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第2章 数学教学理论与实践
专题三：数学解题教学
一、数学解题的基本步骤
美籍数学家、数学教育家波利亚(G．Polya)在《怎样解题》 、
《数学的发现》等著作中，给出了一个简明的数学问题解决的过程和
步骤，点明了采取这些步 骤的动机和态度，揭示了解数学题的心理活
动历程。
①理解问题。首先，必须弄清楚问题的求 解目标是什么，并将
其目标在脑海中留下深刻的印象。其次，弄清楚已知条件是什么，明
确任务 ：如何在已知与未知之间架起桥梁。
②设计求解计划。先观察能否在已知条件与未知解答中直接架起桥梁。倘若不能，就得采用迂回的策略设计辅助问题，以求达到目
标。通过辅助问题的解决在已知 与未知之间建立联系，形成一条通道。
③实现求解计划。将探索到的解题方案进行逻辑整理，并且用
语言将其表达出来。
④检验和回顾。检验所得结果是否符合实际，回顾解题过程中
的关键，探索更好的方法。

1

例1 任意一个△ABC，它的三条边都被4等分，从顶点 A、B、
C分别向对边的对应等分点E、F、G引直线，如图3-2，它们两两相
交于L、M、 N三点，求△LMN与△ABC的面积之比。
分析： ①对题意的理解：当我们开始理解这道题的题意 时，△ABC
与△LMN的面积关系并不能直接看出来，但很容易看出△LMN的面
积可以由△ ABC的面积减去△LAB、△MBC、△NCA这三个三角形的
面积得到，于是△LMN与△ABC的 面积关系就转化成其周围小三角
形与△ABC的面积关系，这是对题意的新的理解。注意到△LMN周< br>围的三个小三角形与△ABC分别都是同底不同高的，因而它们的面
积之比就是高之比。又注意到 △ABC各边被4等分，把这些情况概
括起来不难发现线段的比例关系，对解决此题有很大作用，这是对
题意更深入的理解。

②作出解题的一个设想：联系过去的解题经历(联系已经解决 的
问题)，寻找线段比例关系的常用办法是利用4等分点作平行线。如
图3-2中那样作平行线 GH、DF，就立即出现一系列相似三角形：△
ABC∽△AGH、△CFP∽△CHG、△FPM∽△ BCM等。于是可以猜想△MBC
与凸△ABC高之比很可能由此得到。至此，实际上已经有了解题的一
个设想或方案。

2

至此，可以说 对这个问题已经得到了一个解法。这一解法中，所
涉及的运算有：添置辅助线；平行线的性质定理；相似 三角形的判定
与性质定理；比例的合分比定理；逻辑运算规则等。
④回顾解题过程：按照解题 思维活动过程的几个阶段，回顾以
上的解题过程，可产生一些新的认识。当进一步理解题意，研究与问< br>题有关的全部情况时，注意到如果原问题已知：△LMN与△ABC的面
积之比是一定值，再要求 求出这个定值，那么尽管上述解法仍然有效，
但增加了：“定值”这一条件，使解法产生质的变化。由这 个“定值”
及题中的△ABC是“任意”三角形，而产生一个重要的启示：内外三
角形面积之比 的定值关系，既然对任意三角形都能成立，那么自然对
特殊三角形——等边三角形亦能成立，因此只要对 等边三角形这一特

3

殊情形加以研究，一个新的简便的方法就应运 而生了。可见，经过“特
殊化”，对问题产生了新的认识。
能否把这个问题的结论推广到新情 况去。这是解题思维活动中极
为重要的组成部分，但在多数情况下被学生甚至教师忽视了，往往使
学生丧失了尝试一下发明创造滋味的机会，对培养学生创造精神不
利。就这题而言，容易想到：将任意 三角形各边4等分后，内外三角
形的面积之比是一个定值，那么将任意三角形各边5等分、6等分……< br>n等分后，内外三角形面积之比与n之间是否有一个函数关系呢？
例2 Ptolomy定理：已知四边形ABCD内接于圆O，求证
=+







用什么方法可导向结论？

4
C
D
O
B
A

①变形：将左边拆成两项
②变形：移项得=，能够将左边化简，从
而导向右边吗？
③化异为同：AC、BD可以用四边形的边来表示吗？
④利用中介化异为同：AC,BD,A B,BC,CD,DA可以用什么共同
的的中介量来表示吗？
⑤联想：设
APB

，则再乘以
sin

就等于S
ABCD
，
那么右边乘以
sin

能否得到S
ABCD
呢？

二、数学中的逻辑思维方法
1．类比
类比是根据两个数学对象的一些属性相 同或相似，猜测另一些属
性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两
类。
简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模
式为



对象 A具有属性 a、b、c，
对象B具有属性a、b
猜测 对象B具有属性c
1
2
1
2

5

复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出
新的猜测，其模式为

H

蕴涵A

H蕴涵B，B真

猜测 A可能真
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

例1欧拉用类比法发现伯努利级数之和
11

2
1
496


例2任 给7个实数x
k
（k=1，2，…，7）．证明其中有两个数x
i
，x
j
，
满足不等式
0
x
i
x
j
1x
i
x
j

1
3
。
例3已知x
i
≥0（i＝1，2，…，n），且x
l
+x
2
+…+x
n< br>=1。求证：
1x
1
x
2
x
n
n
。
2．归纳

6

归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情形 的分析得出一般性
结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。
设M
i
(i=1，2，…，n)是待研究的对象M的特例或子集，若M
i
具
有性质P，由此猜想M也可能具有性质P。即

M
i
MP(M
i
)P(M)

n n
n
i1
当

M
i
M
时称为完全归纳 法；当
M
i

M
时，称为不完全归纳
i1
i 1
法。前者属于数学证明的方法，后者是数学发现中常用的方法。
完全归纳法也称枚举法，它 是根据每一个M
i
(i=1，2，…，n)均
具有某种属性而推出M也具有这种属性， 因而所得到的结论必定正
确。
例1 设凸n边形的任意三条对角线在形内不交于一点，求所有对角
线在形内交点数目N
n
。
例2证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之
和不小于
48< br>。
3．演绎法
演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。
1．三段论

7

2．关系推理
3．归纳与演绎的关系
（1） 归纳与演绎都是逻辑推理方法，这两种推理方法是互相联系
的、互为补充的。
例1 研究形如
N2
x
1
的数，当x取何值时，N为素数；当x取何
值时，N为 合数。
（2） 在归纳法的证明过程中，是先用归纳法，后用演绎法。但有时
也可先用演绎法 推证，在获得结论之后，再分类归纳。
例2 在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线，若它把 正方
形分成面积相等的两部分。求证这条曲线的长度不小于1。

4．分析法
1． 分析法的含义
分析是将整体分解为若干部分的一种思维方法。具体地说，先把
研究的对象分解成若干个组成部分，然后通过对各个组成部分的研
究，从而认识事物的基础或本质的一种 思维方法。
2． 分析法的种类
（1）元抽象分析法——
例1 计算曲边梯形的面积
（2）追溯型分析法——
例2设n为大于3的自然数，求证：
n
n
n!
。
（3）构造型分析法——

8

例3 已知A、B为锐角三角形之二内角，求证：
tgAtgB1
。
（4）前进型分析法——
例4 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的和都是
负数，而任意11个相继项的和都是正数。试问：这样的数列最多包
含多少项？
（5）混合型分析法——

5．综合法
1．
2．

6．数学证明
（1）数学证明的价值
例1 若甲、乙两人轮流往一张圆桌上放一枚 同样的硬币，放置过程
中不允许重叠与倾斜。谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就是胜者。证
明： 先放者（甲）一定可以获胜。
例2 若
0a,b1,求证:a
2
b< br>2
(1a)
2
(1b)
2
2
。
例3 已知：四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点，（图1）
求证：
S
OBC
S
OAD
S
OAB
S
OCD








B
A
B
综合法的含义
分析法与综合法的关系
D
O
O
A
(1)
9
C
(2)
D
C

在三角形中（如图2），你能否归纳出类似的结论，若能够，写出你
猜想的结论，并证明；若不能够，说明理由。

例4 证明：1的n个n次方根之和为0。

（2）数学证明的常用方法
（1） 数学归纳法
归纳公理：若
MN
，且
（1） 1
M
；
（ 2）对任意
aM
，有
a

M
，则
MN
。
第一数学归纳法：设p(n) 是关于自然数n的命题，若
（1）p(n)在n=1时成立；
（2）假定p(k)成立，可以推出p(k+1)成立。
则p(n)一切自然数都成立。
推论1 设p(n) 是关于自然数n（
nn
0
,n
0
N
）的命题，若
（1）p(n)在n= n
0
时成立；
（2）在p(k)(k是不小于n< br>0
的自然数)成立的假定下，可以推出
p(k+1)成立。
则p(n)对不小于n
0
的一切自然数都成立。
推论2设p(n) 是关于自然数n的命题，若
（1）p(n)在n= 1，2，……
l
时成立； （2）在p(k)(k是任意自然数)成立的假定下，可以推出p(k+
l
)成

10

立。
则p(n)对一切自然数都成立。

最小数原理：自然数的任一非空集合M中必有最小数。
第二数学归纳法 设p(n) 是关于自然数n的命题，若
（1）p(n)在n=1时成立；
（2）假定p(m)(
1mk
)成立，可以推出p(k+1)成立。
则p(n)一切自然数都成立。
第一数学归纳法与第二数学归纳法的区别？

第二数学归纳法的变形 设p(n) 是关于自然数n的命题，若
（1）p(n)在n= n
0
时成立；
（2）由所有
n
0
mk
时p( m)成立可以推出p(k+1)成立。则
p(n)对不小于n
0
的一切自然数都成立。

反向数学归纳法 设p(n) 是关于自然数n的命题，若
（1）p(n)对于无穷多个自然数n成立；
（2）在p(k+1)成立的假定下，可以推出p(k)成立。
则p(n)一切自然数都成立。

跷跷板数学归纳法 设p
1
(n) 、p
2
(n)是两个关于自然数n的命题，
若

11

（1） p
1
(1)成立；
（2） 由p
1
(k)成立可知p
2
(k)成立，进一步可得p1
(k+1)成立。
则p
1
(n) 、p
2
(n)对一切自然数都成立。

例1 有两堆棋子，数目不等。两人 玩耍，轮流取子，每次每人可
以在一堆里任意取几颗（不能不取），但不能同时在两堆里取，规
定取得最后一颗者获胜。求证：先取者可以获胜。

例2 不小于8的自然数均能表为若干个3与5的和。

例3 证明对任意自然数n，方程x
2
+y
2
=z
n
都有正整数解。

例4 设
a
i
(i

1,2

n)
为 n个正数 ，则
n
a
1
a
2
a
n

(a
1
a
2
a
n
)
。
例5 在 1+3+5+7+12+19+……中，其项数定义为
1
n
a
2l1
3l(l1),a
2l
3l
2
(l1)
，以S(m)表前 m项之和。求证：
（1）
S(2l1)l(4l
2
3l1);

（2）
S(2l)l(4l
2
3l1)
。

正确运用数学归纳法——
（1）严格把握归纳程序
例1 “x
n
+y
n
对一切自然数n，都可被x+y整除”
x
k +1
+y
k+1
=(x+y)(x
k
+y
k
)-x y(x
k-1
+y
k-1
)

12
1
2
1
2

(2) 对n趋于无穷的情形不能保证其正确性
(3) 并非可以解决一切与自然数有关的命题
例2 克朗贝尔问题：
n
n1
与
n1
哪个大？
n
例3 角谷猜想：对任何一个自然数n，有限次施行以下两种运算，
总可以使之回到1：
（1） 若n是偶数，则除以2；
（2） 若n是奇数，则乘3加1。


（2） 反证法
反证法的逻辑原理：
pqpq
与
pqpq
是互 相矛盾的两个
判断。


_______


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