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
2
，则
该几何体的俯视图可以是 ( )

C [由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是 柱体，且其高为1，由其
11
π
体积是
2
，可知该几何体的底面积是
2
，由选项图知A的面积是1，B的面积是
4
，
24

1
π
C的面积是
2
，D的面积是
4
，故选C.]

1.
如图
1
所示，是一个棱长为
2
的正方体被削 去一个角后所得到的几何体，其中
DD
1
＝
1
，
AB
＝
BC
＝
AA
1
＝
2
，若
此几何体的俯 视图如图
2
所示，则可以作为其正视图的是
(

)

25

A B C D
C [根据该 几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对
角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B 、D；而在三视图中看不见的棱用虚线
表示，故排除A.故选C.]
2．(2017·全国卷 Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由
正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长 为2，俯视图为等腰直角三角形．该
多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A．10 B．12 C．14 D．16
B [观察三视图可知 该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱
柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱 长为2.三棱锥的底面是直角边
长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有 2个梯
26

形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2 ，故这些梯形
1
的面积之和为2×
2
×(2＋4)×2＝12.故选B.]

考点
3
空间几何体的直观图


1．用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或 y′轴平行，原
图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
2．原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系 ：(1)S
2
4
S
原图形
；(2)S
原图形
＝22 S
直观图．

27
直观图
＝

( 1)[
一题多解
]
已知等腰梯形
ABCD
，
CD
＝
1
，
AD
＝
CB
＝
2
，
AB＝
3
，以
AB
所在直线为
x
轴，则由斜二测画
法画出的直观图
A
′
B
′
C
′
D
′的面积 为
(

)

22
A.2 B.
4
C.
2
D．22
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
28

A．正方形
C．菱形
B．矩形
D．一般的平行四边形
(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立
平 面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，
过E′作E′F′⊥ x′轴，垂足为F′，

因为OE＝2
2
－1
2
＝1，
12
所以O′E′＝
2
，E′F′＝
4
.
所以直观图A′B′C′D′的面积为
122
S′＝
2
×(1＋3)×
4
＝
2
，
29

故选C.
1
法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形 ABCD的面积S＝
2
×(1＋3)×1＝2.
2
由S
直观图
＝
4
S
原图形
，
22
得S
直观图
＝
4
×2＝
2
，故选C.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD
＝ C′D′＝2 cm.

所以OC＝OD
2
＋CD
2
＝ 42
2
＋2
2
＝6(cm)，
所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]
在画直观图或原图时，应先确定
30

坐标轴上的点，非坐标轴上的点，应通过 与
x
轴或
y
轴平行的线段来确定．


1
．如图所示，直观图四边形
A
′
B
′
C
′
D
′是一个底角为
45°
，腰和上底均为
1
的等腰梯形，那么原平面图
形的面积是

．


2＋2 [把直观图还原，原平面图形如图所示：
31

在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，
1
所以面积为
2
(2＋2)×2＝2＋2.]
2．如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图
形的直观图，则原图形的周长是 cm.

8 [由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面
图形的直观图，
32

所以O′B′＝2 cm，对应原图形平行四边形OABC的高为22 cm，所
以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝22
2
＋1
2
＝3 cm，故原图形的周长
为2×(1＋3)＝8 cm.]

33