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学生如何学习乘除法
作者：孔企平 文章来源：本站原创 点击数：1819 更新时间：2006-9-13
摘自《小学儿童如何学数学》孔企平编著，华东师范大学出版社
一些教师认为，乘、除法是小 学生学习了加减法后再学习的一种数学运算，当学生学习
使用乘除法时，他们推理能力没有大的改变，对 于这种观点，皮亚杰和他的同事提出了质疑。
皮亚杰等认为，儿童在理解乘除法过程中，他们的数学系思 维发生了重要的变化，学习乘除
法应该使小学和数学思维产生一次新的飞跃，通过学习乘除法，小学生不 仅学会了运算技能，
而且拓展了学生的数学视野和应用数学的空间。
一、乘除法和新的数学情境
乘法的基础是什么？加法在某种程度上构成了乘法的基础，这种说 法无疑是对的，因为
解决向乘法运算的方法之一就是通过重复做加法，你可以将270加三次而得到27 0×3的答
案，除法和减法也有类似的关系，计算270÷90也可通过从270中连续减去90直到差 为0。
但是，如果将乘法看成一种复杂的加法，将除法看成另一种形式的减法，这是不对的，
原因之一是乘除法比简单的加减法需要更多的数学理解，儿童必须了解一套完整的新知识的
含义，他们必 须以新的思维方式进行思考，另一方面我们把“经验”作为小学数学的基础，就
不难发出错乘除法和某些 学生生活情境紧密联系，这些情境是小学生理解乘除法知识的基
础。在本节中我们将介绍产生乘除法的三 种具体情境。
1、“一对多”的情境
一对多的情境指一个与多个相对应的现象，这是三咱情 境中最简单和最基本的一种，日
常生活中的这种例子比比皆是，如，1辆汽车有4个轮子（1与4对应） ，那么3辆车有多少
个轮子？结果为4乘3得12，1个桌子能坐6个人（1与6对应），那么5张桌子 可以坐多
少人？等等，从一对多情境出发，乘法有以下重要意义和特点。
第一，乘法表示两个 集合之间的一与多相对应的恒定关系，这种一个与多个相对应的恒
定关系在生活中普遍存在，它的基础上 一个新的数学概念，这就是“比率”，为了保持这种对
应关系，如一辆汽车对应四个轮子，每将一辆汽车 加入汽车集合，我们就必须将四个轮子加
入到轮子的集合，也就是说，我们必须加放不同数目的物体到不 同的集合，这种方法与加法
运算的思维方法上具有本质区别，为了使一个比率保持不变，不是像加减法运 算中将数“分”
与“合”，而是同乘一个数或同除一个数。
第二，附着学生头脑中有关“比率 ”意义的发展，另一种亲的数学意义逐渐为他们所认知，

例如，如果我们刚开始有1辆车 4个轮子，重复6次后，即4乘以6。“6”就是重复次数——
称为乘数（因数）。一个乘数既非车的数 目也非轮子数目，它不是针对物体的数目，而是针
对同种类型两个集合数目的重复次数，“6”表示这种 关系：1→6辆车和4→24个轮子，为使
比率保持不变，同一个乘数要同时对两个物体的集合产生作用 ，乘表示也变化过程一种确定
的关系，数的含义与加减法中数的含义有所不同，这种新数学意义的产生据 有关部门拓广了
学生的数学眼界和思维天地。
一与多的情境涉及到两个新数学意义，一是比率 ，二是乘数，无论是比率还是乘数，都
和学生以前所认识的数不一样，两个数都与测量单位无关，它们不 是对现实物体数量概括，
而是说明数之间的关系，学生的数学思维涉及到不仅是对虾的概括，而且涉及到 数与数之间
关系的概括，这是一个重要的飞跃。
2、两个变量“共变”的情境
乘除 法中蕴涵着变化的思想，共变现象是指在一个情境中，一个量变化，另一个量也发
生相应的变化。在日常 生活中，会发生两个或两个以上的变量一起变化的情境，这种变化具
有因果关系，因果关系指的是一个变 量对其他变量的影响，例如：1千克糖的价格是4.60
元，则0.5千克糖的价钱就是2.30元，2 千克糖的价格是9.20 元，糖的数量与总价发生了“共
变”，又如，在一根弹簧的下端挂上20克的 重物，弹簧就会被拉长15厘米，如果挂上10
克的重物，弹簧就会被拉长7.5厘米，重物的重量与弹 簧的长度发生了“共变”，共变是几代
人上变量的和种有规律的变化现象，在共变现象中，学生逐步体会 了数量的有规律的变化，
他们会逐步体悟一些不同的数学观念。
以上两个例子的相同点是，当 解决有关两个变量的关系问题时，都运用了扩大倍数和缩
小倍数的方法，在共变现象中，隐含了“倍数” 的含义，倍数是学生的一种生活经验，如果你
要买２０倍重量的糖，就应付２０倍的钱，两个变量之间的 关系并不会因为数量、倍数的增
加而改变。
当论及糖的价钱时，我们就会提到“每千克糖的价 格”。“价格”这个量既不是实际的价钱，
也不是实际的重量，而是价钱与重量间的一种关系，当重增加 时，价钱也会增加，但“每千
克糖的价格”是不变的，数量之间的对应关系可以表述为：两个因数和有关 两个变量的第三
个变量，倍数、价格等都是第三个量。
共变现象还应包括多变量（两个变量以 上）的形式，例如，农民在农场里生产牛奶所赚
的钱取决于许多变量——农场所拥有牛的头数，每天每只 牛产牛奶的平均量，天数，还有牛

奶的价格，不把这所有变量考虑在内，农民就不可能估 计出他的收入，很明显，涉及多变量
的比例的问题更加复杂。
3、平分的情境
平分 的活动为学生提供了包括乘法推理的另一种情境，平分包括在一组受领人中平均发
一组东西，例如，把2 0粒糖果平均分给4个学生，虽然也和加减法一样，平分活动涉及部
分与总体之和，每一部分不需要相等 ，平分活动中虽然也包括部分—整体的关系，但是要考
虑三个因素：全体的大小，分为几部分和每部分的 大小，每部分必须相等，如果有20个糖
果（整体）分给4个孩子（4部分），则每个孩子有5个糖果（ 每部分的大小，或数量）。因
此，平分活动是一种新的数学情境。
对于平分活动的描述也许会 联想到一对多的情境，但是儿童对这两种情境的想法是不一
样的，平分对于儿童说来是一种很生动的活动 。小学生在思考这种活动时心理过程和一对多
情境是不一样的。在平分中，孩子们需要逐渐地了解三个变 量之间的关系，糖果的总数、孩
子的总数和每个孩子的糖果数，如果你保持孩子的数量不变，并且增加糖 果数，则每个孩子
得到的糖果数会增加；但是，如果你保持糖果数不变，并且增加孩子的数量，则每个孩 子的
数会减少，糖果的总数和每个孩子的糖果数之间有直接的关系，但是孩子的数量和糖果的数
量之间则是反比例的关系。研究表明，学生对这种反比例关系的体悟（不是掌握！）是理解
除法的重要内 容，了解这种反比例的关系是越过简单的平分行为去理解除法含义的基本步
骤，概括起来，平分情境是学 生理解除法概念的经验基础，这种活动使学生进一步深入理解
了部分—整体的关系，这种关系和加法的部 分—整体的关系是不同的。
当平分活动在一组或一个目标中连续进行时，我们称为“连续分割”或“连 续分配”。例如，
一个被一分为二的巧克力蛋糕，如果对每块进行再次分割，将会有4块，这三次分会有 8
块，第四次分会有16块，我们能容易地看出，在这种情境中，有三种数的含义，分割（或
分 配）的次数，每次分配的份数，和每部分的大小，我们分了四次，每次分为两部分，每块
是全体的116 ，平分或者连续分配的活动产生了一个表示变化比率的新的数（商数或者分
数）。
总之，并不 能说乘法仅仅是加法的重复，除法仅仅是减法的重复，显然，加法和乘法是
有必然联系的，同样，减法和 除法也是有必然联系的，乘法和除法的实际计算结果也可以由
连加或连减导出，但是，我们必须注意，乘 除法与学生生活经验相联系，在乘除法推理中出
现了新的数学观念，小学生在乘除法的三种情境中，逐步 发展其乘法推理能力，在小学生学

习乘除法过程中，教师应该充分向学生提供这些重要的 情境，有目的地让学生开展多种活动，
使学生有机会在学习乘除法过程中发展数感和数学思考的能力，而 不是仅仅掌握运算技能。
二、小学生对乘除法问题的理解：乘法推理
学生对乘除法理解的核 心是他们乘法推理能力的发展，在这一过程中学生的逻辑思维能
力得到了锻炼，乘法推理也称为增倍推理 ，它是指学生运用倍数的概念进行正向和逆向的应
用性推理，增倍推理有很多不同的水平层次，实际上， 儿童很小的时候就在这一方面迈出了
第一步。
1、儿童何时产生乘法推理
儿童的增 倍推理是怎么开始的？皮亚杰认为：儿童最初的乘法思想来自对应思想在推理
中的运用。他推测，一个小 孩子如果能理解一对一法则，就能掌握一对多法则，换言之，如
果一个5-6岁的儿童明白：若A=B， 且C=B，则A=C，那么他们就应该也能理解若A=2B，
且A=C，则C=2B。
皮亚杰 调查了儿童理解一比一的对应和多组事物间的一比我的对应，他先让儿童在10
个花瓶中插花，每个瓶中 插一朵蓝色小花；然后，粉色花也取出并成一束，这样，儿童就知
道蓝花数（A）等于花瓶数（B），并 且粉色花数量（C）也等于花瓶数，但是，蓝花和粉色
花大小不同，这样儿童不能通过视觉轻而易举地对 比出两种花的数量。儿童只有理解了一比
一的对应才能得出两种花的数目相等。
据皮亚杰说， 儿童对这个问题的反应有两种：一种是儿童能够发现两束花的数目相等，
并且理由是花和花瓶构成对应， 另一种是儿童不能发现数目相等过一事实，接下来，皮亚杰
给这些儿童第二个任务，这个任务需要有这样 的推理：若 A=2B且C=A，则C=2B，接着
问这些儿童，如果把那些粉色和蓝色的花都插回花瓶 ，并且每个花瓶的花一样，会出现什么
结果呢？每个有多少朵花？如果儿童没有弄清花（A）和瓶（B） 的关系，他们可以动手把
花插回花瓶来看看，他们会发现，每个瓶里有两朵花（A=2B）。
这时，儿童的反映有三种。第一种反应是，一些儿童没料到每个瓶内有两朵花，因此他
们没能理解瓶子和 花之间的一比二的对应关系。第二种反应是：儿童知道每个瓶内的两朵花，
但他们没想到瓶子的总数与花 的总数之间是一比二的关系。第三种反应，按皮亚杰所说的，
就是意识到1对多的关系，根据这一反应， 皮亚杰认为：5-6岁的儿童已经能理解倍数关系
的一些特征，当然在这些问题上并不要求儿童求和，也 就是说，儿童根据生活经验获得对乘
法推理的理解，这种现象在5到6岁就开始了，这也进一步说明，乘 除法与学生的生活经验

丰富有密切的关系。
2、小学生如何解决乘法推理问题
解决问题是学生运用和展示数学思维能力的重要途径，心理学家斯特芬（Steffe,L.）调
查了8岁小学生怎样解决乘法问题，结果发现学生思维的核心是运用“倍数”解决问题，他让
一些物件 被放在一对多关系中，而小学生却只能看到其中的一部分，例如，有六排小车，每
排三辆，其中只有一排 是看得见的，另五排被遮了起来，他问儿童：我们的有六排小车，每
排三辆小车，那么共多少辆？斯特花 发现，解这种问题的小学生会指着第一辆小车，数出对
应的六排：他们边在桌上点着小车，边数着落6， 12，18。斯特芬说明，小学生在解题时每
一辆可见的小车都用以代表一个6的整体。这说明，学生已 经能运用乘法推理解决日常的数
学问题，他还说并非所有8岁的儿童都形成了这样的倍数运用技巧。 < br>斯特芬又提出如下更为复杂问题：一个女同学有3条不同的裙子，4件不同的衬衫，更
换她的裙子 和衬衫，她能有多少种穿法？这类问题是比较典型的一对多问题，在国外常被称
为“笛卡尔乘积问题”（ Cartesinan product problen）。斯特芬发现，小学生解这种问题往往比
其他的一对多的问题难得多。
在另 研究中，Bryant等在观察了32名8岁和9岁的小学生解四道乘法题，其中两道是
简单的一对多关 系问题，另两道是笛卡尔乘积问题，在给儿童呈现问题的同时，也给他们一
些用来解决问题的具体材料。 例如，有一个笛卡尔乘积问题，它要求儿童算出通过改变6
条短裤和4件T恤衫能有多少种搭配方法，研 究者就给儿童不同颜色的短裤和T恤衫，让
他们尽量想出解决办法。
这个研究的结果表明，当 拥有整套材料辅助时，大多数八九负儿童能解答简单的一对多
关系问题，但现当他们没有这些材料，而需 要通过推理来解题时，小学生回答正确的人数不
到一半，在解决笛卡尔乘积问题中，没有用具体材料的辅 助，对他们解决问题具有重要意义。
儿童解决一对多的对应关系的问题的能力表明解决问题绝对的数字要 比有使用一些具体的
情境难得多。具体情境可以帮助学生思考，但在学生发展的一定时候，问题可以逐步 抽象化。
上述研究结果对我们如何进行乘法内容的教学具有一定启示。首先，如果要使小学生有
一个良好的对乘除法的理解，在他们解乘除法问题的之前，可以让他们在教室中谈论并钻研
这些关系， 在具体的还必须境中体悟这些关系，而不是马上进行定量化的解题，这将提高小
学生对于一对多的对应关 系的意识，第二我们可以让小学生通过实物操作来解决问题，可以
用实物模拟境，使他们对乘除法进行充 分的描述，建议有关的表象，逐步使他们形成乘法推

理能力并以此来思考问题，当然，最 后还是要让学生通过抽象推理来解决问题。
三、与乘除法有关的数学思想的发展
1、体验函数的思想
小学生在学习乘除法时，对函数关系会有一定的体验，一般说来，小学生 还不能理解函
数关系，但是在小学数学教学中，渗透有关思想是必要的，比例关系就是一个特殊的函数，
对小学生来说，需要考虑变量之间实际上如何的，这样才能初步体会函数关系，小学生对函
数的 理解，并不是符号化的理解，而是在现实活动中的体验，小学生关于函数的体验是在日
常的数学生活实践 的基础上获得的。它和问题情境紧密相关，例如，学生可以在价格与数量
的关系中体验到函数思想，是因 为他们对这种情境比较熟悉，对于小学数学教学来说，学生
对函数思想的体验是一种重要的过程性目标。
2、体验比例关系
比例是小学生在日常生活中可以获得较多体验的一种函数关系，和函数问题 一样，小学
生是在现实问题中体验比例关系的，在学生的生活中，实际上有对“比例认识的经验，如买< br>1千克糖果10元钱，买2千克糖果20元钱，买3千克糖果则要30元钱，高年级的小学生
甚至 还有了对”反比例“认识的经验。但解决这些问题的计算方法不是很简单的，许多学生会
感到困难，这些 困难，实际上形成学生学习代数知识的动力。
3、理解“不变量”
我们强调总价和数量这两 个变量发生变化时，每千克价钱保持不变，如果你买5千克的
马铃薯，花的钱和得到的马铃薯要比你买3 千克时都多，每千克的价钱是一样，每千克的价
钱反映了购买数量与价钱之间的关系，像这样的量我们称 为不变量，小学生在他们生活经验
中对不变量有较多的体验，但是在不同的情境中，小学生反应是有所不 同的。在某一些情境
中，小学生仍然不能理解。教师设计多种不同的情境让学生加深理解是必要的，例如 ，浓缩
桔子汁中的不变量问题，研究表明，小学生虽然对内容极其熟悉，但仍然不能理解其中的不
变量。
四、学生运算和解决问题策略的发展
在学生学习乘除法时，由于运算手段的增加， 学生运算策略也在不断地发展，这些运算
策略包括估算、口算等，同时，小学生逐步形成了一些较广泛的 问题解决策略，这些策略性
知识的发展对于小学生数学能力的提高是有促进作用的。
1、估算策略

数学教育界一致认为，“估算是一个相当重要的数学技能，我国 数学教师在培养学生估
算方面积累了许多经验，估算和学生的思维活动紧密相关，学生在计算中涉及合理 猜测，对
运算结果范围的估计以及灵活运算等活动，估算在一定程度上反映出学生的数学能力，对于学生的思维有一定促进作用，不仅如此，估算还涉及到学生反思与自我监控的学习品质，例
如，学生 先估算一个问题的答案，然后将此估计值与他实际计算所得的答案作比较，便能够
察觉出错误并加以更正 。
估算具有重要的应用价值，是学生应该具有的一种重要的计算技能。随着计算技术的进
一步 发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人的日常活动中对应付的钱数的估计，
对家庭收入和支 出的估计，对城市流动人口的估计等等，往往都是用估算的方法，在小学数
学计算教学中，与估算有关的 内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、
用估算进行验算等。
学生在估算 中使用什么策略呢？小学生最常使用的三个策略分别是：简约、转换及补偿，
这三种策略涉及了小学生在 运算过程中的分析与解决问题的思维过程。
估算中，学生往往首先会想如何简化问题，学生进行简化往 往反映出一种估算的意识，
对一些小的方面忽略不计，在简约的策略中，学生首先会把数简化成比较简单 的形式，例如
77338可以简约为77000，其次，学生会应用转换策略使问题进一步简单化，举例 来说，当
要估算一个如下所示的加法问题的答案时：503+492+487
一个好的估算者 可能会把该问题转换成一个乘法形式的题目，小学生会想“500乘以3
是1500，所以答案应该差不 多是1500”。
再次，小学生在使用补尝策略时，会做出一些调整，来补尝前面运算中的不足，使运 算
比较准确，比方说在“503+492+487”这一问题中，小学生可能会说：“答案应该是500 乘以3，
大约是1500，而且会稍小于1500，因为我在将每一个数字简化成500时，用加的部分 比用
减的部分更多一点。”事实上，学生应用这些策略的过程涉及到多种数学思维，在学习计算
时发展学生估算意识和策略是必要的。
2、口算策略
“口算”指的是可以不必用纸笔，而在 脑中便直接进行计算的方法，一些好的估算策略也
常被作为口算的策略，如“简化、转换和补尝”等都是 重要的口算策略，但是，在口算中，计
算的目的是要得到一个精确的答案，而非只是一个约略的估算。
口算也称为心算，在计算能力中占重要的位置，口算是笔算的基础，笔算能力是在口能

< br>力的基础上发展起来的，口算的熟练，特别是基本口算的熟练，对于笔算具有重要的作用，
口算在 日常生活中也有一定的用途，例如，学生在进行购物活动时就要进行一些口算，另外，
口算还有利于促进 儿童注意力、记忆力的发展的功能，有利于发展小学生的思维的灵活性和
创造性。
对于小学生 的口算来说，核心的内容是基本口算，小学生是如何学习基本口算呢？Hope
和Sherrill在1 987年研究了熟练与不熟练口算者之间的差别，首先，他们设计一个口算测验，
让每一个小学生都去解 这些新口算乘法题目，例如：25×32，25×220等，参与研究的小学生
不用纸笔去解题，而是口 算得出结果，然后他们必须解释自己是如何解题的，事后Hope和
Sherrill分析这些解释，发 现小学生们解题过程中采用了四种主要的策略。
第一种策略是“类似笔算的口算”。这种口算方法是一 套类似于直接使用纸笔的笔算，其
中的计算程序和笔算程序完全一样，只不过这一过程放在小学生的头脑 中进行。
第二种策略是“运用分配律”，小学生在口算中使用了分配律的计算方法，具体的方法是，< br>第一步将某个因数转换成两个数的和或差，第二步再用分配律来计算答案，然后再算出结果，
例如 ，计算7×5220，小学生头脑中会想“7乘以5000，加上7乘以200，再加上7乘以20，
就 可以得到结果”。
第三种策略是“分解因数”。学生在口算中把一个因数分解成积或商，使计算比较简 便，
例如：计算225×8，就可以变成15×15×8，再变成15×15×4×2，再应用交换台律 ，很容易得
到结果。
第四种策略是“直接提取”，有一些计算问题，在学生的头脑中已经有现 成的答案，他们
可以在长期记忆中提取有关数学事实。学生在记忆中提取一个数目的乘积，例如，计算< br>25×25，学生会这样想“等于625，我记得答案。”
口算不熟练的小学生几乎完全依赖第 一种策略，运用笔算式的口算，相反地，熟练的学
生较少用到这个策略，熟练的学生通常较喜欢使用分配 律策略和分解因数策略，熟练的学生
相对不熟练的学生而言，前者比较偏好直接提取数学事实，而不熟练 的学生难以做到。例如，
大部分熟练的学生都可以从长期记忆中提取“15×15=225”这个事实， 但许多不熟练的学生却
无法提取这个数字性事实。
小学生学习了乘除法后，面对的解决问题的 情境更加多样化了，他们解决应用题的策略
也得到了重要发展，小学生在解决问题策略的形成 ，对于他 们数学能力和数学思维的发展
具有重要作用，有关于小学生这些策略的发展，我们将在第九章加以讨论。