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课时作业44 空间几何体的结构特征、三视图和直观图

一、选择题
1．下列说法中，正确的是( C )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C．正方体的所有棱长都相等
D．棱柱的所有棱长都相等
解析：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相
等，选项D错误；易知选项C正确 ．故选C．
2．下列结论正确的是( D )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六
棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
解析：如图1知，A不正确．如图2， 两个平行平面与底面不平
行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．

若六棱锥 的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何
图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于 底面边长，C错

误．由母线的概念知，选项D正确．
3 ．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分
别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内 的水平面可以呈现出的几
何形状不可能是( C )
A．圆面
C．梯形面
B．矩形面
D．椭圆面或部分椭圆面
解析：将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶 斜放，水面为椭圆
面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内
的水平面 可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C．
4．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个
几何体一定是( C )
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
5．用一个平面去截正方体，则截面不可能是( A )
A．直角三角形
C．正方形
B．等边三角形
D．正六边形
解析：用一个平面去截正方体，则截面的情况为：
①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等 腰三角形、等边三角
形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；
②截面为四边形时，可以是梯 形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、
矩形，但不可能是直角梯形；
③截面为五边形时，不可能是正五边形；
④截面为六边形时，可以是正六边形．
6．(2020·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何
体是( A )

A．三棱锥
C．四棱台
B．四棱锥
D．三棱台
解析：因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体 ，又
因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．故选A．
7．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相
应的侧视图为( D )


解析：由正视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与被轴截面截
开的半个 圆锥的组合体，故侧视图为D．
8．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的
直棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，
则该“堑堵”的侧视图的面积为( C )

A．186
C．182

B．183
27
D．
2
2
解析：由正视图和俯视图可知 ，该几何体为直三棱柱，底面直角
三角形斜边的高为6×3＝32，该“堑堵”的侧视图的面积为32< br>×6＝182，故选C．
9.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程
中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相
对的两个曲面在同一个圆柱的侧面 上，好似两个扣合(牟合)在一起的
方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作 的
辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( B )


解析：由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面

的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何
体的俯视图．
10 ．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四
棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最 长的棱的长度为( B )

A．41
C．5
解析：
B．34
D．32

由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P- ABCD
．
其中PA
⊥底面ABCD，四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形 ，高PA
＝4.连接AC，易知最长的棱为PC，且PC＝PA
2
＋AC
2< br>＝4
2
＋3
2
＋3
2
＝34.故选B．

11.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫
榫头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是榫头．若如图
摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯 眼
的木构件的俯视图可以是( A )

< br>解析：由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，
榫头看不见，所以是虚线，结合榫 头的位置知选A．
二、填空题
12．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出 它的直
观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方
形，则原平面四边 形OABC面积为22.

2
解析：因为直观图的面积是原图形面积的
4< br>倍，且直观图的面
积为1，所以原图形的面积为22.
13．已知正方体的棱长为1， 其俯视图是一个面积为1的正方形，
侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于2.
解析：由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面
积与侧视图的面积相等为2.
14．(2020·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，
其正视图和侧视图是 全等的等腰三角形，则正视图的周长为2＋22.
解析：

由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是
AD，BC的中点 ，连接AO，易得AO＝2，又PA＝3，于是解得PO
＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋ 22.

15．(2020·昆明测试)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard
Eul er)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意
一个凸多面体的顶点数V、棱数E、 面数F之间，都满足关系式V－
E＋F＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十< br>面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
( B )
A．10 B．12 C．15 D．20
解析：二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用 ，
1
所以棱数E＝20×3×
2
＝30，面数F＝20，顶点数V＝E－F＋ 2＝12.
故选B．
16．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化 的
代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期
的官员独孤信的印信形状 是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由
两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现 了数学的
对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同
一个正方体的表面 上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有
26个面，其棱长为2－1.

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后< br>6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，
8个正三角形组成，因此题 中的半正多面体共有26个面．注意到该
半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面 体的
22
棱长为x，则
2
x＋x＋
2
x＝1，解得x＝2－ 1，故题中的半正多面
体的棱长为2－1.

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