创意工坊黑默丁格-小学五年级上册数学应用题

初中数学解题方法：数学解题方法与技巧

要学好数学，学会解题是关键 。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还
要掌握一定的解题规律与技巧。
一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用
解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解 概念；在对例题和老师的讲解进行
反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。
基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，
交 流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的
一次重要而有意 义的方面。”
教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能 更
好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。
1. 函数与方程的思想
函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的 观点去
分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过
求解或利 用方程的性质去分析解决问题。
2. 数形结合的思想
数与形在一定的条件下可以 转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借
助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某 些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用
代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举 足轻重的作用。
3. 分类讨论的思想
分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为 它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点
的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题 的能力。原因四是实际问题中
常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：
由数学概念引起 的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概
念的分类讨论；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的
问题；类型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的
应用引起的讨论；类型 4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角
形中的相关问题引起的讨论。类型 5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如
二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图 象开口方向的影响，一次项系数对顶点
坐标的影响，常数项对截距的影响等。
分类讨论思 想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的
片面性，全面考虑问题。分类 的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其
范围；②确定分类讨论的分类

标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画
动态图。
4 ．转化与化归的思想
转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的 思想体现了数与形的转化；
函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想 体现了局部与
整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
但是 转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分
的也是必要的；不等价 转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原
则是将不熟悉和难解的问题转为熟知 的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体
的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一 般的转为特殊的问题；将实际的问题转为
数学的问题等等使问题易于解决。
但是转化包括 等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分
的也是必要的；不等价转化就只 有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原
则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解 的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体
的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为 特殊的问题；将实际的问题转为
数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法有
（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .
（ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、
方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题 . （ 3 ）数形结合法：研究原问题中数


量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径 .
（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .
（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使
结论适合原问题 .
（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .
（ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要
途径
转化与化归的指导思想
（ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象 .
（ 2 ）化归到何处去，即化归目标 .
（ 3 ）如何进行化归，即化归方法 .



化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 .
二、中学数学解题中的的基本方法
1. 观察与实验
（ 1 ）观察法：有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问
题的途径。

（ 2 ）实验法：实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通 过观
察研究将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检
验结论的重要优势。
2. 比较与分类
（ 1 ）比较法
是确定事 物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好
比较。我们常比较两类数学 对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。
（ 2 ）分类的方法
分类是在比较 的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不
同性质的对象归为不同类的思维 方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类
是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。
3 ．特殊与一般
（ 1 ）特殊化的方法
特殊化的方法是从给定的 区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊
的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理 性。 （ 2 ）一般化的方法
4. 联想与猜想
（ 1 ）类比联想
类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能
具有某种属性的思 维方法。
……