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小学数学三年级上册教材介绍
人民教育出版社 小数室
人民教育 出版社、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中
心研制出版的《义务教育教科书数学（一～六年级 ）》是《义务教
育课程标准实验教科书数学（一～六年级）》（以下简称实验教
材）经修订后形 成的一套新教材。实验教材以《全日制义务教育数
学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿） 》）的基本
理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年义务教育小学数
学教材研究和使用 经验的基础上编写的。实验教材从2001年秋季开
始使用，经过国家级实验区和省级实验区实验使用证 明，这是一套
我国城乡广大地区普遍适用的小学数学教材。从2011年7月开始，
实验教材的 编写者根据新颁布的《义务教育数学课程标准（2011
版）》（以下简称《标准（2011）》）对实 验教材进行了全面而系
统的修订，形成了《义务教育教科书数学（一～六年级）》，于
2013 年3月全部通过国家基础教育课程教材专家工作委员会的审
查，并已于2012年秋季开始陆续替换实验 教材。
修订后的教材，既具有原实验教材的主要特点，同时又呈现出一
些新的特色。
1．细致改进计算教学的编排，体现计算教学的基本理念，促进
学生能力的发展
计算 是帮助人们解决问题的工具，是小学生学习数学需要掌握的
基础知识和基本技能。本册教材的教学有接近 二分之一的内容是计
算的教学内容（27课时），并且大部分是笔算的教学内容。在新世
纪之初 启动的义务教育数学课程改革中，小学数学中的笔算内容是
被削弱的部分。与以往的数学教学相比，不仅 “降低了笔算的复杂性
和熟练程度”，《标准（实验稿）》中还提出：提倡算法多样化、避
免程 式化地叙述“算理”等改革理念。本套教材的实验教材在处理笔
算教学内容时，较好的体现《标准（实验 稿）》计算教学改革的理
念，在内容编排的顺序、例题的安排、素材的选择等各个方面都采
取了 相应的措施。例如，加大笔算教学的步子，提供自主探索的空
间，帮助学生获得对笔算过程与算理的理解 ，体会计算的意义和作
用，加大估算教学的力度，培养学生用计算解决问题的能力和良好
的数感 等。
经过十余年的教材使用和教学改革实践，广大的教育工作者都积
累了有关计算教学改革的 经验，并且深化了对于计算教学理念的认
识。本次教材修订正是在总结教材使用经验和教学思想发展的基 础

上，对教材和教学又提出了新的思想和改进措施。在本册的体现具
体如下：
（1）调 整例题设计，使教学内容和教学顺序更为合理。计算的
教学顺序要符合儿童学习计算的认知规律，同时符 合计算知识本身
发展的规律。教材根据计算教学的基本顺序安排教学内容，但在细
致方面进行了 研究与调整。这次调整的主要变化是：通过例题设
置，增加或去掉一些教学内容的正式教学，使得教学顺 序和学生学
习空间的设置更为合理。例如，笔算加减法增加“三位数加三位数
（不进位）、三位 数加两位数（十位向百位进）、三位数加三位数
（百位向千位进）、三位数减三位数（不退位）”的例题 ，减缓了教
学的坡度。多位数乘一位数口算增加了“两位数乘一位数的口算（不
进位）”的例题 ，这一内容是接下来的笔算学习的重要基础。而将笔
算减法部分的“整百数减三位数”的例题、笔算乘法 部分的“三位数乘
一位数（连续进位）”的例题分别放到了“做一做”中（减少了例
题），目的 是让学生通过迁移类推来解决这些计算问题。这样的编
排使得这部分的计算教学既自然合理、逻辑性强， 又留给学生自主
探索和迁移类推的空间，有利于学生学习能力和的形成，思维能力
的发展。 < br>（2）对部分内容的教学进行调整，更利于学生理解和应用数学
知识，也更有利于学生数学能力的 形成。一是改变原实验教材集中
教学加减法“验算”的编排方式，将加减法的验算安排在教学完某一计算后紧接着教学，即分散出现。这样安排的好处是，可以利用验
算的教学及时巩固学生刚刚学习的 笔算，也有利于学生体会验算的
作用。二是将估算教学内容从计算教学中分离出来，改为解决问题
教学的内容之一，将估算作为解决问题的策略进行教学，体现了估
算的最主要的作用，让学生能更好地 体会到学习估算的必要性。
（3）从每一部分具体内容编排的角度看，即体现了计算教学的
基 本理念，又承载了实现数学教学目标的各方面因素。教材的编者
根据教材实验的成果对原教材进行了细致 的修订，使得教材体现了
计算教学的改革理念，体现了数学学习的过程，既有利于学生的自
主学 习，又为教师组织教学提供了良好的思路。这样的变化表现
在：一是笔算加减法增强了开放性，鼓励学生 独立思考，体现了算
法多样化。二是乘法的教学，根据学生学习的特点，突出了算理的
教学，注 意借助直观操作（小棒图），让学生在明理的基础上掌握
算法。三是加强了对计算法则的归纳与概括，让 学生在实际操作经

验的基础上，通过讨论交流，逐步归纳出计算法则。让学生 经历计
算法则的获得过程，渗透数学思想方法和数学学习方法。
2．改进概念教学的编排，让学生在应用概念解决问题中加深对
概念的理解
“倍”在 小学数学里是一个重要概念，也是学生后续学习的基础。
但是，对于低年级学生来说，“倍”的含义是比 较难理解的。与学生
在一年级就已掌握的“比大小”相比，“倍”虽然也是反映了两个数量
之间 的比较关系，但它反映的是两个数之间的比率系数，因此较之
“比大小”更抽象一些。然而，它是建立乘 法模型的情境之一，即使
是小学生的生活中也存在着需要“倍”的知识解决的实际问题。为了
使 学生较好的建立倍的概念，以往的教材都注意了通过直观的手段
揭示“倍”的本质，让学生通过观察、操 作、思考、交流、比较等理
解概念的含义，初步建立“倍”的概念。本次教材修订的重要变化是
教材结构或者说是教学顺序上的变化，即将有关“倍”概念的教学内
容从表内乘、除法教学单元中移出， 安排在学生掌握了表内乘、除
法之后教学。这样，就在本册安排了“倍的认识”教学单元。这样编
排的好处有三，一是，由于倍的知识后移，使得学生学习的难度降
低。二是，教学用倍的知识解决问题 ——求一个数是另一个数的几
倍、求一个数的几倍是多少的问题，不再受到所学乘、除法知识的
限制，教学内容的呈现更具逻辑性。三是，集中教学用乘、除法解
决包含有“倍”数量关系的实际问题， 有利于学生在解决问题中，加
深对乘、除法含义的理解，了解所学习的知识有什么用处、如何
用 ，从而逐步培养学生应用数学的意识和解决问题的能力。
同样“分数的初步认识”单元，也增加了“分 数的简单应用”小节，
安排了“把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份获几
份也 可以用分数表示”的教学内容（例1），加深了学生对分数含义
的理解，学会用简单分数描述一些简单的 生活现象；接着教学解决
“求一个数的几分之一或几分之几”的问题（例2），让学生利用刚刚
掌握的“分数的含义”结合已有的整数除法知识解决简单的实际问
题。不仅沟通了分数与除法的关系，加 深了对分数的理解，而且也
增加了解决实际“问题”的丰富性，培养了学生解决问题的能力。
3．改进估算的编排，突出估算的作用，提高学生解决问题的能
力
加强估算是进入2 1世纪以来我国小学数学计算教学的理念之
一。但是，由于时间仓促和经验不足，在实验教材中估算教学 的安
排比较粗糙，未能体现好学习估算的意义和估算在解决问题中的作

用等。同时，在实验教材的使用过程中，教师在估算教学中存在的
诸多困惑与误区。为此，我们对估算 教学的编排问题进行了研究，
调整了估算内容的编排思想，重新设计了估算教学的重点和教材结
构。
首先，对实验教材估算教学的内容和结构进行调整，形成修订后
教材估算教学内容的结构。即① 估算教学的起点后移。正式的估算
教学从原来的“100以内的加法和减法（二）”后移至“万以内数的 认
识”，先结合具体情境引入“近似数”概念，再利用已学的整百、整千
数的加减法通过估算解 决简单的实际问题。② 改变了估算教学的主
要载体。由主要结合数的四则运算（口算、笔算）教学进行 估算教
学，改为结合运用计算解决问题进行教学，从而将估算当作了解决
问题的一个有效策略。 ③ 在计算以外的教学单元，仍然注意结合教
学内容编排估算的应用。例如，在本册的“测量”单元中安 排了估计
距离的例题，在五年级的“多边形的面积”中安排了对不规则图形面
积的估算；等等。 第二，重视估算方法多样化和估算策略的渗透。
估算即是“近似计算”，也就是将算式中的数据看成整十 、整百或整
千的近似数进行口算。当然，这个近似数的选取，通常是用四舍五
入法，有时也会用 进一法和去尾法，具体的方法需要根据数据的特
点和问题的情境灵活选择。修订后教材在估算编排中注意 渗透估算
的策略，让学生初步体会估算策略中蕴含的不等式的性质。
本册教材有三个计算教学 单元，根据上述估算的编排思想，修订
后教材关于估算的编排的改变是：在计算教学部分的例题中，不再
出现关于估算的教学内容；而是在所学习的具体计算内容之后，安
排与之相应的用估算解决问题 例题。例如，在学生掌握了万以内加
减法之后，安排利用万以内加减法估算解决问题的教学；在教学了< br>多位数乘一位数之后，安排了用多位数乘一位数乘法估算解决问题
的例题，等等。这样的编排，既 使得计算教学的重点突出、难点分
散；又较好地体现估算的主要作用——解决问题的有效策略之一，让学生能更好地体会到学习估算的必要性。
4．量与计量教学重视学生的感受和体验，加强对估测能力的培
养
量与计量的各种概 念，例如千米、吨、秒等，都是从人们生活和
生产的需要中产生的。这些概念，如长度、质量、时间，都 比较抽
象，但它所反映的内容又是非常现实的，与人们的生活、生产有着
十分密切的联系。所以 ，这部分知识的教学，应使学生在学习过程
中体验、感受、理解这些概念的含义，初步发展起长度、质量 和时

间的观念，认识数学与生活的密切联系，提高应用这些知识解决问
题的能力。因此，在有关量与计量内容的编排上，修订后的教材仍
然注意设计丰富的、现实的、具有探 索性的活动，让学生在现实背
景下感受和体验有关的知识，经历探索的过程；另一方面增加了体
验性活动，帮助学生建立时间、长度观念，学习估计时间或长度的
方法和意识。
首先，让学生 通过具体的、现实的活动进行感受，获得体验。例
如，感受1千米的长度，不仅让学生在学校操场先量出 100米观
察，再推想出10个100米有多远，还要求教师带着学生到校外走1
千米的路程， 亲身体验1千米有多远。又如，为了让学生体会1分
钟有多长，先设计了教师带着学生看着钟表共读秒数 的活动，接
着，让学生自己实验1分钟内可以做些什么，采取多种方式让学生
感受1分钟的长度 。
其次，在丰富的实际活动中培养学生对所学量的估计能力，逐步
建立长度和时间观念。估测 是测量的一个重要组成部分，在实际生
活中的应用也十分广泛，人们对一个量进行估测的机会常常比精确
测量更多。在毫米、分米的认识中，教材先让学生估计数学书的长
和宽各大约有多长，再进行测 量。在相应的练习中也安排了“先估
计，再测量。”的题目。在“千米的认识”中增加了估计距离的例题
（例6），通过估计距离的活动，学习估计长度的策略，培养估测
的意识，也让学生体会到解决 问题策略的多样性。在配合“时、分、
秒”学习的练习中，加强了对估计时间的训练，教材从“与1分钟 进
行比较”的粗略估计到“选择方法估计30秒”的准确估计，不断细化
估计的方法，使学生逐 步掌握估计的方法，并逐步建立起关于分、
多少秒的时间观念。
5．调整图形与几何教学内容的编排，强调实际操作与自主探
索，提供更丰富的学习素材 在本册教材中，关于图形与几何的教学内容，有长方形和正方
形、测量的大部分内容（毫米、分米和 千米的认识），这些内容对
于学生理解、把握、描述现实空间，获得解决实际问题的知识，发
展 学生的空间观念都有着重要的作用。对于这些内容的编排，教材
一方面注意让学生通过实际操作获得丰富 的感性经验，另一方面则
是让学生通过自主探索获得对知识的理解。例如，毫米的引出是建
立在 学生自主探索测量物品长度的方法基础上，长方形周长的求法
也是学生自主探索活动的结果。几何学习形 象直观的探索活动不仅

为发展学生的创新意识提供了更有利的条件，而且为发展学生的空
间观念奠定了很好的基础。
本次教材修订，根据十余年教材使用的经验和一线教师教研员的
意见，将教材“四边形”单元的 内容和出现的位置进行了调整。第
一，调整教学内容，并将单元的名称改为“长方形和正方形”。根据< br>实验过程中教师教研员的意见和我们的分析，删去了“四边形的分
类”的内容。将“直观认识平行 四边形”内容前移至一年级下册“认识
图形（二）”；增加了“长方形和正方形的各部分名称和特征”的 内
容，让学生在一年级直观认识图形的基础上进一步认识长、正方形
的特征，为后面学习长、正 方形的周长和面积打好基础；最后还增
加利用所掌握的长、正方形知识“解决问题”的内容，在解决问题 的
过程中进一步体会图形特征以及与周长之间的关系。经过这样的调
整，使知识出现的顺序更具 逻辑性和严密性，便于使学生形成良好
的知识结构。第二，将这一单元从“多位数乘一位数”之前移到了 它
之后。因为在这一单元中要学习“长方形和正方形的周长”，其中计
算周长的题目，特别是联 系实际的计算题目，往往涉及多位数乘一
位数。这个单元位置的调整，不仅使设计习题的范围加大，也给 教
师教学和联系实际出题都带来方便，为学生探索解决有关长、正方
形周长的实际问题提供了更 丰富的素材。
6．合理安排“解决问题”的教学，为培养学生解决问题能力提供
丰富而可操作的案例
为了将培养学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能
力”（以下简称“四能”）落到实处， 本次对于全套教材的修订，主要
采取了两个方面的措施：一是加强在各个内容领域中对解决问题能
力的培养，切实将培养“四能”的教学与各部分数学知识的教学有机
地结合在一起；二是为培养“四能 ”提供教学的思路、清晰的线索和
可操作的案例。具体体现是：新知识教学后一般要安排应用所学数学知识解决问题的例题；结合例题教学循序渐进地提供解决问题的
一般步骤，教给学生解决问题的基 本方法；并且尽量提供不同的解
决问题的策略，体现解决问题方法的多样性；解决问题例题的内容
和题材的选择与设计，注意题材广泛、联系实际，有助于提升学生
解决问题能力、促进思维的发展；为 学生发现数学问题、提出数学
问题提供丰富的素材与情境，培养学生从生活中发现并提出简单的
数学问题的能力，等等。
本册“解决问题”例题的编排与设计基本上体现了上述编排思想。

首先，在每一部分核心内容教学之后，都安排用所学知识解决问
题的 例题。因此，在8个基本教学单元中安排了11个“解决问题”的
例题；每一单元至少有一个例题，即使 在“时、分、秒”单元也不例
外。这些例题的题材广泛，既联系学生生活，又具有渗透数学思想
方法的教育价值。
第二，每一例题都呈现了解决问题的一般步骤，即理解现实的问
题情境，发 现要解决的数学问题——分析问题从而找到解决的方案
并解决之——对解答的结果和解决的方法进行检验 和回顾反思。根
据学生思维和语言能力的发展水平，从本册教材开始使用比较概
括、简练、准确 的语言提示解决问题的基本步骤，即“阅读与理解”
“分析与解答”“回顾与反思”，训练学生使用简洁 的语言进行表达和
交流的能力。
第三，解决问题的探索过程形式多样，在11个例题中呈现了 多
种解决问题的策略。让学生或动手操作或列表分析推理，或画图表
征数量关系，体会解决问题 可能有不同的思路、不同的方法。并
且，教材注意在习题中安排提出数学问题的要求和训练（练习三第< br>13题、练习八第8题、练习二十三第2、3、5题等）。
7．有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力
学习数学不仅可以使学生获得参与社 会生活必不可少的知识和技
能，学习数学的过程还能有效地提高学生的逻辑思维能力，进而奠
定 发展更高素质的基础。因此，培养学生良好的数学思维能力是数
学教学要达到的重要目标之一。在本册教 材的基本教学单元中，注
意结合具体内容的教学和练习，以渗透的方式让学生对一些数学思
想有 所感受和体会。例如，多位数乘一位数的教学，让学生经历探
究方法──明确算理──总结算法的过程。 在这一过程中，由对具
体题目计算方法的讨论到一般的计算方法概括；由对算理的感性认
识上升 到了对计算原理的理性认识。学生的总结概括能力、运用规
律解决问题的能力正是通过这样的教学过程才 能逐步培养起来。在
设置综合与实践主题活动时，教材安排了探索简单的“数字编码”活
动，渗 透数字编码的思想方法。通过日常生活中的一些事例，使学
生初步体会数字编码在解决实际问题中的应用 ，并通过观察、比
较、判断来探索数字编码的简单方法。学生了解并初步掌握这一数
学思想方法 ，不仅能体会运用数字的有规律排列可以使信息交换变
得安全、有序、快捷，给人们的生活和工作带来便 利，感受数学的
魅力；而且有利于培养符号感、观察、分析、推理以及解决问题的
能力，积累了 探索数学的基本活动经验。在“数学广角——集合”单

元中，教材安排了简单 的集合思想的教学。集合思想是数学中最基
本的思想，学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想 方法
了。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学
习数学的基础。这一数学 思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提
供了良好的素材。让学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等 活
动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，
逐步形成有序地、严密地思 考问题的意识，同时使他们逐步形成探
索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。
本教材包括下面一些内容：万以内的加法和减法口算和笔算，多
位数乘一位数，分数的初步认识，有关倍 的概念及应用，长方形和
正方形的特性与周长，时、分、秒，千米和吨的认识，数学广角和
数学 实践活动等。万以内的加法和减法、多位数乘一位数以及长方
形和正方形是本册教材的重点教学内容。
（一）数与运算
第二单元 万以内的加法和减法（一）
第四单元 万以内的加法和减法（二）
第五单元 倍的认识
第六单元 多位数乘一位数
第八单元 分数的初步认识
（二）量与计算
第一单元 时、分、秒
（三）图形与几何
第三单元 测量
第七单元 长方形和正方形
（四）数学思想方法：数学广角——集合
（五）综合与实践：数字编码
《时、分、秒》教材分析
安徽省黄山市黟县碧阳小学 叶群芳（初稿）
安徽省黄山市教研室 高娟娟（修改）
安徽省黄山市黄山区教研室 齐胜利（统稿）
第一学段中 “常见的量” 关于时间的知识，学生在一年级上册
第七单元《认识钟表》中 学会了看整时和半时；在二年级上册第七
单元《认识时间》中会读写几时几分，初步认识了钟面上的时针 和
分针，知道了1时=60分。这个单元主要是学习时间单位“秒”，以及
有关时间的简单计算 。时间单位不像长度、重量单位那样容易用具
体的物体表现出来，比较抽象，单位之间的进率也比较复杂 。但是

时间又时时伴随着人们的生活。因此，教材从教学材料的选择到呈现方式，都十分注意结合学生的生活经验，力求在实际情境中，体
会时、分、秒的实际意义，掌握有 关时间的知识。
具体内容的编排顺序如下表：
《时、分、秒》重难点突破
安徽省黄山市黟县碧阳小学 叶群芳（初稿）
安徽省黄山市教研室 高娟娟（修改）
安徽省黄山市黄山区教研室 齐胜利（统稿）
本章重难点分析：
1．初步建立分、秒的时间观念是本单元内容教学的重点，也是
难点。
2．解决简单的计算经过时间的问题，帮助学生掌握解决问题的
基本方法也是本单元的难点。
突破建议：
1．关注学生的生活经验，尽可能使数学学习活动与学生的生活
实际相联系
（1）初步建立对秒的直观感知
动态出示春节联欢晚会倒计时等待新年钟声敲响的那一刻。让
学生体会“秒”是比分还小的时间单位，经常会在“倒计时”中出现，
借助这一情境可以导出“ 秒的认识”这一课题。再依次出示第2、3、4
幅主题图，唤醒学生关于时间的生活经验，让学生体会秒 在生活中
的运用。
（2）结合前面的情境图，直接说明：计量很短的时间，常用比
分 更小的单位——秒。并出示钟面，直观地观察秒针走一小格就是

1 秒，走一大格就是5秒，8秒就是走了八小格。再通过动态演示3
幅连续的钟面，分针走一大格，秒针走 了60小格。帮助学生理解分
与秒的关系，即1分=60秒。
（3）体验1秒有多长
通过亲身体验：如眨眼、听滴答声、击掌等方式让学生体验1
秒的长度。
2．加强数 学知识与现实生活的联系，让学生感受数学就在身
边，并帮助学生掌握解决问题的基本方法
（1）巩固时间单位间的进率。
复习1分=60秒，1时=60分，让学生自己通过观察、归 纳得出
相邻两个时间单位之间的进率是60。由于学生没有学习两位数的乘
除法计算，所以时间 单位的换算只出现数字较小的，以及整十倍数
的换算。如600秒=（）分
（2）突破“时间的简单计算”这一难点。
①先复习简单的整时的经过时间的计算。
课件出示学生熟悉的生活情境：如早上7时起床，8时上课，经
过了多少时间？唤起学生对经过时间计 算的经验，建立简单的经过
时间计算模型：终点时间－起点时间=经过的时间
②不是整时的经过时间的计算。
出示例2，动态演示钟面从离家时刻到到校时刻经过的时间。 让
学生观察画面，分析相关信息。通过呈现解决这一问题的三个步
骤：阅读与理解、分析与解答 、回顾与反思，帮助学生掌握解决问
题基本方法。
③解决问题方法的多样化。
解决 经过时间的问题可以让学生自主选择喜欢的方法，可以是
数格子的方式，直观、实用；也可以选择计算的 方法，抽象、高
效；还可以将曲线的分针转动转化为直线的数轴，便于学生算出经
过的时间。（ 课件演示不同方法）
如图：

小学数学三年级上册第二单元“万以内的加法和减法（一）”教材
介绍
人民教育出版社 小数室

一、教学内容
这一单元，实验教材安排在二年级下册，因“有余数的除法”前
移，此单元后移至本册。
1．口算两位数加、减两位数（和在100以内）
2．笔算几百几十加、减几百几十。
3．用估算解决问题。
二、教学目标
1．使学生能够正确口算两位数加、减两位数 （和在100以
内），会正确计算几百几十加、减几百几十。
2．使学生在解决具体问题的过 程中，能应用合适的方法进行
加、减法估算，培养估算意识和能力。
3．培养学生根据具体情况选择适当方法解决实际问题的意识，
体验解决问题策略的多样性。
三、编排特点
1．联系学生的生活实际，为新知识的学习提供丰富的现实背景
数学 课程内容的呈现贴近学生生活是教材编写的基本原则。本单
元遵循这一原则，为计算教学设计了参观“世 博会”的情境，提出买
车票的张数、比较各种车票的价格、“海宝”的销售量等实际问题；
为估 算教学设计了“看巨幕电影能不能坐下”等实际问题。使学生感
受到计算与生活的联系，同时增强了时代 感。
2．重视学生已有的知识和经验，注意体现算法多样化
提倡算法多样化的目的是提倡学 生个性化的学习，独立思考，变
“学方法”为主动地构建方法。本单元仍然注意体现这一理念，如教学口算两位数加两位数时，呈现两位学生不同的口算方法，还通过
小精灵的提问“还可以怎样算”， 提示可能还有其他算法，鼓励学生
独立思考。在教学笔算几百几十加、减几百几十时，也出现口算的方法。其目的是鼓励学生开阔思路，在交流、比较的基础上不断地
完善自己的想法，学习计算方法， 体会算法的多样性。
3．重视估算能力的培养，突出估算的策略
估算是近似地猜测事物数量的行为, 估算能力是指个体懂得在什
么情况下无法或不必做出精确 的数字处理或数字运算，而应用相关
数学知识和策略给出近似答案的能力。培养学生的估算能力，不仅< br>要让学生体会估算的意义，还要让学生掌握估算的策略和方法。
本单元教材，在注意结合解决具 体问题让学生体会估算的必要性
的基础上，重点突出估算的策略和方法。一是教学用不等式的性质
进行估算的策略。通过例4及下面的问题，给出了两种估计的策

略：往大估 或往小估，通过得出的中间数与准确数和座位数之间的
关系，利用不等式的性质解决问题。例如，例4通 过往小估，得出
中间数，用中间数与座位数比较，得出中间数大于座位数，利用不
等式的性质推 出总人数大于座位数，坐不下，解决了问题。二是教
学选择合适的单位进行估算。例4，通过先选择的估 算单位（接近
的整百数）不合适，不能判断；再进行调整，选择了合适的单位
（接近的几百几十 数）后，通过中间数，利用不等式的性质进行判
断解决了问题的编排，让学生经历选择单位的过程，体会 要根据数
据的情况，不断调整估算方法，选择适当的单位才能解决问题。
四、具体编排
（一）口算
1．主题图
（1）主题图呈现了六个年级同学准备乘车去参观“世博会 ”的情
境。图中给出了每个年级两个班的人数，为引出两位数加、减两位
数口算提供现实背景。
（2）主题图中蕴含着大量数据，不仅为学生学习新课内容提供
了自主学习的空间，还为巩固练 习已学的口算提供了条件。
2．例1（两位数加两位数）
（1）例1（1），教学两位数加 两位数不进位加法的口算。通过
小精灵的问话，明确要求用口算计算，并提示放手让学生自主探
索。呈现学生的两种不同的口算思路，并增加了表示计算过程的思
路图。展示如何把一道两位数加两位数 的口算转化成若干道连续
的、已经掌握的、比较容易的口算，渗透转化思想。鼓励学生交流
不同 的口算方法，体会算法的多样性，反思自己的算法。
（2）例1（2），教学两位数加两位数进位加法 的口算。只呈现
了一种口算思路，再由小精灵的问题提示学生中可能有不同的口算
方法，体现算 法的多样化。
3．例2（两位数减两位数）
（1）例2（1）教学两位数减两位数（不退 位）口算，突出了一
种口算思路：把减数看作是整十数和一位数的组合，先减去整十
数、再减去 一位数。
（2）例2（2）教学两位数减两位数（退位）口算，没有给出具
体方法，让学生自 主探索。通过小精灵的话提示，教学时要让学生
交流不同的口算思路，体现算法多样化，反思自己的算法 。“你能提
出其他数学问题并解答吗?”，一方面培养学生提出问题和解决问题

的能 力，另一方面对所提出问题的解答可及时巩固口算两位数加、
减两位数。
（二）笔算
1．例3（几百几十加、减几百几十）
（1）例3，教学几百几十加、减几百几十的笔算，包括进位和
退位的情况。
（2） 两个小题，都呈现口算和笔算两种方法，体现算法多样
化。两个小题给出的口算方法，都提示学生可以将 几百几十看作几
十几个十，转化为两位数加、减两位数来进行口算。两个小题都通
过小精灵启发 性的问题，提醒学生笔算进位加法、退位减法时应注
意的问题。
（3）“做一做”，巩固几百 几十加、减几百几十的计算方法，安
排了不进位和不退位的情况，让学生自主解决。
（三）解决问题
1．例4（用估算解决问题）
（1）创设到上海科技馆看巨幕电影 的情境，提供“巨幕影院的座
位数”，引出“六个年级学生同时看电影能不能坐下”的实际问题，教学用估算解决。
（2）未学习过“221+239”的精确计算，可适当避免先精确计算，
再为估算而估算的现象，更好地体会什么情境下需要估算。
（3）在“分析与解答”环节，给出了应 用往小估的策略得出中间
数，并不断调整估算方法，最后根据不等式的性质解决问题的过
程。教 材安排先将两个数据看作与它们接近的整百数，相加的结果
即是中间数。用中间数与座位数比较，不能判 断总人数与座位数的
关系。再进一步将两个数据看作与它们接近的整十数，相加得出中
间数。用 中间数与座位数比较，得出中间数大于座位数，那么总人
数也一定大于座位数，坐不下。通过这样的安排 ，让学生体会需要
根据数据的情况选择适当的单位，才能解决问题。
（4）“回顾与反思”让 学生反思自己的估算方法，理解用估算解
决实际的问题时，有时需要对估算方法进行调整。
（ 5）在解决问题时，由于数据的原因学生可能用口算求出精确
的结果，教师也应给予肯定。在交流中，让 学生体会估算的优势。
（6）在例题的情境下，进一步提出“如果两个旅行团分别有196
名 和226名团员，这两个旅行团同时看巨幕电影坐得下吗？” 让学
生应用往大估的策略找到中间数，再根据不等式的性质解决问题。
（四）整理和复习

（1）教材让学生通过讨论和交流，比较几百几十加、减几百几
十的 计算与两位数加、减法计算的异同，进一步梳理计算方法，为
教学三位数加减法作准备。同时，沟通所学 知识之间的联系，让学
生体会将新知转化为旧知的学习方法。其中，第1、2两题是对本单
元所 学计算内容的一个基本检测。第3题，复习用估算解决问题。
（2）注意引导学生理解两位数加、减两 位数和几百几十加、减
几百几十的计算之间的关系，沟通新旧知识之间的联系，进一步提
高学生 对新知的理解和掌握水平。
五、教学建议
1．通过迁移类推学习新知识
本单元的 内容多是在前面学习的计算内容的基础上进行教学的。
口算两位数加、减两位数，本质上是整十数加减一 位数、整十数和
两位数加减一位数、整十数等情况的组合。笔算几百几十加、减几
百几十，是笔 算两位数加减法的拓展，它们的算理完全相同。可以
通过迁移类推来学习。教学中应注意复习整十数加、 减一位数、整
十数以及两位数加、减两位数等知识，让学生在已有知识基础上通
过迁移类推学习 新知识。
2．注意把握好计算教学的要求
本单元计算内容的教学呈现算法多样化的特点，在 教学时，既要
尊重学生的个性差异，允许他们采用不同的算法进行计算，但也要
适时适度地给予 帮助。同时，还应注意把握好教学要求，如教学几
百几十加、减几百几十时，主要以教学笔算为主，口算 是作为另一
种算法出现，因此对于这类计算，只要求学生掌握笔算，对于口算
不作共同要求。
另外，“百以内加减法口算”不仅可以解决生活中的实际问题，对
后续计算学习也有重要的作用 ，因此需要必要的训练。《标准
（2011）》对“百以内加减法口算”的速度要求是“3～4题分”。 但需
要注意的是，这是第一学段结束时学生应达到的要求，教师可根据
学生的实际情况确定单元 结束时的具体要求，注意把握尺度，不要
作过高要求。
3．加强方法指导，培养估算能力 < br>估算是一种开放型的创造性活动，估算的方法灵活多样，因内容
而定，因实际情况而变化，往往带 有很多不确定因素。而且第一学
段的学生估算意识和估算的方法都在形成过程中，这就要求加强估
算方法的指导，使学生有章可循，进行合理的估算。一方面，要创
设更多的机会接触现实生活中的数学 问题，使学生意识到在他们周

围的某些事物中存在着数学问题，体会到估算的 必要性和有效性，
培养估算的意识。另一方面，要让学生多练习，逐步积累估算的经
验，总结规 律，掌握估算方法，提高估算能力。在教学中，要使学
生认识到在面对一个现实的问题情境时，要合理选 择估算策略，感
受到估算是一种解决问题的有效策略。《标准（2011）》中指出：
“能结合 具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。”估算
往往要涉及在哪个数位上进行计算的问题，如 果选择的单位不合
适，即使估算的策略选择正确了，也不能解决问题。因此，在教学
中应让学生 认识到需要在计算之前针对实际背景选择适当的单位。
《万以内的加法和减法（一）》重难点突破
安徽省黄山市屯溪现代实验学校 唐浩瑛
一、让学生根据旧知和经验迁移、类推、转化等方式 ，经历探索
100以内口算加、减法和几百几十加、减几百几十的计算方法过
程，进一步理解加 减法的意义，理解和掌握算法和算理
突破建议：
1．通过旧知迁移类推学习新知识。复 习旧知，唤醒学生已有的
知识经验，结合信息，列出算式。让学生自主尝试，再通过小精灵
的问 话，放手让学生自主探索。在交流汇报中结合教材中计算过程
的思路图，和自己的分析过程，让学生展示 如何把两位数加、减两
位数的口算和几百几十加、减几百几十转化成若干道连续的、已经
掌握的 、比较容易的口算，渗透转化思想。
2．在课堂教学中，教师要给予学生充分的时间、空间，加强交< br>流和指导，鼓励学生将算的过程用语言表达清楚；并通过教师的引
导和评价，使学生体会单位相同 的数可以直接相加、减的计算方
法。鼓励学生交流不同的口算方法，体会算法的多样性，反思自己
的算法。加深对加减法计算方法的理解，帮助学生更好地掌握计算
方法。
3．通过每个例题 中不同的两题进行对比，让学生体会不进位与
进位加法、不退位与不退位减法相同点和不同点。加深对“ 相同计数
单位”“满十进位”“不够减向前一位借1”这些知识点的理解。
二、使学生熟练掌 握两位数加减两位数和几百几十加、减几百
几、的计算方法，并能在具体情境中选择正确计算方法，培养 学生
解决问题方法多样化，提高思维的灵活性
突破建议：
1．“百以内加减法 口算”不仅可以解决生活中的实际问题，对后
续计算学习也有重要的作用，因此需要必要的训练。《标准

（2011）》对“百以内加减法口算”的速度要求是“3～4题分”。但需
要注意的是，这是第一学段结束时学生应达到的要求，教师可根据
学生的实际情况确定单元结束 时的具体要求，注意把握尺度，不要
作过高要求。
2．教学中，除了让学生通过主动探索、合 作交流，语言表征等
方式掌握算法外，还需要组织好练习，培养学生的计算能力的数的
大小估测 能力。教师可以根据实际情况积极创设新颖的练习形式，
如“开火车”“购物”“接力”“找朋友”等， 让学生在轻松愉快的活动中提
高计算能力；练习时，减少书面练习，多进行口头练习，既可以增
大练习容量，又减轻学生书写的负担，同时口头练习形式多样，容
易引起学生的兴趣。
3 ．在具体情境中，让学生根据有效信息，提出问题、分析问题
和解决问题。提高学生的“四能”，同时把 所掌握的计算知识应用其
中，在汇报分享中体会到解决问题的多样化，也体现了学生主动思
考并 掌握解决问题的基本思路和过程。展示丰富的分析问题的过程
与方法，以利于学生建构数学模型。
三、学生在解决具体问题的过程中，能选择合适的方法进行
加、减法估算，掌握估算的策略 ，体会估算的意义
突破建议：
1．教师可组织一些通过具体的数和算式结果进行比 较，提高学
生对数的大小要选择合适单位的估测能力，建立估测接近数要先选
择的估算单位的意 识。《标准（2011）》中指出：“能结合具体情
境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。”如练 习三的第5、6
题，“找接近数”“分类”等练习方式，让学生经历选择合适单位的过
程，体会 要根据数据的情况，不断调整估算方法，选择适当的单位
的估测方法。
2．创设现实生活 中的数学情境，使学生意识到在他们周围的某
些事物中存在着数学问题，体会到估算的必要性和有效性， 培养估
算的意识。在具体问题中让学生多练习，逐步积累估算的经验，总
结规律，掌握估算方法 ，提高估算能力。在教学中，要使学生认识
到在面对一个现实的问题情境时，要合理选择估算策略，感受 到估
算是一种解决问题的有效策略。
小学数学三年级上册第三单元“测量”教材介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容
1．长度单位：毫米、分米、千米

2．质量单位：吨
3．解决问题：用列表法一一列举
二、教学目标
1．结合生活实际，使学生经历实际测量的过程，在实践活动中
认识长 度单位毫米、分米和千米，建立1毫米、1分米的长度观
念，明确毫米、厘米、分米、米和千米之间的进 率。认识质量单位
吨，知道吨和千克之间的关系。
2．使学生知道常用的长度单位间、质量单位间的关系，会进行
简单的单位换算。
3．使学生能估计一些物体的长度和质量，会选择合适的单位及
工具进行测量。
4． 感受数学与生活的密切联系，了解用列表法分析问题和解决
问题，体验与他人合作交流解决问题的过程。
三、编排特点
1．关注学生的数学现实和生活现实，体现知识的形成过程
在此之前 ，学生已经学习了长度单位中的米与厘米、质量单位中
的千克与克，已经了解了一些有关测量的知识和方 法，而且对即将
学习的长度单位毫米、分米和千米和质量单位吨，许多学生在生活
中已经有所了 解。因此，学生的数学现实和生活现实是比较丰富
的。教材的编写充分考虑到这一点，将它作为发挥学生 主动性的一
个重要依据。毫米的认识这部分内容，从知识方面来讲有厘米的认
识作基础；从经验 方面来讲，学生经常用到学生尺，也有用尺子进
行测量的经历。因此，教材安排了让学生估、测、议等活 动，体现
知识的形成过程，进而引出要学习的新知识。也是由于学生有较好
的知识和经验基础， 教材删减了一些较复杂的探究性活动，采用开
门见山的方式介绍有关内容。例如，教学分米的认识时，不 再安排
学生去测量课桌有多长，直接向学生介绍10厘米是1分米。教学千
米、吨的认识也是如 此。另外，这一单元中经常出现的课堂、操
场、校园等，都是学生熟悉的环境，很容易打开学生的话题。 再
次，在许多内容的编排中，将所学的概念设计在学生熟悉的或有趣
的情境中，让学生去发现、 探究、体验。例如，在千米的认识教学
后，第30页第14题利用学生熟悉的三组情境，巩固长度观念， 培
养学生解决实际问题的能力。
2．加强操作和体验，感悟新知
首先，通过操作并 借助生活中熟悉的事物，初步建立1毫米、1
分米实际长度的表象。例如，在体会了毫米产生的必要性， 并初步

认识毫米的含义后，教材先是让学生用手势表示出1毫米的长度，再通过一些厚度大约是1毫米的物体，让学生更加直观地感知1毫
米的实际长度。在此基础上，教材 又通过“说一说，生活中测量哪些
物品一般用‘毫米’作单位。”这一问题，启发学生列举出更多熟悉的
物体，进一步丰富对1毫米或几毫米实际长度的感知。其次，千米
和吨都是比较大的单位，学生 不容易直接感知，教材通过加强体
验，并借助学生熟悉的事物通过推理认识千米和吨。例如，在认识千米时，选用学生熟悉的操场上的跑道来介绍1千米有多长；安排
实际走100米，推测1千米有多 长，再实际走一走等活动，体验1
千米的实际长度。在认识吨时，通过集装箱、货运火车运载大宗物品的场景，介绍生活中“吨”的广泛应用；借助生活中常见的大米和
小学生的体重等素材，通过推理 帮助学生认识1吨有多重。
3．注重培养学生的估测能力
生活中经常需要通过估计量的大小 做出合理的判断。即使在精确
测量之前，也需要通过估计确定测量的单位并选择合适的工具。因
此，培养学生的估测能力就显得尤为重要。教材专门安排了第27页
例6，通过让学生用自己的方法估计 家到学校大约多远，积累估测
活动经验，掌握估计的方法，并体会解决问题策略的多样性。教材
还在练习中安排了先估计再测量、估计教室的长和宽、估计从教室
到校门口大约有多远、选择合适的单位 、选择正确的说法等多种形
式的练习，让学生尝试进行估测，并通过比较估测与实际测量所得
结 果，修正自己的估测策略。以便逐步培养学生的估测能力。
4．介绍新的解决问题的方法和策略，培养学生解决问题的能力
培养学生用数学解决问题的能 力是数学教学重要的目标之一。教
材通过创设现实的问题情境，为学生抽象出数学问题并运用所学知识和方法去解决问题，并逐步获得数学的思想和方法创造丰富的机
会。在确保掌握基本知识和技能的 基础上，教材加大了练习的思维
含量，安排了大量要求学生合理运用所学知识解决问题的内容。例
如，在练习六中，设计了“描出最近路线”的实际问题（第10题）；
练习七中安排了“怎样装车能一 次运走”的实际问题（第4题）。教
材专门安排了例9及相应的练习，通过解决不同的实际问题，引导< br>学生体会通过列表进行一一列举的策略可以解决问题，掌握运用列
表策略解决问题的基本思考过程 和方法。并在“做一做”和练习中安
排相应的题目，进一步丰富学生运用此策略的体验，体会数学的思< br>考方法。掌握多样的解决问题的策略，学会数学的思考将有效地促
进学生解决问题能力的提升。

四、具体编排
（一）毫米、分米的认识
1．例1（毫米的认识）
（1）例1，通过估计、测量等活动让学生明确毫米产生的意
义，初步体会毫米是更小的长度单位。
（2）通过对数学课本的长、宽、厚进行估计的活动，唤起学 生
已有的知识基础，通过判断估计得是否准确，引出精确测量的活
动。让学生在测量中发现，课 本的厚不到1厘米，课本的宽不能用
整厘米数表示，体会毫米产生的意义。使学生明确，比厘米更小的< br>长度单位是毫米，并给出表示毫米的符号“mm”，让学生了解。
（3）利用直尺上的毫米刻度 直观告诉学生1毫米有多长，再通
过让学生数刻度尺上1厘米长度里有几小格，引出“1厘米＝10毫< br>米”帮助学生理解毫米和厘米之间的关系和进率。
（4）通过让学生用手势表示出1毫米的长度 ，并给出生活中长
度是1毫米的实物，帮助学生建立1毫米的长度观念。通过让学生
说一说需要 用毫米作单位测量的物品，让学生体会毫米这个长度单
位在生活中的广泛应用。
（5）“做一 做”第1题，让学生在试着读出用直尺测量时含有毫
米的测量结果；第2题则是让学生用直尺进行测量， 写出以毫米为
单位的结果，同时巩固厘米和毫米的进率。
2．例2（分米的认识）
（1）介绍长度单位“分米”，并给出表示分米的符号“dm”，让学
生了解。
（2 ）利用米尺直观告诉学生1分米的长度是多少，并给出分米
和厘米之间的关系，给出1分米＝10厘米。
（3）通过让学生借助直尺用手势表示出1分米的长度，帮助学
生建立1分米的长度观念。
（4）让学生探索分米和米之间的关系，给出1米＝10分米。
3．例3（简单的单位换算）
（1）例3和“做一做”，教学毫米和厘米，分米和厘米、米之间
的换算，限于单名数。 （2）通过想1厘米是10毫米和10厘米是1分米，引导学生去
推理几个厘米里面有多少个10毫 米和几十个厘米里面有多少个10
厘米，教给学生在进行单位换算时的思考方法，从而掌握换算的方法。
（二）千米的认识

1．例4（千米的认识）
（1）例4介绍长度单位“千米”，并给出表示千米的符号“km”，
让学生了解。
（2）结合学生熟悉的运动场跑道示意图，将1千米与学生的经
验建立联系，说明1千米有多长。并用已 掌握的长度单位“米”推算
出新的长度单位“千米”，自然地引出千米和米之间的关系
（3） 第二幅情境图和“做一做”，通过量一量、走一走、估一估
的活动，增强学生对1千米直线距离的感受， 掌握估计的标准和方
法。
2．例5（单位的换算）
例5教学千米与米之间的换算。 通过“想”引导学生运用千米和米
之间的进率，用口算直接推算出结果。
3．例6
例6及相应的“做一做”安排的是估测活动。这一部分内容，是学
生在例4通过各种活动感知1千米有多 远的基础上展开的，意在提
高学生的估测能力，培养学生的长度观念，以及体现解决问题策略
的 多样化。
（三）吨的认识
1．例7及“做一做”（吨的认识，吨和千克的关系）
（1）例7，通过生活实际说明生活中有“吨”这个质量单位，并给
出表示吨的符号“t”，让学生了解 。
（2）结合大米的质量，说明10个100千克就是1000千克，也
是1吨，形象具体的 引出了1吨，以及吨和千克之间的进率，1吨
=1000千克。
（3）结合学生的生活实际， 通过学生熟悉的“儿童的体重”作为
参照物来比较，丰富学生对质量单位“吨”的具体感性的认识，并通
过推算，加深学生对1吨=1000千克的认识。
2．例8及“做一做”（单位换算）
例8和相应的“做一做”，教学质量单位吨和千克之间的换
算，根据吨和千克之间的进率关 系进行推理，锻炼学生逻辑推理能
力。
3．例9及“做一做”
（1）例9，是解决与吨有关的实际问题，介绍运用列表的方法
解决问题。
（2）通 过小精灵的提示，让学生体会到“把符合要求的方案一一
列举出来”是解决这个问题的有效策。呈现完整 的运用列表法解决问

题的过程，突出用列表法一一列举时，需要不重复、不遗 漏地进行
思考。使学生感受列表法的有序性和解决问题过程的完整性。
（3）呈现一名学生从 “只用2吨的车运4次”想起，提示教师要
为学生自主探索留出空间，同时在学生思考的关键环节上要进 行必
要的点拨，引导学生有序地列出各种方案，防止列出方案时产生遗
漏和重复。
（4）在“回顾和反思”环节提出检验结论是否符合题目的要求，
培养学生检验的意识。
五、教学建议
1．重视教学情境的创设
本单元的内容与学生的生活实际有着密切的 联系，教学中教师要
从学生的生活经验出发，灵活选用教材提供的资源，创设生动有趣
的情境， 为调动学生学习的积极性，提高教学过程中学生的参与
度、促进师生互动提供条件。除了要充分利用教材 提供的资源外，
同时还要增加一些当地学生熟悉的例子。例如，在认识毫米和分米
时，可增加医 疗保险卡、电话磁卡、储蓄卡等厚度大约是1毫米的
物品，也可以让学生从一沓纸（或作业本）中量出1 毫米，数一数
有几张。让学生用作业本摞出1分米的高度，数一数有多少本等活
动。学生凭借自 己的经历和体验，认识并理解测量的有关知识，同
时形成适合自己的解决实际问题的方法，解决问题的能 力会逐步提
高。当然，教师要引导学生对所提供的情境进行整体观察，注意提
供的情境应该主题 明确，当学生的讨论远离主题时，应该进行恰当
的引导。
2．注重让学生积累活动经验，确保各项活动的有效开展
“测量”这部分内容的实践性比较强 ，需要学生在操作中充分地体
验和感知，并逐步达到完善。因此，这部分内容的教学应该建立在
大量操作的基础之上。例如，在初步认识毫米和分米后，要让学生
掌握用分米和毫米作单位测量物体的长 度。尤其是用毫米作单位测
量物体长度时，对学生操作测量工具以及准确读出测量结果的要求
较 高，因而难度较大。这就需要教师组织大量的测量活动，提高学
生的操作水平，积累活动经验。在教学千 米的认识时，教师要组织
学生真正到操场上量一量，走一走，看看有多远，估一估，体验1
千米 有多长，加深对1千米长度观念的理解。在安排学生的操作活
动时，教师要有明确的目的，要提出活动的 要求，教师应该参与到
学生的活动中，对于活动中存在的问题，要给予恰当的引导，对活
动的结 果要进行适当的评价。要合理安排“动”与“静”的时间，注意

自主学习与合 作交流相结合，动手操作与认真思考相结合。安排的
教学活动要为学生提供比较充足的时间，提出的问题 要有一定的思
维价值。
3．重视学生估测方法的掌握，培养估测意识和能力
本套教 材非常重视培养学生的估测能力。为此专门安排了例题，
并且在练习中提供了大量的估测活动。但估测能 力的形成不是一蹴
而就的，需要长期坚持不懈的培养。教师要注意培养学生自觉地对
常用物体长 度或质量进行估测的意识，同时要注意对估测的方法进
行指导。在教学中，可以采用先估测，后测量验证 的方法，用熟悉
物体做参照物的方法，测量较长距离时运用分解的策略，不断提高
学生的估测意 识和能力。
4．注重在解决问题的过程中，让学生感悟基本的数学思想方法
在教学中让学生 形成解决问题的能力，是学生进一步学习和发展
的需要，也是培养人才的需要。本单元教材除了穿插编排 有已学过
的解决简单实际问题的内容，还专门设计编排了运用列表法解决实
际问题的内容。教学 中要充分利用教材资源，为学生创设发现数学
问题的情境，为学生创设用所学数学知识解决问题的活动。 首先，
一定要让学生参与解决问题活动的全过程，即经历用列表法一一列
举解决问题的全过程， 积累解决问题的经验。其次，在反思和交流
中，要注意展示各种解决问题的方法，引导学生体会用列表法 有助
于不重复、不遗漏地进行列举各种方案，感受这一策略的特点和价
值。最后，要注意让学生 体会解决问题时可以从不同的角度去列
表，加深对这一解题策略的认识，感受数学的基本思想和方法。
《测量》重难点突破
安徽省黄山市实验小学 王启武（初稿）
安徽省黄山市教科院 高娟娟（修改）
安徽省黄山区教研室 齐胜利（统稿）
一、在操作中认识长度单位毫米、分米和千米，丰富表象，建立
长度观念
突破建议：
1．建立1毫米的长度观念。在数直尺上1厘米有多少个1毫
米的小格时，初步感知1毫米的 长度。通过多样的形式让学生建立
1毫米的表象。例如：用手势比划1毫米的长度；说出长度是1毫米的实物，除了教材中给出的物品外，还可以让学生多举一些例
子；通过从一叠纸中量出1毫米，并 让学生看一看，捏一捏，丰富
学生的感知。

2．建立1分米的长度 观念。数一数，让学生数一数米尺上10厘
米的一段，体会这个长度就是1分米；估一估，用手势先估一 估1
分米的长度，比划出来后，再用直尺验证；既提高了估测的能力，
又强化了1分米的表象； 说一说，说说生活中大约1分米长的物
体，以此来加强学生对1分米长度的认识；画一画，学生动手在纸
上画出1分米的长度，直观感受1分米有多长。
3．建立1千米的长度观念。充分运用操场跑 道，引导学生根据
跑道1圈的长度推导出1000米的长度，从而认识1000米=1千米。
让 学生说说1千米里面有几个100米，几个200米或几个500米
等，帮助学生认识1千米。
二、在情境中感受1吨的质量，丰富体验，建立质量观念
突破建议：
1．在教学时 ，充分利用生活素材，帮助学生体会1吨的含义，
例如：引导学生观察书中10袋大米的插图，每袋重1 00千克，同样
的2袋重200千克……10袋就是1000千克。这样的10袋大米才够
1吨 。教师根据实际需要，还可以借助其他素材进行推理教学。
2．吨这个质量单位比较抽象，不像长度单 位那样直观、具体，
因此，在教学时应创设各种情境帮助学生体验和感受。例如，可以
抬一抬2 5千克的大米，然后推算多少袋有1吨，可以利用多媒体课
件展示1吨货物的多少，还可以组织学生互相 背一背，感受一名学
生的体重，然后估一估、算一算多少名学生的体重是1吨。
三、在推理中掌握单位换算的方法，知道单位间的关系
突破建议：
1．注意交流思考过程，培养推理能力。
教材中的单位换算分为两类，即高级单位化低级单位 和低级单位
化高级单位。教学时，要引导学生充分思考，例如：想1厘米是10
毫米和10厘米 是1分米，推导出几个厘米里面有多少个10毫米和
几十个厘米里面有多少个10厘米。
2．重视让学生进行系统梳理，内化新知。
在学生初步掌握单位换算的思考方法后，教师要及 时放手让学生
在尝试练习时互相说一说推理过程，在表达中训练学生的逻辑推理
能力。最后引导 学生们梳理毫米、厘米、分米和米之间的关系，为
综合应用奠定基础。
四、在估算中感受方法的多样性，培养估测意识和能力
突破建议：
1．体会解决问题策略的多样性，了解不同的估测方法。

“估一估 ，从你家到学校大约有多远”对于不同的学生来说，上学
方式不同，估测的方法也不一样。教材中呈现的 3种不同的估测方
式，可以让学生根据自己的实际情况互相说一说。尤其对步行上学
的学生可以 借助例4中得到的走100米的时间和步数为标准进行估
计；对家长骑电瓶车或开车接送的孩子，也可以 让他们说说自己的
想法。
2．先估计，后验证，提高估测能力的同时培养长度观念。
教学中，可以让学生估计教室的长和宽，借助一定的标准（如步
数，桌宽等）来估一估。然后实际测量 一下，以帮助学生提高估测
能力。
五、在列表中感悟基本的数学思想方法，培养学生解决问题的能
力
1．引导学生弄清 题意。通过说一说，想一想，让学生之间明白
例题传达了什么信息，要解决什么问题，留给学生充分的时 间，让
学生思考解决问题的方法，而不是直接让学生进行列举。
2．从不同角度思考列举的方法。通过小精灵的提示，体会列举
方法解决问题的有效性。 在学生列举时，教师注意从两个角度引导：如果只用2吨的车，
正好运几次？或如果只用3吨的车， 要运几次完成任务？当学生列
出表格后，可能有遗漏或重复，此时，教师可以提出以下问题“图表
给人看时，怎样才能更容易发现其中的规律呢？”最终帮助学生得出
有序性结果，掌握一一列举解决问 题的方法。
小学数学三年级上册第四单元“万以内的加法和减法（二）”教材
介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容
1．三位数加、减三位数，加减法的验算。
2．解决问题。
二、教学目标
1．使学生能正确计算三位数加、减三位数。
2．使学生理解验算的意义，会对加法和减法进行验算，初步养
成检查和验算的习惯。
3．让学生经历计算法则的形成过程，在与他人交流各自算法的
过程中优化自己的算法。
4．使学生能结合实际情境选择计算策略，解决相关的实际问
题，培养估算意识和能力。

三、编排特点
1．结合解决实际问题教学计算
《义务教 育数学课程标准（2011版）》提出：让学生在生动具
体的情境中学习数学，将应用问题与计算有机结 合。本单元的例题
编排按照整套教材计算教学的编排思路，一是通过具体的生活问题
或生活情境 引出计算问题的方式，将笔算加、减法放在解决实际问
题的现实背景中。例如，加法中安排了我国动物种 类的问题，减法
中安排了近几年国产电视动画片生产情况的问题等。二是在学生掌
握计算方法以 后，出现现实的问题情境，应用计算知识解决。例
如，购物问题，走哪条路最近的问题等。这样编排不仅 让学生经历
了笔算知识的形成过程，也让学生经历了应用笔算知识解决问题的
过程。一方面有助 于学生理解计算的意义，主动建构数学知识，形
成运算能力；另一方面有助于培养学生解决问题的能力和 应用意
识。
2．让学生经历计算法则的获得过程，渗透数学思想
学生已经学习了百 以内加、减法，初步理解了笔算加、减法的基
本方法。如，数位要对齐，计算的顺序，满十（不够）要向 前进
（借）一等。因此，本单元在编排时，尊重学生已有的知识基础，
注重让学生自主探索，通 过与两位数加、减法类比，推出三位数
加、减法的计算方法。在一过程中，渗透了类比的数学思想方法和
学习方法。在此基础上，让学生在大量计算具体的三位数加、减法
题目的实际操作经验的基础上 ，理解算理，通过讨论交流，逐步抽
象概括出笔算加、减法计算法则，完善认知结构。由于学生的认识< br>水平所限，为机械记忆，教材没有出现计算法则的结语，而是通过
学生讨论提供探索法则的线索， 为学生经历法则的形成过程提供空
间。
3．将“验算”分散编排
改变原实验教材集 中教学加减法“验算”的编排方式，将加减法的
验算安排在教学完某一计算后紧接着教学，即分散出现。 万以内加
减法的算理并不困难，但计算比较复杂，涉及连续进位和连续退位
的问题，要使计算达 到比较熟练、准确，难度比较大，需要一定的
练习时间。这样安排的好处是，可以利用验算的教学及时巩 固学生
刚刚学习的笔算，也有利于学生体会验算的作用。
4．突出根据实际需要灵活选择解决问题的策略
修订教材将估算内容从计算中移出来，改为解 决问题教学的内容
之一。将估算作为解决问题的策略进行教学，体现了估算的最主要

的作用，让学生更好地体会到估算的必要性。同时，十分重视培养
学生灵活选择解决问题 策略的意识和能力。例如，在例4中，突出
根据不同的需要选择不同的策略。解决“收银员应收多少钱” 的问题
需要用精确计算解决；解决“爸爸应准备多少钱”的问题用估算就可
以解决。
四、具体编排
（一）加法
1．主题图
（1）主题图借助中国湿地部分动 物种类的情况，为学习计算提
供现实背景，同时渗透环境和动物保护的教育。
（2）首先呈现 了四张湿地动物的图片，引发学生对湿地和湿地
动物的关注。接着呈现了中国湿地三种类群的动物种类统 计表，为
后面计算教学提供数据支持。
2．例1（三位数加三位数，不进位）
（1 ）通过“想一想”强调竖式的书写格式“相同数位对齐”，其中
蕴含的算理是相同计数单位的个数相加。
（2）通过小精灵提问“从哪一位加起？”提示要注意计算的顺
序。
3．例2（三位数加三位数，一次进位）
（1）271+31是十位上相加满十向百位进1； 271+903，是百位上
相加满十向千位进1。
（2）通过小精灵和学生的提问“怎样写” “怎么办”，强调对算理
的理解。相同计数单位的个数相加超过了9，在这一级计数单位无
法表 示，需要高一级计数单位的个数相应增加。
（3）以小组讨论的方式梳理笔算三位数加法的法则。目的 是让
学生经历计算方法的形成过程，明确笔算加法需要遵循的一般步骤
和要点。注意：在积累计 算经验的基础上，明确算理，归纳总结计
算方法。
4．例3（三位数加三位数，连续进位）
（1）例3，在学生已经掌握了一次进位加法的基础上，解决连
续进位的问题，同时教学验算。
（2）通过“求某湿地的野生植物和野生动物的种数”，引出连续
进位加法的实际问题。 （3）体现算法多样化。借助298这一数据的特殊性，呈现两种
算法，一是列竖式计算，另一种是 简算，把298看作300，进行口
算。

（4）通过小精灵提出： 算得对不对呢？揭示验算的必要性。呈
现交换加数的位置再计算一遍进行验算的方法。通过问题“你是怎 样
验算的”，提示可能还有其他验算的方法，如利用原来的竖式，从下
往上加，看得数与计算出 的答案是否相等，进行验算
（5）通过小精灵提示学生要养成及时验算的意识和习惯。教学
中 ，要关注学生计算中出现的错误。重视验算，让学生养成自觉验
算的习惯。
（二）减法
1．主题图
用学生感兴趣的话题从统计表的数据中引出减法计算的教学内
容。与加法 的编排相似，与实验教材相比，在教学连续退位减法前
面增加了不退位减法的例题，减缓了坡度。以起到 复习巩固、承上
启下的作用。
2．例1（三位数减三位数，不退位）
（1）通过小 精灵提问，强调竖式的书写格式“相同数位对齐”，
其中蕴含的算理是相同计数单位的个数相减，可结合 口算方法，让
学生说一说算理。
（2）提问“从哪一位减起？”提示要注意计算的顺序。在二 年级
上册学习“100以内加减法（二）”时，学生已经体会了从个位减起的
必要性。但对于此 题，由于不存在进位，学生从高位减起也是可以
的。
3．例2（三位数减三位数，一次退位）
（1）教材在关键处提出问题“十位怎样算”，启发学生思考，并
有意识地让学生完成重点部分 的计算，引导他们“拾级而上”。
（2）可放手让学生带着问题边想边算，得出正确结果后让学生
说一说这样算的道理。
（3）小组讨论，总结加法计算法则。注意与“两位数减两位数”
的计算法则进行对比，明确除了数位 多少不同以外，方法是一样
的。在积累大量计算经验的基础上，让学生经历计算方法的形成过
程 ，体会数学方法的抽象性和概括性。
4．例3（被减数十位是0的连续退位减）
（1）关键的问题由小精灵提出：“个位不够减，十位上是0，该
怎么退1呢？”
（2）呈现“不完整的竖式”，目的是让学生完成重点部分的计
算，引导学生“拾级而上”。

（3）直接提出“怎样验算”的问题，呈现两种验算的方法：一是
用 被减数减去差，看是不是等于减数；一是用差加减数，看是不是
等于被减数。学生在后续的计算中只要选 择一种进行验算即可。
（三）解决问题
1．例4
（1）例4侧重于解决问题策略 的教学，让学生体会面对不同的
问题可以选择不同的计算策略。如收银员收钱需要精确地计算出结
果，而小红的爸爸要准备多少钱，只要有个大致的估计结果就可以
了。
（2）在“分析与解 答”环节，通过两名学生的讨论，给出了解决
两个问题的思路。教材的用意是提示教师，让学生围绕两个 问题展
开充分的讨论，在讨论的基础上逐步明晰两个问题的异同点，得出
相应的计算策略。需要 注意的是：出现了三个数连加的竖式，如果
数据再大一些，就会出现“满二十向前一位进2”的情况。
（3）“回顾与反思”的落脚点不是仅仅关注做对了没有，而是要
求初步体会到精算和估算各自 适用的问题场景，懂得：解决实际问
题时，要认真分析具体情况，灵活选择解决的策略。
五、教学建议
1．关注前后知识的联系，让学生在迁移类推中自己探索完成计
算任务
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课
教学的知识置于整体知识的 体系中，注重知识的结构和体系，教学
时，要考虑到学生已经有了两位数加减两位数、几百几十加减几百
几十的基础，应让学生利用已学的知识，运用迁移类推能力，通过
同学间的合作、交流、讨论， 自己解决问题。特别是三位数加减三
位数的不进位加、不退位减尽管以例题的方式呈现，但学生完全有< br>能力自主完成。
2．注重实质，在理解算理的基础上构建和表达算法
本单元是整数笔 算加减法的最后阶段，学生对算理和算法的掌握
情况将直接影响学生运算能力的形成，影响小数加、法和 多位数
乘、除法的学习。算理是计算的理论依据，其内涵包括数和运算的
意义、运算的规律和性 质，解决“为什么这样算”的问题。学生对算
理的不理解，会影响到对算法的理解和掌握。教学时，要突 出基本
算理，不仅要使学生掌握笔算的程序和步骤，还要使学生理解程序
和步骤的道理。如果学 生计算有困难的话，教师可借助直观帮助学
生理解算理，掌握算法。例如，在教学第二小节减法的例4“ 中间有

0的连续退位减法”时，可借助计数器的操作过程提示退位的方法，< br>并在竖式上将退位的过程反映出来，帮助学生理解。
在学生经历了计算方法的探索过程后，要给 学生时间对计算方法
进行交流和反思“怎样算”“为什么要这样算”，在交流的过程中完成
对运 算程序和步骤的抽象与概括，将对运算的认识从具体操作层面
提升到思维层面。需要注意的是，对于学生 的语言概括水平要求不
要过高，只要学生能用自己的语言把计算法则概括出来，教师都应
该给予 肯定。教师在表述计算法则时，要使用准确、规范的方式，
为学生学习用数学语言有条理地进行思考和表 达做出示范。
3．重视错题，注意培养验算的习惯
《义务教育数学课程标准（2011）》 强调：基本技能的形成，需
要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械地重复操作，要注重训
练 的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学
生的实际，分层次地落实。连续进位加法 和连续退位减法，虽然算
理不难理解，但学生在学习时还是很容易出错，是加减法教学的难
点。 教学时要关注学生中出现的错误，要设计一些针对性的练习，
并保证一定的训练时间和数量。另外，不仅 教给学生验算的方法，
还要培养良好的习惯。如验算之前先检查加数有没有抄错；算出得
数以后 要检查抄在横式等号后面的得数有没有抄错等。
4．对计算速度不作过高要求
《义务教育数 学课程标准（2011年版）》对“两位数和三位数加
减法笔算”的速度要求是“2～3题分”。需要注 意的是，这是第一学
段结束时学生应达到的要求，教师可根据学生的实际情况确定单元
结束时的 具体要求，注意把握尺度，不要作过高要求。
《万以内的加法和减法（二）》重难点突破
安徽省黄山市歙县新安小学 方 日（初稿）
安徽省黄山市教科院安徽省 高娟娟（修改）
黄山区教研室 齐胜利（统稿）
一、充分利用学生已有的知识和经验，通过迁移类推、自主探
究、合作交流等方式，理解算理，掌握算法，逐步抽象概括出计算
法则，完善认知结构
1．通过创设“我国动物湿地种类”“近几年国产动画片生产情况”
等问题情境，引出计算问题，帮助 学生理解三位数加、减三位数笔
算的意义。
2．通过复习两位数加、减两位数及几百几十加、 减几百几十的
笔算，激活学生已有的计算知识和经验，实现知识的正迁移。

3．在课堂教学中，教师要给予学生充分的时间和空间，通过独
立思考、同伴交流、小组讨论， 让学生在理解算理基础上经历计算
方法的探索过程，在交流的过程中逐步达到对运算法则的抽象与概括，从而实现培养学生归纳能力的教学目标。
4．教学中要加强同一例题中不同问题的对比、例题 与例题间的
对比、新旧知识的对比，让学生体会不进位与进位加法、不退位与
退位减法的相同点 和不同点，进而加深对“相同计数单位”“从个位算
起” “满十进位”“不够减向前一位借1”的理解，完善学生的认知结
构。
二、通过多层次的、多样化的适量练习，巩固计算方法，逐步形
成计算技能，提高运算能力 < br>1．通过专项练习、对比练习、针对练习和改错练习，提高练习
的实效性，巩固计算方法，形成计 算技能。
2．通过适量的基本练习、综合练习、拓展练习，巩固计算方
法，提高计算能力，发 展思维能力。
3．教学中，要让学生经历自主探索验算方法的过程，通过“看谁
作业先连续得 10个100分”的评价方式，帮助学生逐步养成验算的
习惯。
三、通过解决简单的实际问题 ，让学生体会灵活选择计算策略的
必要性，逐步培养学生根据不同的需要选择不同的策略的意识和能力
1．让学生在“购物”“运货”等问题情境中，通过独立思考、讨论
交流，体会到面对 不同的问题可以选择不同的计算策略。如解决“收
银员应收多少钱”的问题需要精确计算解决，而解决“ 爸爸应准备多
少钱”的问题用估算就可以解决。
2．教学时要结合具体的问题情境，让学生学 会合理选择估算方
法。例4的教学中，学生估算的方法可以是多样的，只要“往大估”
能满足购 物需要，都应给予肯定。从而逐步培养学生利用估算策略
解决问题的意识和能力。
小学数学三年级上册第五单元“倍的认识”教材介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容
本册教材的这一单元，是在学生学习了乘法与除法的初步认识的
基础上安排教 学的，主要由两部分内容组成：一是建立倍的概念；
二是解决与倍有关的实际问题。
二、教学目标

1．在分类、观察、比较等活动中，获得“倍”的概 念的直观体
验，结合具体情境理解“几倍”与“几个几”的联系，建立“倍”的概念。
2．能 解决“求一个数是另一个数的几倍”“一个数的几倍是多少”
的实际问题，在解决问题的过程中培养几何 直观，渗透模型思想。
3．培养学生观察、分析、合作交流、语言表达等能力，感受数
学与实际生活的联系。
三、编排特点
1．关注学生已有的知识基础，通过多次感知建立“倍”的概念
修订 后的教材将原来分散在二年级上册和二年级下册的关于“整
数倍”的内容在本单元集中编排，充分利用学 生已有的乘法和除法的
知识，帮助学生建立倍的概念。先利用 “几个几”引出倍的含义后，
再 从除法的角度加深对倍的概念的理解，让学生体会到倍的本质是
两个数量在相互比较，即用其中的一个量 作为标准，另一个量包含
了几个标准量就是标准量的几倍。
“倍”的概念涉及两个量之间的比 较，十分抽象，不易理解。因
此，教材安排多个层次的活动，让学生通过多次感知，在不断比较
和抽象的过程中建立倍的概念。先通过对萝卜的分类计数、圈图比
较，把抽象的新知识“倍”与学生已经 掌握的“几个几”建立联系，初
步认识倍的概念。再通过比较圆片、小棒等活动提供大量的比较两
个量的倍数关系的机会，帮助学生建立倍的直观模型。最后，在解
决问题的过程中借助线段图，表达出 倍概念的本质特征，抽象概括
出基本数量关系，有效帮助学生建立倍的概念。
2．注重方法指导，通过解决问题建构数学模型
与整套教材编排的思路一致，在建立了倍的概 念之后，教材专门
安排让学生运用“倍”的含义解决实际问题，在深化对“倍”概念的理
解的同 时，培养学生应用概念解决问题的能力。
首先，通过解决问题，加深对“倍”的含义的理解。“比较量 ÷标准
量＝倍数”是关于倍的基本数学模型。关于倍的实际问题，主要有三
类：求一个数是另一 个数的几倍（简称“求倍数”）；求一个数的几
倍是多少（简称“求比较量”）；已知一个数的几倍是多 少，求这个
数（简称“求标准量”）。教材先讲“求倍数”，再讲“求比较量”，借助
线段图， 并运用除法和乘法解决问题来加深学生对倍概念的认识。
其次，注重借助图示分析数量关系，介绍线段 图。在二年级下册
介绍“色条图”的基础上，进一步介绍“线段图”。例2和例3，都展现
了借 助图示表示数量关系，探索解决问题思路的方法。例2呈现的

是形象图，例3 呈现的是线段图，但两种图示都展示了倍比关系的
基本结构：两个量比较，比较量里包含几个标准量。
最后，注重展示丰富的问题情境，以便建构数学模型。修订教材
将“求倍数”和“求比较量”的 问题集中安排，并设计了丰富的实际问
题，便于学生在比较和抽象中构建解决此类问题的数学模型。而< br>且，紧扣倍的知识，联系生活实际，设计丰富多样的练习题目。例
如，教材第55页第8题，要求 根据小丽今年的年龄及和爸爸年龄的
倍数关系算出去年两个人年龄的倍数关系；第55页第9题，在保证
倍数关系不变的前提下，根据要求增加或减少某一个量的数量等。
在掌握倍的概念及解决此类问 题的基本模型和方法之后，培养学生
灵活应用所学知识解决问题的能力。
3．注重几何直观，帮助学生理解数学
《标准（2011）》中把“几何直观”作为核心概念 提出，并明确其
内涵“主要是指利用图形描述和分析问题”。借助几何直观可以把复
杂的数学问 题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测
结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在 整个数学学习过
程中都发挥重要作用。本套教材在编写中十分注重让学生感受几何
直观的价值， 并有目的有计划地教给学生利用图形描述和分析数学
问题的方法。例如，呈现实物及示意图、线段图等多 种直观形式；
对分析数量关系十分重要的线段图的教学则按实物图——色条图—
—线段图的层次 不断递进。本单元在编排过程中十分注重几何直观
的作用，通过多种直观形式帮助学生直观地理解数学， 并为学生提
供参与几何直观活动的机会，积累用图示学习数学的经验。一方
面，在倍的概念的建 立过程中，注重将所比较的事物的数量关系直
观化。例如，每两根为一组把萝卜圈出来、每3个一组出示 圆片等
方式，直观形象地展示出了两个数量之间的倍比关系，将学生的关
注点引导到“比较量里 包含几个标准量”，帮助学生建立“倍”的模
型。另一方面，在解决问题的教学中，注重借助图示分析数 量关
系。在帮助学生理解基本数量关系的同时，感受几何直观的作用，
培养借助图形去思考的意 识和能力。
四、具体编排
1．例1（倍的含义）
（1）教材提供了一个“小兔吃萝卜”的童话情境，以激发学生学
习的兴趣。

（2）通过比较胡萝卜（2根）和红萝卜（6根）的数量，根据3
个 2根的关系，引出“一个数的几倍”的含义。这里把红萝卜每2根
圈起来，清楚地体现了两种萝卜数量之 间的关系。
（3）通过“圈一圈”，让学生在动手操作中比较白萝卜与胡萝卜
数量之间的关系 ，由旧知识“几个几”转化为新知识“倍”的含义。
2．例2（“求一个数是另一个数的几倍”的问题）
（1）为学生运用倍的知识、加深对倍概念的理解创造机会。
（2）“分析与解答”环节，提 供“画示意图”“列除法算式”解答两种
方法，体现解决问题方法的多样化。使学生明确解决“求一个数 是另
一个数的几倍”可以用除法，同时意识到画图策略是帮助弄清题意、
解决问题的重要手段。
（3）“回顾与反思”环节，把所求结果当作已知条件进行检验，
对检验方法进行指导，同时培 养学生形成检验的良好学习习惯。
3．例3（“求一个数的几倍是多少”的问题）
（1）“ 分析与解答”环节，让学生学习画线段图表示数量关系，
理解题意的方法，使学生明确解决“求一个数的 几倍是多少”的问题
用乘法计算。
（2）“回顾与反思”环节，通过呈现学生主动思考解答结 果是否
正确的情况，培养学生反思的习惯。
五、教学建议
1．重视意义理解，多角度、循序渐进建立倍的概念
倍是一个比较抽象的概念，学生建立和理 解倍的概念，需要一个
反复、持续的过程。教学时要注意在让学生在充分的活动中逐步加
深对倍 的认识，理解倍的本质。
一方面，注意循序渐进认识倍的概念。先让学生在“几个几”的基
础 上来初步认识“一个数的几倍”的含义，再结合除法从比较关系的
角度对倍的概念进行再认识。可以让学 生思考：求红萝卜的个数（6
个）是胡萝卜的（2个）几倍，就是以胡萝卜为标准量，看红萝卜
里包几份白萝卜，包含了3份，所以红萝卜的个数是胡萝卜的3
倍。在教学例2时，注意让学生充分经历 用语言描述问题、画图表
征数量关系、列除法算式解决问题的过程，加深学生对倍概念的认
识。
另一方面，注意在“变化”中加深对倍的认识。对于“比较量÷标准
量=倍数”这一数学模型， 可以设计以下两种变化：一是标准量不
变，比较量变化，倍数变化（“比较量”与“倍数”成正比例关系 ）；
二是比较量不变，标准量变化，倍数也变化（“标准量”与“倍数”成

< br>反比例关系）。教学中可充分利用资源，通过设计连续的情境，不
断改变“比较量”和“标准量” 的数量，（详见“例1的教学建议”）让学
生在有趣的“变化”中进一步认识倍，感受在比较倍数关系时 标准的
重要性，要明确标准量、比较量，再找出倍数关系，同时渗透正、
反比例的思想。例如， 在例1教学后，设计动画情境，改变各种萝
卜的根数。如，小兔子吃掉了1根红萝卜（5根），比较白萝 卜和
红萝卜的根数；又吃掉了1根红萝卜（4根），比较胡萝卜和红萝
卜的根数等。在“做一做 ”第1题教学后，可引导学生比较蓝色圆片
和黄色圆片的数量；或改变某一种圆片的数量让学生比较。
2．重视多元表征及其之间的转化，建立倍的模型
“表征”是指用某种形式表达数学概念或关 系的行为，也指形式本
身。学生借助各种表征来形成新的理解并表达数学观念，在不同的
数学表 征之间建立联系有助于加深学生对数学的理解。首先，可增
加“连续量”的比较，丰富学生的图形表征。 例如，涂出给定纸条的
长度4倍等。

在丰富学生对倍概念的图形表征的同时，为后面画线段图来表示
倍数关系作铺垫。
其 次，在教学用“倍”的知识解决问题时，注意让学生充分经历用
语言描述问题、画图表征数量关系、列除 法算式解决问题的过程，
并引导学生说一说其中的联系，引导学生在语言表征、图形表征
（实物 操作、画示意图等）、算式表征等多种表征之间进行转化，
建立“倍”的模型。（详见“例2的教学建议 （2）”。）
3．重视方法指导，培养几何直观
借助图形直观地把握数学对象，进行数学思 考，首先需要把研究
“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化成为“图形之间
的关系”，这样就把研究的问题为“图形的数量或位置关系”的问题，
进而进行思考分析，这一系列的转 化显然不是天然而成的。因此，
画图的方法需要教师精心指导。有些学生还没有学会只保留研究对
象量的属性来画图，可能画直观的实物图来表示数量关系。线段图
虽然是用几何线段直观表示出数量关 系，但对第一次接触的学生来
说却是抽象的，不是学生可以一蹴而就的。在教学中，可以画形象
的实物图，也可以画抽象的线段图，并让学生慢慢过渡到画线段
图。首先要让学生学会如何用图来描述题 意，更重要的是要引导学

生关注如何表达不同数学对象间的关系。对于画线段 图的方法需要
加强指导，而且要注意把握好教学要求。
《倍的认识》重难点突破
安徽省黄山市屯溪现代实验学校 唐浩瑛
一、理解一个数是另一个数几倍的含义，初步建立倍的概念
突破建议：
1．通过旧 知迁移类推学习新知识，从加法结构到乘法结构过
渡，循序渐进认识倍的概念。复习旧知，唤醒学生已有 的知识经
验，先通过对萝卜的分类计数、圈图比较，把抽象的新知识“倍”与
学生已经掌握的“ 几个几”建立联系，建立“倍”的概念。再结合除法
从比较关系的角度对倍的概念进行再认识。在这个过 程中，通过2
根胡萝卜（标准量），6根红萝卜、10根白萝卜具体实物，可以让
学生思考：求 红萝卜的个数（6个）是胡萝卜的（2个）几倍，就是
以胡萝卜为标准量，看红萝卜里包几份白萝卜，包 含了3份，所以
红萝卜的个数是胡萝卜的3倍。倍是一个比较抽象的概念，学生建
立和理解倍的 概念，需要一个反复、持续的过程。教学时要注意在
让学生在充分的活动中逐步加深对倍的认识，理解倍 的本质。
2．建构倍的直观模型，理解倍的本质。在课堂教学中，通过比
较圆片、小棒等活动 提供大量的比较两个量的倍数关系的机会，帮
助学生建立倍的直观模型。在倍的概念的建立过程中，注重 将所比
较的事物的数量关系直观化，让学生体会“几个几”就是“几”的多少
倍的表象。例如， 每两根为一组把萝卜圈出来、每3个一组出示圆
片等方式，直观形象地展示出了两个数量之间的倍比关系 ，将学生
的关注点引导到“比较量里包含几个标准量”，帮助学生建立“倍”的
模型。
在变化、比较、抽象中把握理解“倍”的概念。注意在“变化”中加
深对倍的认识。对于“比较量÷标 准量=倍数”这一数学模型，可以设
计以下两种变化：一是标准量不变，比较量变化，倍数变化（“比较
量”与“倍数”成正比例关系）；二是比较量不变，标准量变化，倍数
也变化（“标准量”与“ 倍数”成反比例关系）。教学中可充分利用资
源，通过设计连续的情境，不断改变“比较量”和“标准量 ”的数量，
让学生在有趣的“变化”中进一步认识倍，感受在比较倍数关系时标
准的重要性，要 明确标准量、比较量，再找出倍数关系，同时渗透
正、反比例的思想。例如，在例1教学后，设计动画情 境，改变各
种萝卜的根数。如，小兔子吃掉了1根红萝卜（5根），比较白萝
卜和红萝卜的根数 ；又吃掉了1根红萝卜（4根），比较胡萝卜和

红萝卜的根数等。在“做一做 ”第1题教学后，可引导学生比较蓝色
圆片和黄色圆片的数量；或改变某一种圆片的数量让学生比较。
二、使学生掌握求“一个数是另一个数的几倍”“一个数的几倍是
多少”这类问题方法，并能在 具体情境中选择正确解决方法，培养学
生解决问题方法多样化，提高思维的灵活性。在解决问题的过程中
培养几何直观，渗透模型思想
突破建议：
1．注重对学生审题意识的培养，引导学生分析倍数关系。 联系
生活实际，在具体的情境图中 帮助学生理解题意，紧扣倍的知识，
便于学生在比较和抽象中构建解决此类问题的数学模型。例如，教< br>材第55页第8题，要求根据小丽今年的年龄及和爸爸年龄的倍数关
系算出去年两个人年龄的倍数 关系；第55页第9题，在保证倍数关
系不变的前提下，根据要求增加或减少某一个量的数量等。在掌握
倍的概念及解决此类问题的基本模型和方法之后，培养学生灵活应
用所学知识解决问题的能力。
2．指导学生画图表示数量关系，注重几何直观，帮助学生理解
数学，建立数学模型。
教学中，学生借助各种表征来形成新的理解并表达数学观念，在
不同的数学表征之间建立联系有助于加 深学生对数学的理解。教学
用“倍”的知识解决问题时，注意让学生充分经历用语言描述问题、
画图表征数量关系、列除法算式解决问题的过程，并引导学生说一
说其中的联系，引导学生在语言表征、 图形表征（实物操作、画示
意图等）、算式表征等多种表征之间进行转化，建立“倍”的模型。
借助图形直观地把握数学对象，进行数学思考。把研究“对象”抽象
成为“图形”，再把“对象之间的关 系”转化成为“图形之间的关系”，这
样就把研究的问题为“图形的数量或位置关系”的问题，进而进行 思
考分析。
3．在具体问题中情境中，让学生根据有效信息，提出问题、分
析问题和 解决问题，提高学生的“四能”，同时把所掌握的知识应用
其中，在汇报分享中体会到解决问题的多样化 ，培养学生表达能
力，逻辑思考能力，也体现了学生主动思考并掌握解决问题的基本
思路和过程 。展示丰富的分析问题的过程与方法，经累了数学活动
经验，以利于学生对倍的概念理解并熟练运用，建 构数学模型。
小学数学三年级上册第六单元“多位数乘一位数”教材介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容

1．口算乘法
（1）整十、整百、整千数乘一位数
（2）两位数乘一位数（不进位）
2．笔算乘法
（1）不进位的两、三位数乘一位数
（2）一次进位的两、三位数乘一位数
（3）连续进位的两、三位数乘一位数
（4）有关0的乘法
（5）因数中间或末尾有0的多位数乘一位数
3．解决问题
（1）用乘法估算解决问题，让学生体会不同的解题策略。
（2）用乘、除法两步计算解决问题
例8和例9是解决归一和归总的实际问题，同时教学画示意图和
画线段图的解题策略。
二、教学目标
1．使学生能够比较熟练地口算整十、整百、整千数乘一位数，
两位数乘一位数（不进位）。
2．使学生经历多位数乘一位数的计算过程,明白竖式中每一步计
算的含义，掌握多位数乘一位 数的计算方法。
3．使学生能够结合具体情境，选取恰当的策略进行乘法估算，
并说明估算的思路。
4．使学生能够运用所学的知识解决日常生活中的简单问题，提
高解决问题的能力。
三、编排特点
1．计算教学的情境化原则
计算本身是枯燥乏味的，机械的训练更使 学生厌烦，这是学生对
数学失去兴趣的一个重要原因。因此，本单元教材每一个例题的呈
现，都 安排了一个具体的情境；每一个计算知识的学习都是在对情
境中数学信息的分析基础上进行的。这样可让 学生理解计算是解决
问题的方法，产生计算的需要，从而形成学习的内部动机。
2．算理理解的直观性原则
在教学计算时，注重通过直观操作帮助学生理解算理。这一个单< br>元的计算教学中，教材出现了三次小棒操作图。第一、二次出现在
整十、整百数乘一位数的口算和 两位数乘一位数（不进位）的口
算，力图通过小棒的操作让学生理解算理，掌握正确的计算方法。

第二次出现在笔算乘法的两位数乘一位数（一次进位），安排小棒
操作图的 目的是直观呈现“满几十向前一位进几”的算理。
3．算法抽象的科学性原则
科学性原则体 现在两个方面。一方面，重视对计算方法的总结和
概括，虽然教材没出给出完整的计算法则的文本，但是 要求学生在
亲身体验和讨论交流的基础上，记录讨论的结果，突出计算的基本
步骤和要点，引导 学生在理解的基础上对计算法则进行归纳和总
结。另一方面，教材重视学生已有的知识基础，许多计算内 容让学
生运用迁移类推来学习。学生通过操作理解了两位数乘一位数的算
理后，三位数乘一位数 连续进位和因数中间和末尾有0的三位数乘
一位数的乘法笔算，都让学生借助前面笔算乘法学习中积累的 数学
活动经验（如竖式的写法，满十要向前进位等），进行自主学习。
不仅节省了教学时间，提 高了教学的效率，同时还培养了学生的学
习能力。
4．“解决问题”编排的系统性原则 本次教材修订一个突出的亮点是，对“解决问题”进行系统编排，
通过提供教学思路、清晰的线索， 提供丰富的解决问题的方法，体
现解决问题策略的多样性等，培养学生的“四能”。本单元教材中所安排的3个例题各有侧重，例7重在教学分析推理的策略，用“阅读
与理解”—“分析与解答”—“ 回顾与反思”提示解决问题的基本步骤，
例8教学借助图示分析问题，例9教学用画线段图的方式分析数 量
关系，使学生获得解决问题的经验，逐步掌握解决问题的策略。
四、具体编排
（一）口算乘法
1．主题图
（1）主题图展现了游乐园的情境，旨在从学生熟悉和 感兴趣的
生活情境中引出多位数乘一位数的乘法，激发学生的学习兴趣，为
本单元的计算教学提 供现实背景。
（2）主题图中提供了5个游乐项目的价格表，为口算乘法和解
决问题的教学提 供了数据支持。并通过小精灵的话提示，让学生通
过对主题图的多角度观察，提出用乘法解决的数学问题 。
（3）主题图中蕴含了丰富的信息，目的是让学生从大量的信息
中提取有用的数学信息，根 据数学信息提出用乘法解决的数学问
题，培养学生发现问题、分析问题和提出问题的能力。
2．例1（整十、整百数乘一位数的口算乘法）

（1）在解决如何 计算20×3的过程中，教材呈现了用加法和用
乘法计算的两种方法，体现算法多样化。
（2 ）借助小棒图，帮助学生直观理解算理：3个20是60。通过
对2个十乘3得6个十的思考，引导学生 将整十数乘一位数转化成
表内乘法，帮助学生逐步掌握想“二三得六”，算20×3=60的计算方法。
（3）出示200×3，让学生借助类推自己完成整百数乘一位数的
口算。
3．例2（两位数乘一位数（不进位）口算）
（1）例2是修订后教材增加的内容。教学这一 内容不仅是提高
学生口算能力的要求，同时也是学习笔算乘法的基础。
（2）呈现小棒图，提 示通过操作小棒理解算理，探索出计算的
方法（学生说出口算步骤）的教学过程。
（3）“想 一想”，进一步巩固口算的方法：把两位数分成整十数
和一位数，分别乘一位数后再相加。
（二）笔算乘法
1．例1（两位数乘一位数，不进位，重点是教学竖式）
（1）先 通过解决实际问题，引出计算需要12×3。在计算中，体
现算法多样化，呈现了连加、口算和列乘法竖 式计算等多种方法，
但重点教学笔算方法。
（2）在中间的虚方框中给出了笔算的整个过程， 并对每一步计
算中各个数的含义进行了说明，使学生明确算理，了解笔算乘法的
完整步骤。右边 给出了简写的乘法竖式写法，让学生知道在掌握笔
算乘法的步骤以后，可以采用这种简明的书写形式。
2．例2（两位数乘一位数，一次进位）
（1）通过解决实际问题，引出需要计算12×3。
（2）通过小棒图，帮助学生理解“满十进一”的道理，在中间的
虚方框中给出笔算的整个过程 ，并给出了第一步计算结果的含义，
第二步计算结果的含义留给学生自己填写，使学生明确算理，了解< br>笔算乘法的完整步骤。
（3）将竖式进行简化，给出简洁的书写格式。体现出追求简
洁、合理的数学思想。
（4）“做一做”中安排了三位数乘一位数需“满十进一”或“满几十
进几”的两种情况，让学生自己试 算，主动获取新知，有助于发展学
生的学习能力和思维能力。
3．例3（两位数乘一位数，两次连续进位）

（1）连续进位的笔 算乘法的算理和算法与例2一样，但计算比
较复杂学生容易犯错。因此，专门安排了例题，为学生提供更 多的
练习机会。
（2）呈现了先估算出积的范围再精确计算的过程，并提供了两
种估 算的方法。一种是将一个乘数9估成10，得出积应该比240
小；另一种是将一个乘数24分别估成2 0和30，估出积的范围，应
该在180和270之间。以此说明，用估算可以粗略判断计算结果是否正确。然后，让学生利用前面的知识迁移类推，自主解决如何计
算连续进位的乘法。
（ 3）让学生在具体计算经验的基础上，通过讨论交流，逐步归
纳出“多位数乘一位数”的计算法则。 < br>（4）增加说明“在乘法里，乘数也叫作因数。”为第二学段教学
“乘、除法的意义和各部分间的 关系”作准备。
4．例4（有关0的乘法）
（1）通过解决小精灵提出的问题，以乘法的意 义为基础，给出
7个0连加的算式和相应的乘法算式，并通过7个空盘子，让学生
直观感知到一 个桃子都没有的客观事实。
（2）呈现一些0作因数的算式，让学生根据乘法的意义计算出
结 果，并从中归纳出“0和任何数相乘都得0”的结论。
5．例5（因数中间有0的乘法）
（ 1）改变实验教材呈现多样化算法（口算）的编排方式，突出
在精确计算前用口算估出积的范围，为粗略 的判断精算结果是否正
确提供方法，也体现了解决问题策略的多样性。
（2）让学生运用类推 的方法思考当因数中间有0时如何计算。
虽然0的乘法很特殊，但计算方法与前面学习的多位数乘一位数 相
同。通过“想：十位上写几”提示计算中需要注意的问题。需要注意
的是：不管因数中间是否 有0，都要用这个一位数去乘多位数每一
个数位上的数，即使十位上是0也要乘。当个位积不满十时（如
601×8），十位上要用0占位。
（3）右面的学生说“原来有这么多座位呀”，体现对数感的培
养。
6．例6（因数末尾有0的乘法）
（1）渗透单价、数量和总价的数量关系。
（2 ）提供了两种用竖式计算时的不同写法，通过小精灵的提
问，引导学生思考哪种写法更简便一些。
（三）解决问题

1．例7（用估算解决问题）
（1）例 7，让学生理解估算的价值，掌握用估算解决问题的基
本策略（往大估、往小估），并能根据具体情境灵 活应用。
（2）提出问题后，教材给出了精确计算和估算两种解决问题的
策略，让学生了解有 些问题用估算就可以解决，体会估算的价值。
（3）在“分析与解答”环节，结合具体的情境，让学生 理解如何
用不等式的性质通过估算解决问题。在这里采用往大估的策略，即
把29看作30，3 0×8=240，29×8〈240〈250，所以250元肯定够。
并且在这里第一次出现“≈”。
（4）“想一想”延续了例7的情境，进一步让学生体会不同的估
算策略。第一问让学生体会往 小估都不够，就一定不够。即把92看
作90，90×8=720，92×8〉720〉700，所以7 00元不够。第二问让
学生再次体会往大估的策略。
2．例8（用乘除两步计算解决含有“归 一”数量关系的实际问题；
同时教学利用画示意图分析数量关系的解题策略）
（1）在“阅读 与理解”环节，借助画示意图的方法直观呈现实际
问题中包含的数学信息，体现数形结合分析数量关系的 方法。
（2）在“分析与解答”环节，通过小精灵和学生的问答提示思考
的步骤，分析出数量 关系，进而解决问题。即3个碗18元，用除法
能求出1个碗的价钱；要买8个这样的碗，就是求8个这 样的价钱
数相加的和，可以用乘法算出。教材呈现了分步计算和列综合算式
两种方法，体现学生 不同的水平。
（3）在“回顾与反思”环节，教村呈现将计算结果带回到原情境
中，用逆推的 方法看结果是否与条件相符的检验方法。
（4）“想一想”的问题是例题的变式问题。也是先求出1个 碗的
价钱（单位数量），但第二步与例题不同，要求30元里包含几个这
样的单位。这样的安排 便于学生更好地理解解决这类问题的关键是
要先求出单价（单位数量）。
3．例9（用乘除两 步计算解决含有“归总”数量关系的实际问题，
同时利用画线段图分析数量关系的解题策略。）
（1）例9沿用了例8的情境，编排的思路与例8大体相同。不
同的是，画图的方法由示意图改为更为 抽象的线段图，为今后借助
线段图分析更复杂的数量关系打下基础。总价相等这一数量关系用
直 观示意图（用离散的图形画出）无法呈现，而且当数据很大的时
候画起来也很麻烦了。线段图通过用上下 两条长度相等的线段并平

均分成相应的份数，既能很好地表明总量一定的数量 关系，同时还
能体现每一步中单价与数量的关系。
（2）例9和“做一做”的数学模型是相同 的，都是“归总”问题。
解决这类问题的关键是都要先求出总量。
（3）通过例8和例9的教 学，渗透正、反比例思想。归一问题
是数量间成正比例关系的问题，即“单位数量”一定的情境下，“总
量”和“数量”成正比例；归总问题是数量间成反比例的
五、教学建议
1．创造性地使用教材，更好地帮助学生理解算理，掌握算法
本单元的计算教学切忌上成纯计 算方法探讨课或训练课，教师应
创设与学生生活背景、知识基础密切相关的情境，引导学生在现实
情境中学习数学知识。教学中，教师可以充分利用教科书提供的素
材，也可收集一些有趣味、有新意的 素材，激发学生的学习欲望，
借助直观帮助学生更好地理解算理。例如，教学两位数乘一位数
（ 不进位）的口算和笔算乘法时，可以调整教材的情境图，帮助学
生更好地理解算理。如用鸡蛋图的情境（ 12个鸡蛋为一堆，其中有
一板是10个，旁边还有2个），所呈现的数学信息是：一堆鸡蛋有
12个，问3堆这样的鸡蛋一共有多少个？通过现实情境图引导学生
运用拆数的方法理解算理，掌握每一 步的含义，加深学生对口算和
笔算乘法方法的理解。当然，情境图还可以是桃子图，笔盒图等，
但都要满足一个十和几个一为一份的条件，方便学生看图想到拆数
计算。
2．重视原有知识对新知识学习的推动作用
本单元的计算教学多是在学生原有的知识基础上进 行的，因此，
教学中教师应帮助学生找准新旧知识间的联系，多采用对比的方式
促进知识的迁移 和类推。例如，启发思考怎样用两位数乘一位数的
计算方法推出三位数乘一位数的方法；从只需一次进位 的笔算乘法
和需要连续进位的笔算乘法中找到相同点和不同点等。这样用原有
知识推动新知识的 学习，不仅可以取得事半功倍的教学效果，还能
调动学生的学习积极性，让他们学会如何探究，形成迁移 和类推的
思想和方法。
3．重视估算的教学，体会估算的价值和意义，进一步提高学生
的计算能力
乘法估算 在日常生活中有广泛的应用，并且还可以用来检验乘法
计算的结果，同时估算意识的形成也有利于数感的 培养。因此估算
教学不能走过场。学好估算的方法并不难，关键在于培养估算的意

识和习惯，这要靠教师持之以恒经常给学生创设估算的情境和提供
估算的机会。除了让学生 学习如何用估算解决问题，形成合理选择
估算策略的意识外，在计算教学中也要重视让学生养成运用估算 检
验计算结果的习惯。例如，在教学精确计算之前，让学生先估一估
计算结果的范围；在精确计 算之后与估算结果对比，判断计算是否
正确等。长此以往，培养学生用估算来检验精确计算结果的习惯，
体会估算的价值。
4．要重视基础知识的教学，保证一定的训练量
在本单元的教学 中，教师不仅要注意学生计算的准确性，同时还
应注意计算的速度。这部分计算内容是以后学习多位数乘 除法的基
础，如果基础没打好，后面的学习就会出问题。虽然现在提倡复杂
的计算可以用计算器 进行计算，但必要的训练还是需要。《标准
（2011）》对本单元内容的计算速度是有基本要求的。“ 一位数乘两
位数口算”的速度要求是“3－4题分”；“一位数乘两、三位数笔算”
的速度要求 是“1－2题分”。需要注意的是，这是第一学段结束时学
生应达到的要求，教师可根据学生的实际情况 确定单元结束时的具
体要求，注意把握尺度，不要作过高要求。
5．注重数学思想和方法的渗透
数学教学不仅要关注学生基础知识和基本技能，获得数学的基 本
思想和方法也应成为学生学习数学的重要目标。本单元教材虽是传
统的计算教学内容，但这部 分教学同样需要抽象、推理、模型等数
学思想方法。教师要认真阅读教材和教学用书，在教学中适时渗透
数学思想，让学生学会一些具体的数学方法。例如，在理解算理、
解决问题的教学中让学生学会 如何借助图形理解算理、分析数量关
系，体会数形结合的思想；在研究笔算乘法计算方法的过程中，学< br>会归纳、抽象出计算法则，理解法则的广泛适用性，体会数学模型
思想。
《多位数乘一位数》 重难点突破
安徽省黄山市黄山区甘棠中心学校 吕彩虹（初稿）
安徽省黄山市教科院 高娟娟（修改）
安徽省黄山市黄山区教研室 齐胜利（统稿）
一、口算乘法（重点）
突破建议：
1．利用具体情境帮助学生理解乘法的意义，让 学生在具体的情
境中体验计算的必要性，实效性。如：一个文具盒20元，3个文具
盒多少钱？

2．借助小棒帮助学生理解算理。小学生对计算算理的理解往往
需要 借助一些的具象物作为辅助才行，因而，用小棒来演示计算算
理的过程，不仅直观、可视化，而且可以沟 通学生前后知识间的联
系。如：2个十乘3是6个十，就是60。
3．利用知识的迁移学习整 百、整千数乘一位数。计算教学往往
更加注重知识之间的内在与外在的迁移作用，通过迁移类推，不仅< br>从形式上降低学生理解新知识的难度，更在思维上降低了学习新知
的难度。如：
20×3=60
200×3= （2个百乘3是6个百，就是600。）
2000×3= （2个千乘3是6个千，就是6000。）
4．借助小棒口算两位数乘一位数（不进位），小棒的直观 、可
视化，不仅能清晰地展现两位数乘一位数口算的计算过程，而且还
可以让学生从中领悟到笔 算算理的发展过程。
二、笔算乘法（重点）
突破建议：
1．说说乘的数序及每步 所表示的意义。让学生说乘的具体过
程，也是让学生思维整理的过程，学生通过说，把具象的计算形式，逐步内化为抽象的算理思维，从而为他们形成算法奠定基础。
如：

解析： 第二个乘数4分别和第一个乘数的每一位相乘，从个位乘
起。4乘2个一得8个一，8写在个位；4乘1 个十得4个十，4写
在十位；4乘5个百得20个百，20个百是2000，2写在千位，百位
用0占位。
2．让学生在辨析的过程中整理思维。当学生新知初步掌握后，
为了帮助他们能更 加清醒地理解算理，掌握算理，安排一些辨析类
的习题能更好地引导学生发现计算过程中可能出现的问题 ，进而进
一步优化他们初步掌握的算理与算法。如：

（个位满十，没有向十位进
一。）

（个位满的2个十与十位的12个十没有相加，而是占了两个数
位，这样就多出一个数位了。）

（第二个因数6和2个百相乘，得到的是12个百，12个百是
1200，因此“1 ”要写在千位，“2”要写在百位，题目却都往右移了一
个数位。）
3．综合性的练习设置是 为了帮助学生更好地梳理算法，形成相
对稳定的三位数乘一位数乘法的基本方法，有利于真正促进他们计
算能力的提升。如：
362×4= （三位数乘一位数的一般形式）
302×4= （中间有0的乘法，需要注意0也要与4相乘得0，
在十位占位。）
408×6= （中间虽有0，但个位满了4个十，因此十位上应该
是4。）
250×3= （末尾有0的乘法，可以用简便算法，0先不看，用
25乘3得75，再在7 5的后面添上一个0。因为25个十乘3是75
个十，所以是750。）
三、估算乘法（重点）
突破建议：
让学生明白估算一般是将因数估成离它较近的整 十、整百数，做
到既容易计算，又能离精确值较近。同时估算也不是一成不变的，
它需要根据具 体的情境选择合适的估算方法，做到灵活运用。
1．纯估算的练习。目的是帮助学生初步掌握估算的一些基本方
式、方法。
298×6≈（只需估298≈300，因为6离整十数太远。）

410×11≈（只需估11≈10，因为两个都往小里估，离精确值就更
远了。）
532×9≈（两个因数都需估：530≈500,9≈10，因为一个往小估，
是整百数，一 个往大估是整十数，既方便计算，离精确值又近。）
2．现实生活中估算解决问题。通过与现实生活中 问题的结合，
让学生发现，现实生活中的估算需要根据具体的情境采用合适的方
式、方法才行， 让学生理解数学在生活具体运用中注意的地方。
（1）动物园门票7元一张，63名同学去参观，带400元够吗？
带500元呢？
7×63≈420（元）
分析：把63往小估成60，结果是420元，420>400，实 际用的
钱数肯定比420元多，所以不够。
7×63≈490（元）
分析：把63 往大估成70，结果是490元，490<500，实际用的
钱数肯定比490元少，所以够了。
四、解决“归一”和“归总”问题（重点、难点）
突破建议：
1．借助几何直观， 帮助学生建立“归一、归总”问题的数学模
型。单纯的数量关系的理解对学生来说难度较大，为了帮助学 生更
好的理解归一、归总问题中的数量关系，教学中我们需要借助图示
语言，特别是线段图来实 施教学，让学生在几何直观中直观地感受
到数量之间的内在关系，从而帮助他们建立起清晰的问题解决模
型。
如：学校买4个皮球花了24元。（画图呈现信息和问题）
（1）如果买9个这样的皮球，需要多少钱？

（2）42元可以买多少个这样的皮球呢？
提问：解决这两个问题的第一步都是求什么？（求一个皮球的价
格，即单价。）
2． 强化线段图在理解“归一、归总”问题中的导向作用。教学中
要引导学生发现线段图不仅能够有效帮助他 们理清数量关系，更能
帮助他们从中直观地发现“归一、归总”问题的本质所在。
如：小红的钱买2元一本的本子，正好可以买9本。（画图呈现
信息和问题）
（1）如果这些钱买3元一本的本子，可以买几本？


（2）如果这些钱买6本本子，可以买几元一本的？
提问：解决这两个问题的第一步都是求什么？（求小红的钱的总
数，即总价。）
（3）解决这些问题，可以用什么方式呈现信息？
（画示意图或线段图。）
（4）为什么第2题没有使用画示意图的方法呢？
（因为示意图不能体现总价相等这一数量关系。）
（5）画示意图与画线段图的方法你更喜欢哪种？为什么？
（突出画线段图的简便性与适用的广泛性。）
小学数学三年级上册“数字编码”教材介绍

人民教育出版社 小数室
一、教学内容
这是一节 “综合与实践”的主题活动课。目的是通过日常生活中的
一些事例，使学生初步体会数字编码思想，在解 决问题中的应用，
并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，让学生学会
运用数字进 行编码。
二、教学目标
1．让学生能在具体情境中，了解一个“编码”中某些数字所代表
的意义。
2．让学生通过观察、比较、猜测去探索数字编码的简单方法。
3．让学生经历设计编码的过 程，体会在信息化、数字化时代下
数字在表达、交流和传递信息中的作用，初步学会用数字进行编
码。
三、编排特点
1．选取学生身边熟悉的素材
生活中用到数字编码的事例很 多，教材选取了学生身边最常见的
车牌号、邮政编码和身份证号码作为素材，便于教师在孩子已有经验的基础上展开教学。
2．素材的呈现给学生留足了思考和探索的空间
小精灵就提出问 题“你知道邮政编码和身份证号码中的数字或字
母表示的含义吗？”接着详略有别地处理了这两则素材。 以邮政编码
的解读作为重点，全面给出了六个数字背后所蕴含的信息，而身份
证号码通过两名学 生对话的方式给出了其中表示出生日期的信息，
其余的让学生自己调查了解。最后就安排了让学生自己尝 试编码的
活动。这样的编排方式无疑给学生的自主探索留出了时间和空间。
四、具体编排
1．研究生活中常见的数字编码，初步体会编码的思想和方法
（1）教材首先呈现了邮政编码 和身份证号码等生活中常见的数
字编码的事例。由小精灵提出问题，展开对邮政编码和身份证号码
中的数字及字母表示的含义的探索。
（2）以邮政编码为例，让学生了解邮政编码的结构和含义，初
步体会编码的方法。
（3）身份证号码只通过两个学生的对话，截取“出生日期码”和
“倒数第2位表示性别”作为引子，引 导学生通过观察、比较、猜测
等探索身份证号码中蕴含的一些基本信息和编码的含义。
2．自主编码

（1）让学生给学校的每名学生编一个学号，目的是 通过这个实
践活动来运用数字编码的简单方法进行编码，加深对数字编码思想
的理解。
（2）小精灵针对这一任务提出了一个问题：学号中要包含哪些
信息呢？需要注意的是：小精灵的问题 是统领后面整个讨论过程的
核心问题。
（3）这一张学号登记表是综合了讨论过程中达成的共 识汇总形
成的。教材在这里只是提供了一个范例，学生可以有各自不同的设
计方案。
五、教学建议
1．恰当把握教学要求
原来这一内容作为“数学广角”安排在五年级 上册，现在移到三年
级上册，作为实践与综合的内容。数字编码，对三年级的学生来说
有一定的 难度。所以教材只是让学生通过日常生活中的一些实例，
初步体会数字编码在解决实际问题中的应用，并 通过观察、比较、
猜测来探索数字编码的简单方法，学会运用数进行编码。具体教学
时，需要教 师恰当把握教学要求，如身份证号码，不要求学生掌握
每个数字所代表的含义及编排方法，不易理解的( 如校验码)让学生
知道就可以了；也不要求学生完全掌握编码的方法和规则。重点是
体会编码的 合理性、便利性、有效性、统一性，应给予亲身体会、
经历运用所学的知识解决实际问题的过程，培养学 生的探索精神和
实践能力。
2．教学过程须强调探索、体验和交流
“实践与综合” 本质上是一种解决问题的活动，具有实践性、综合
性和应用性。既然是解决问题的活动，就可以按照解决 问题的程序
分以下四个阶段展开：①进入问题情境；②实践体验；③解决问
题；④表达和交流。 因此，在活动设计时，更应强调学生的自主探
索、体验和交流，在实践过程中理解和掌握相关的知识技能 ，感悟
数学思想、积累活动经验。如身份证号码的探索活动，可以让学生
先自己探索其中蕴含的 信息，与课前准备的几个身份证号码进行比
较，发现其中相同和不同的地方；再通过小组交流，说一说身 份证
号码中发现的一些信息以及它们的含义，教师在巡视中给予适当的
提示和帮助。在此基础上 ，教师组织全班交流，让学生介绍从中了
解到的信息。大多数学生会发现出生日期的信息，个别学生可能 还
能发现同一个省市的身份证的前几位数字都相同，等等。最后，在

学生汇报的基础上教师再适当补充，介绍身份证号码的结构及蕴含
的其他信息。
3．注意课内外结合
《数学课程标准》在教材编写建议中强调：每一册教材至少应当
设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材，这样的题材可以以
“长作业”的形式出现，将课堂内的 数学活动延伸到课堂外，经历收
集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等
多种形式的活动。数字编码在生活中的运用十分广泛，一节课能涉
猎的东西非常有限，可以采取课内外 相结合的形式，布置一些“长作
业”，让学生围绕“生活中还有哪些地方用到数字编码”，继续收集一< br>些生活中的事例，如火车的车次、飞机的航班号以及商品的型号、
图书馆藏书的书号等。这些“长 作业”，可以延续几天、几周或几个
月去完成，鼓励学生用数学日记、数学小报的形式加以展示，从而< br>激发学生学习的兴趣和积极性，体会数学应用的广泛性。需要注意
的是，“长作业”是实践与综合 在课外的自然延伸，不能加重学生的
课业负担，要适度和适量。
小学数学三年级上册第七单元“长方形和正方形”教材介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容
1．四边形、长方形、正方形的认识
2．周长的概念，测量图形的周长；长方形、正方形的周长计算
3．解决问题
二、教学目标
1．使学生认识四边形、长方形、正方形的特征。
2．结合实例使学 生知道周长的含义，能测量简单图形的周长，
探索并掌握长方形、正方形的周长公式。
3．能根据长方形、正方形的周长公式，解决生活中的实际问
题，感受数学与生活的联系。
4．通过多种活动，发展学生的空间观念和推理能力。
三、编排特点
1．注重让学生通过自主探索，掌握新知
一方面，让学生主动探索，发现并掌握图形的特征。 在一年级
时，学生已经直观认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形和
圆等平面图形。本单 元，重点是让学生在主动探究中认识图形的特
征，教材分三个层次编排。第一层次，让学生从已有的经验 出发从
一些图形中区分出四边形，探索并发现四边形的特征“有4条直的边

< br>和4个角”。第二层次，让学生通过折、量、比等形式的操作活动，
主动探究，发现长方形和正方 形的特征。和一年级相比，本册要求
学生对长方形和正方形的认识由表象到了实质。第三层次，设计了< br>画一画、猜一猜、折一折、剪一剪、量一量、判断等多种形式的练
习活动，巩固图形的特征。 < br>另一方面，让学生通过探索，概括出长方形、正方形的计算公
式。教材让学生在经历了一般图形周 长的探索过程之后，进一步研
究长、正方形的周长。放手让学生在充分感知的基础上，抽象概括
出长、正方形的周长公式。
2．注重体现知识的形成过程，渗透数学思想方法
首先，从一般 性的角度引入周长的概念。教材呈现了一些规则和
不规则的实物和图形：树叶、三角尺、数学课本、钟面 等实物图和
五角星、三角形、长方形、正方形等图形，帮助学生直观理解周长
的一般含义，即封 闭图形一周的长度。从任意图形（包括不规则图
形）入手，使学生体会到周长是一个一般概念，避免学生 产生只有
长方形、正方形、圆等规则图形才能求周长的思维定式。然后，通
过让学生探索一般图 形周长的求法，使学生经历周长求法的知识形
成过程，认识到周长是可以测量的，同时感受“化曲为直” 的数学思
想方法。
3．关注所学知识的及时应用，培养学生解决问题的能力
一方面 ，在学习了长、正方形周长公式后，在练习中安排了大量
来自于现实生活的实际问题，让学生利用周长公 式解决。例如，计
算一块正方形桌布的花边大约是多长（第85页“做一做”第2题），
篮球场 的周长（练习十九第2题）等。另一方面，专门安排了例
5，教学解决问题。让学生探索“用16个边长 是1分米的正方形拼长
方形或正方形，怎样拼周长最短”。练习中还安排了“给多盒保鲜膜
捆胶 带怎样最省”（第86页“做一做”）等实际问题。通过解决这些
问题，使学生体会所学知识的广泛应用 ，积累解决问题的经验，发
展创新意识，提高实践能力。
四、具体编排
（一）四边形和长、正方形的认识
1．例1（认识四边形）
（1）让学生从众多的 图形中区分出四边形，从而让学生通过讨
论，发现四边形的特征：有四条直的边和四个角。应用分类的思
想。通过此题，学生对小学阶段出现的各种特殊四边形乃至一般四
边形都有一个感性的认识，在 以后的学习中将逐一认识。

（2）注意通过对比、辨析加深对四边形内涵的认识并丰富学生
对四边形外延的认识。
2．例2（认识长、正方形）
长方形和正方形是特殊的四边形。安排长方形和正方形的再认< br>识，目的在于让学生通过亲手动手量一量，折一折，发现并尝试归
纳出长方形和正方形的特征。揭 示长方形的长、宽及正方形的边长
等概念，为学习长、正方形的周长和面积做准备。教学时，可进一步让学生比较一下长、正方形的异同，加深认识。共同点：都有四
条边和四个角，四个角都是直角。 不同点：长方形对边相等，而正
方形四条边都相等。教学时，可进一步让学生比较一下长、正方形
的异同，加深认识。
（二）周长
1．例1（概念）
（1）给出一组实物和一组 几何图形，实物有不规则的，有规则
的。但这些实物和几何图形有一个共同点：都是封闭图形。
（2）用描述性的语言来陈述周长的含义。
（3）让学生用自己的方法测量不同物体和图形的 周长，有的是
拿绳子把物体围一圈，再量绳子的长度，有的是分别测量物体的各
条边的长度，再 相加。让学生亲历做数学的过程，体会周长概念的
本质，为求长、正方形的周长做准备。经历探索测量周 长的过程，
体会“化曲为直”的方法。
2．例2（长、正方形的周长）
（1）给出 了两种计算的方法：一种是直接应用周长的含义将各
边的长度进行连加；另一种是根据长、正方形边的特 征列出的简便
计算方法。不仅体现算法多样化，同时体现了思维的不同水平。
（2）在探索活 动的基础上，进行归纳总结，概括长方形正方形
的周长的计算公式，以便在解决问题中灵活运用，体会数 学的抽象
和简洁。教学中，注重算法的多样化，加深概念理解。注意方法优
化，总结周长公式。
（三）解决问题
1．例5（问题解决）
（1）例5，这是一个通过自主探究解决问 题的活动，帮助学生
巩固长、正方形的特征及周长的计算方法，进一步发展数学思考，
提高问题 解决的能力。
（2）用16个边长是1分米的正方形可以拼成三种不同的长方形
或正方形，分 别为长16厘米、宽1厘米和长8厘米、宽2厘米的长

方形；边长4厘米的正 方形。其中，正方形的周长最短。一般地，
拼成的长方形的长和宽越接近，其周长越短。
（3）“分析与解答”环节教材呈现了画出所有可能的结果来解决
问题的策略。
（4 ）“回顾与反思”环节通过提问“只有这三种拼法吗？”提示应
用此策略时，需要检查是否做到了不重复 、不遗漏才能确保正确解
决问题。
2．“做一做”
让学生探索“给12盒保鲜膜捆 胶带怎样最省”的实际问题，需要
转化为“将12个边长5厘米的正方形拼组后的图形周长最短”的数学
问题。进一步发现规律，同时培养学生将生活中的实际问题转化为
数学问题的能力。
五、教学建议
1．关注学生的生活经验，注重所学知识与日常生活的密切联系
促进 学生空间观念的发展是小学数学几何教学的重要任务。而学
生生活的世界和所接触的事物大都和空间与图 形有关，他们的生活
经验是发展空间观念的宝贵资源。教材选择了许多与学生生活息息
相关的题 材作为教学素材，如测量树叶、数学书、钟面等的周长，
量头围、胸围、腰围，给正方形桌布缝花边，给 多盒保鲜膜捆胶带
怎样最省等。教学时，要充分发挥这些素材的作用，注重学生已有
的生活经验 ，将视野从课堂拓宽到生活的空间，并引导他们去观察
生活，从现实世界中发现有关空间与图形的问题。
2．注重数学实践活动，突出几何探究过程
空间观念是在活动的过程中逐步建立起来的。回忆 生活经验、观
察实物、动手操作、想象、情境描述等都是培养和发展学生空间观
念的途径，也是 学生理解抽象的数学的重要手段。因为几何初步知
识，无论是线、面、体的特征还是图形特征、性质，对 于小学生来
讲，都比较抽象。教材在提供大量的、形象的感性材料的同时，采
用了许多活动化的 呈现方式，如量一量、折一折、比一比、画一
画、摆一摆、拼一拼等。教学时，教师就应根据低年级学生 的特
点，给予学生充分的时间和空间从事数学活动，让他们通过观察、
操作、有条理的思考和推 理、交流等活动，经历从现实空间中抽象
出几何图形的过程，探索图形性质及其变化规律的过程，从而获 得
鲜明、生动和形象的认识，进而形成表象，发展空间观念。
3．了解教材编排特点，恰当把握教学要求

学生对一些知识的理解 往往不是一次完成的，需要有逐步深化、
提高的过程。因此，教材根据学生的年龄特点及认识能力，采用 了
逐步拓展、螺旋上升的结构，把“空间与图形”的内容均衡地安排在
不同的学段中，每一学段 都有相应的目标。这样，既突出每个年级
的学习重点，又注意前后连贯。例如，对长方形和正方形的认识 ，
在一年级时，主要是直观认识其形状；在本册则需要从边和角两方
面认识其特征。而对画长、 正方形的要求也不同，在本册主要是在
方格纸和点子图上描画；到四年级学习了平行和垂直以后，则要求
学生用直尺和三角尺来画。同时，教材在不同的年段采用不同的表
达形式。就拿常见的数学概念 来说，在小学阶段，描述式（用一些
生动、具体的语言对概念进行描述）和定义式（用简明而完整的语< br>言揭示概念的内涵或外延）是最主要的两种表示方式，低年级采用
描述式较多，中年级逐步采用定 义式。例如，本单元对四边形、周
长等都没有下严格意义上的定义。四边形没有给出定义；周长，只要学生能结合具体的物体或图形说明周长的含义即可。因此，教师
在教学时，要认真研读《义务教育 数学课程标准（2011年版）》，
仔细分析教材，恰当把握教学要求，防止任意拔高要求，或者让学< br>生去死记硬背概念、公式等。
《长方形和正方形》重难点突破
安徽省黄山市徽州区岩寺镇中心学校 张建光（初稿）
安徽省黄山市教科院 高娟娟（修改）
安徽省黄山市黄山区教研室 齐胜利（统稿）
一、学生通过观察、猜想、验证自主探究来认识四边形、长方形
和正方形的特征（重点）
突破建议：
1．四边形的知识是在学生已经直观认识了长方形、正方形、平
行四边形 、三角形和圆等平面图形的基础上学习的。本课让学生从
已有的知识和经验出发，通过辨一辨、找一找、 画一画、连一连、
说一说等系列活动，让学生在直观中充分感知四边形，探索发现四
边形的特征 。在四边形的教学中，要注意通过对比、辨析等形式加
深对四边形内涵的认识，丰富学生对四边形外延的 认识。
2．对于长方形和正方形的认识，在一年级时，主要是直观认识
了其形状，在本册 则需要从边和角两方面认识其特征，就要求学生
对长方形和正方形的认识由表象到了实质。这部分知识也 是后面学
习长方形和正方形的周长和面积的基础。这一内容对于学生来说是
很抽象的，内容本身 又比较枯燥。因此教学中，我们可以让学生通

过折、量、比等形式的的操作活 动中主动探究，在活动中充分积累
探究经验，从而探索发现并归纳出长方形和正方形的特征。在长方形和正方形的教学中，要注意通过对比和表达加深对图形的认识；
当学生对长方形和正方形有了初步 理解，需要进一步深化时，需要
提供一些变式图形，如斜放的长、正方形，帮助学生排除非本质属
性的干扰，抓住图形的本质属性进行判断，更好地掌握图形的概
念。在课堂教学中，教师要给予学生充 分的时间、空间，加强交流
和指导，鼓励学生将算的过程用语言表达清楚；并通过教师的引导
和 评价，使学生体会单位相同的数可以直接相加、减的计算方法。
鼓励学生交流不同的口算方法，体会算法 的多样性，反思自己的算
法。加深对加减法计算方法的理解，帮助学生更好地掌握计算方
法。
3．注重体现知识的形成过程，渗透数学思想方法。运用数学思
想方法，引导学生经历在具体事 物中抽象出图形的认识过程。认识
四边形，主要让学生应用分类的思想，在众多图形中区分出四边
形，从而发现四边形的特征。教学长方形和正方形时，主要应用类
比思想，在比较中发现异同，加深认 识。但小学生由直观的“初步识
别长方形和正方形”深化到“感受并能用自己的语言描述长方形和正方形的特征”，是认识上的一次飞跃，是从感性认识到理性认识的飞
跃。因此教学中，我们要将学生 的生活经验作为发展他们空间观
念，认识图形的宝贵资源。借助“几何直观”，充分发挥素材的作
用，引导学生逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，促进学
生空间观念的发展。
二、理解周长的含义，探究周长的测量方法，学会测量周长（重
点）
突破建议：
1．本课是在学生已经认识了三角形、平行四边形、长方形、正
方形等平面图形的基础上展开的 。通过本课教学，使学生感知周长
的含义与探究周长的测量与计算方法，为后面学习计算几何图形的周长打下基础，起着承上启下的作用。从字面上来看周长的概念似
乎不难理解，但随着学了面积之后 ，学生对周长和面积两个概念总
是容易发生混淆。究其原因，对周长概念认识的不到位是一方面。
另一方面，周长的概念中有三个关键词：封闭图形、一周、长度，
教学时我们通常将封闭图形及一周的 理解作为周长概念的重点，很
容易把“长度”这个关键词忽略掉。周长的本质就是“长度”，因此教学中要帮助学生建立起周长与长度的联系，步步引领学生建构周长

的概念 。另外，初步感知周长概念时，要注意从一般性的角度引
入，从任意图形入手，避免学生产生只有长方形 、正方形等规则图
形才有周长的思维定势，这样能更好地帮助学生全面地建立起周长
的概念。
2．结合实例，让学生通过指一指、找一找、说一说、描一描等
一系列体验活动，使学生经历丰 富的感知过程，获得对周长的感性
认识，建立丰富的表象。让学生用自己的方法测量不同物体和图形的周长，有的是拿绳子把物体围一圈，再量绳子的长度，有的是分
别测量物体的各条边的长度，再相 加。让学生亲历做数学的过程，
体会周长概念的本质，为求长、正方形的周长做准备。
三、让 学生探索长方形、正方形的周长计算公式，能熟练地计算
长方形、正方形的周长（重点、难点）
突破建议：
1．长方形、正方形周长是在学生认识了长方形、正方形各部分
名称和特 征，理解了周长概念，掌握了简单的测量方法的基础上进
行教学的。在周长的认识教学中，学生已经对长 方形、正方形的周
长有了初步的认识，不排除有部分学生对周长的概念理解不透彻，
为本节课的 教学带来一些阻力，可以通过旧知复习来排除。让学生
经历探索过程，进行猜想验证，通过归纳总结，概 括出长方形、正
方形的周长公式，体会数学的简洁性和抽象性。
2．在学生探究周长公式的推 导过程中，不可忽视周长的测量环
节，测量图形的周长，不仅是推导公式的重要教学手段，同时又是教学目标。开始可以从任意图形（包括不规则图形）入手，使学生
体会到周长是一个一般概念，避免 学生产生只有规则图形才能求周
长的思维定势。应注重引导学生运用正确学习的方式和方法，结合
尝试计算、探索验证、比较优化、合作交流等活动，引导学生经历
自主构建新知的完整过程。在经历不 同图形周长求法的知识形成过
程中，充分感知周长是长度单位，认识周长是可以测量的，同时感
受“化曲为直”的数学思想方法。也可通过对比、辨析加深学生对周
长含义的理解，体会图形的转化思想 。
四、通过探究，运用画图策略解决问题，总结出解决这类问题的
一般方法（难点）
突破建议：
1．例5是新增的教学内容，原来这种题型一般在习题中出现。
教材运用 此题抛砖引玉，引起一线教师对学生探究能力和解决问题
能力的重视。儿童的智慧往往产生于指尖上。但 是要综合运用长方

形和正方形的特征及周长来解决问题，学生有一定的难度， 教师要
引导学生分析问题，明确解决问题的一般步骤（阅读与理解、分析
与解答、回顾与反思） 。儿童的智慧往往产生于指尖上。探究活
动，要精心设计引导。在探究之前，教师要明确要求；探究之中 ，
教师要注意方法指导；探究之后，及时总结规律。
2．在教学中，教师应引导学生明确要求 ，提高探究的有效性，
根据学生目前所有的认知水平开展不同的操作形式。最后，让学生
在解决 具体问题的过程中培养数形结合的思想方法，并养成一定要
找到所有可能出现的结果，做到不重、不漏的 良好数学学习思维习
惯。通过解决这些问题，进一步使学生体会所学知识的广泛应用，
积累解决 问题的经验，发展创新意识，提高实践能力。
综合建议：
（一）充分运用多媒体创设情境，精心设计，通过课件直观演
示，做到数形结合
因为 数形结合能有效地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象
的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化 ，帮助学生理解和掌
握知识，有效激发学生的求知欲望和学习兴趣，从而有利于突破课
堂教学中 的重点和难点，既优化了解题途径，又提高了教学效率。
如《四边形》一课，制作课件可增加一些平面图 形正反例来加深学
生对四边形的认识，如：不封闭的、边是弯曲的、凹的四边形、斜
摆的四边形 、圆形、五边形等，这样丰富了学生对图形的认识。课
尾“连一连”——小猫要沿着由四边形串连起来的 路线走才能吃到
鱼，请你帮助小猫画出路线。通过图形游戏，来激发学生学习的兴
趣，让学生把 已经建立的四边形的表象以物化的形式表达出来，让
学生在动手操作的体验中再一次丰富了对四边形的感 知，进一步强
化和巩固了四边形的特征，加深对四边形内涵的认识。
（二）注重数学实践活动，突出几何探究过程
1．空间观念是在活动的过程中逐步建立起来的 。教学时，应在
多样的实践中，让学生主动探究认识图形的特征。如把长方形、正
方形比一比、 折一折、量一量，发现它们边、角的特征。但在操作
过程中，应注意让学生明确实践的目的性，如把长方 形纸左右对
折、上下对折，这么做说明了什么等。另外，在验证正方形四条边
都相等时，学生往 往只注意对边相等，忽视沿对角线对折来验证邻
边相等。教学中应多留些时间让学生思考，最后得出先对 折成三角
形再对折，再把正方形的四条边都折合到一起的好方法。为了让大
家看清楚，可把四条 边都涂上了不同的颜色，效果更好。在这种情

况下，除了对折还可以选择适当 的四根纸条拼摆图形来排除长方
形、正方形面的干扰，突出边的对比，使学生思路更明晰，便于总
结归纳、完整阐述。
2．在信封里装着一个四边形，猜一猜可能是什么形状。通过抽
出这个 图形的一部分，三次操作分别让学生猜测——验证。层层深
入，每次让学生充分地表达自己判断的理由， 从不同层次、不同角
度发现长方形和正方形之间的动态关系，始终让学生在对比中充分
感知长方 形和正方形本质的区别和联系巩固长方形和正方形特征的
认识，培养了学生空间观念和逻辑思维能力。
（三）提炼核心问题，注重小组合作交流、动手操作、自主探究
突破各课重难点
核心 问题是达成教学目标的关键，它能改变冗长、烦琐、低效的
情况。而一堂课其他所有问题都是由这个核心 问题派生出来的，或
与这个核心问题息息相关。找准核心问题，教学就会有的放矢，围
绕核心问 题展开，学生的思维就有了聚焦点，学习主线就非常明
晰、同时简单明了。通过学生小组合作学习，动手 操作，学生在探
索过程中，会用多种方法进行研究，培养学生观察、分析、归纳及
猜想、验证等 数学思维能力。感受学习空间与图形的价值，增强空
间观念，体验探索数学的乐趣。具体见下表：
课题 核心问题 验证方法 结论
四边四边形有什么
对比 辨析 分类 4条直边 4
形 特点？
个角
长方长方形对边

长方形和正方量一量 折一折 比一比
形 相等
形有什么特

4个直角
正方点？
正方形4边
形
相等4个直
角
周长 有办法知道上绳测 尺量 滚动一圈量 数封闭图形一
面这些图形的方格纸等 周的长度
周长吗？

长+宽+长+宽

周 长方形的周
长+长+宽+宽
长方形周长


长 长计算方法
长×2+宽×2
公式长方形
你喜欢哪种方
的
（长+宽）×
的周长=
法？
计
2

算


正方形的周
边+边+边+边
长计算方法
边×2+边×2
（边+边）×
2
边×4
解决 这道题要我们拼图形 求周长 比周长
问题 做什么事？

三年级上册第八单元“分数的初步认识”教材介绍
人民教育出版社 小数室
一、教学内容
1．分数的初步认识（几分之一，几分之几，几分之一分数、同
分母分数的大小比较）
2．分数的简单计算
3．分数的简单应用
二、教学目标
1．结合具体情 境，通过操作活动使学生初步认识几分之一和几
分之几；会读、写简单的分数；能比较简单分数的大小； 会计算简
单的同分母分数的加、减法。
2．通过操作活动，进一步认识分数，知道把一些物体 看作一个
整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用分数表示，能解
决有关分数的简单实 际问题。
3．感悟数形结合的数学思想和方法，发展数感；体会分数在实
际生活中的应用和价值。
三、编排特点
1．合理确定认识分数的起点，逐步加深对分数的认识
心理学的研究 表明：分数概念的抽象性及其理解方式的多样性，
是儿童理解分数概念的困难所在。在分数概念的多个含 义中，“部分
－整体”概念处于基础地位。当把分数理解为表示部分与整体
（part-who le）之间分割关系的数时，分数ab表示把一个整体量
分成b份，选出其中的a份。在对整体的分割中 ，可以产生整体与
部分的包含、部分与部分的相等以及分割的份数与每份大小之间的
（长+宽） ×
2


正方形周长
公式正方形
的周长=边
长×4

越接近正方
形周长越短

补偿等多个关系。确定整体量、判 断等分、认识部分与整体之间的
包含与补偿关系是理解分数的“部分－整体”含义的关键。因此，教材编排既考虑到分数概念的发展基础，又兼顾学生建构概念的认识
特点，在本单元第一次认识分数时 ，结合生活情境，借助几何直观
和操作，从“一个物体作整体”到“多个物体作整体”，循序渐进地加< br>深对分数所表达的“部分－整体”关系的认识。而且所有内容的安排
全部围绕这一基本含义展开， 无论是比较大小还是简单的分数计
算，其目的不是都单纯地教学大小比较和计算的方法，而是通过这些内容的学习，加深对分数含义的认识。
2．加强用分数解决问题的教学
修订教材在实 验教材“分数的初步认识”的基础上，增加了第3小
节“分数的简单应用”。安排了“把一些物体看作一 个整体平均分成若
干份，其中的一份获几份也可以用分数表示”的教学内容（例1），
加深了学 生对分数含义的理解，学会用简单分数描述一些简单的生
活现象；接着教学解决“求一个数的几分之一或 几分之几”的问题
（例2），让学生利用刚刚掌握的“分数的含义”结合已有的整数除法
知识解 决简单的实际问题。不仅沟通了分数与除法的关系，加深了
对分数的理解，而且也增加了解决实际“问题 ”的丰富性，培养了学
生解决问题的能力。
3．结合生活经验，借助直观和操作认识分数 < br>尽管学生在日常生活中有一些用分数表达的经验，但分数的含
义、读写方法、计算方法等内容与以 往学生熟悉的自然数又很大差
异。因此，教材编排充分考虑了学生建立起一个新的概念需要较长
过程这一特点，在认识分数、简单的计算和解决问题的过程中，都
注重联系学生的生活经验，提供几何直 观和操作活动，让学生认
识、感悟分数的含义，探索解决问题的方法。一方面，注意借助学
生的 生活经验，紧密结合具体情境认识分数。例如，单元主题图，
创设了“秋游户外野餐”的场景，唤起学生 经验，激发认知冲突，引
出新知，并体会分数产生于生活实践。解决问题的教学，也是通过
创设 生活情境，引导学生关注生活中可以用分数表示的情况，体会
分数在生活中的应用。另一方面，注意借助 几何直观，提供充分的
活动机会认识分数。分数概念具有双重性，既有“数的特征”，也有
“形 的特征”。只有从两个方面认识分数，才能很好地理解并掌握它
的本质意义。教材借助不同的实物模型（ 月饼、苹果等）、面积模
型（长方形、正方形、圆等）等，数形结合，帮助学生认识分数形

的特征。教材还编排了分一分、折一折、涂一涂等动手实践活动，
让学生在动手、 动口、动脑等多种表征的联动中体会分数的含义。
四、具体编排
（一）分数的初步认识
1．主题图
（1）在生活中，有时我们需要与伙伴共同分享一些物品。在分
物品时， 一般采取“平均分”的方式。
（2）平均分的结果有时能用整数表示，有时不能用整数表示。
可以用一种新的数来表示分得的部分与整体的关系。
（3）通过学生熟悉的生活情境，体现分数的产生 源于生活实际
的需要。引出对单元内容的学习，为例题教学提供现实情境。
2．例1（认识几分之一）
（1）通过两名学生平均分月饼的情境，引出分数的认识。小精< br>灵话中的“平均分”和“它的”是关键词，明确指出了分数概念的基本
要素。
（2）通过类比推理，把这块（特指刚才的那块）月饼平均分成
四份，认识。
（3）在实物模型的基础上，借助面积模型——圆和长方形，认
识、。

（4）通过上述活动积累一定具体认识后，说明“像……这样的
数，都是分数”。
（5）以为例介绍分数各部分的名称，同时指导怎样正确地
读、写分数。
3．例2（用不同的方式表示，进一步巩固分数的意义）

（1）要通过这个活动 使学生明白，可以用不同的方式表示同一
分数14，虽然正方形纸的折法不同，每一份的形状不同，但都 是
把这张纸平均分成4份（分数的意义相同），所以可以用同一分数
表示。
（2）要利用折法多样性，充分发挥学生的创造性，除了教材上
的三种，还可以有很多种折法。

4．例3（几分之一的大小比较）
（1）比较大小的目的是为了巩固对分数意义的理解。
（2）借助直观图让学生根据分数的意 义比较几分之一的大小时
要提醒学生注意，这里的整体1是相同的。然后，通过小精灵的提
问“ 你发现了什么？”引导学生得出结论：当两个几分之一比较大小
时，分的份数越多，每份越小，它所代表 的分数越小。这也是为以
后学习同分子分数的大小比较作铺垫的。
5．例4（认识几分之几）
（1）例4，在直观认识几分之一的基础上，通过折纸活动认识
四分之几。
（2）通 过把相同大小的正方形平均分成4份，在巩固旧知的
基础上说明：这样的几份就是四分之几，并着重指出 四分之几就是
几个，加强了四分之几和的联系。

6．例5（十分之几的认识）
（1）例5，通过把1分米长的彩带平均分成10份，说明十分之
几的含义。一方面，进一步理 解几分之几的含义；另一方面，为以
后学习小数做初步的准备。
（2）结合上面的例子，说明“像……这样的数，也都是分数”，完
善学生对分数的认识。
7．例6（同分母分数的大小比较）
（1）在这儿，比较同分母分数大小的目的也是为了巩固对分数
意义的理解。
（2） 在这儿还不是抽象地比较两个分数大小，而是通过涂色，
利用直观图形的大小比较来比较分数大小。然后 可以引导学生总结
出比较的方法：分母相同时，分子大的分数大。
（3）第2小题出现66，也是为后面学习1减去几分之几做准
备的。
（4）配合例 6的“做一做”，目的是进一步巩固几分之几的含
义，体会比较的方法。第1题面积模型沿用例题的涂色 呈现方式，
比较直观。第2题平均分的是线段，略抽象。第一幅图选取的两条
线段起点相同，便 于直接判断；第二幅图选取的两条线段起点不
同，但长度差异较大，比较容易判断。
（二）分数的简单计算

教学分数加减法的目的主要是进一步巩固对 分数意义的理解，同
时也为以后正式学习分数加减法做必要的准备。
1．例1（分数加法）
（1）通过主题图中吃西瓜的情境，帮助学生理解分数加法的意
义，答案让学生自行填出。
（2）通过直观和抽象两种方式让学生理解算理。
①通过直观图看到两块西瓜和一块西瓜合在 一起是三块西瓜，分
别用三个分数来表示，得到分数加法算式。（巩固对分数意义的理
解）
②用说理的方式表示，增加“几分之几里有几个几分之一”。
2．例2（分数减法）编排特点同例1，只是更多地让学生自主探
索。
（1）直接出 示同分母分数的减法算式，通过动作直观展示计算
的道理，便于学生掌握算法。在直观模型的支持下，体 会去掉几个
就能得到结果，明确从5个里去掉2个得到3个，就是。

（2）借助几何直观，通过分数的含义，让学生理解算理，体会
算法。
3．例3（1减去几分之几）
前面相关练习中已有了一些铺垫，只要把1转化成分子、分母相
同的分数，就划归为已学过的分数减法，学生学习起来不会太困
难。
（1）例3，教 学“1减几分之几”。直接出示算式后，小精灵提示
思考方法：通过平均分，可以把1改写成分子与分母 相同的分数。
借助直观图、提示语及小女孩的动作等，再次形象直观地展示出算
理，便于学生理 解。
（三）分数的简单应用
1．例1
分数的简单应用小节，是结合具体的情境， 让学生进一步认识分
数。学习用简单的分数描述一些简单的生活现象，解决简单的实际
问题，初 步了解分数在实际生活中的应用。
（1）例1，教学由多个同一事物组成的集合作为单位“1”，集合
中部分元素与整个集合的关系也可以用分数来表示的情况。
（2）例1的第（1）题，调用学 生学习几分之一的经验，通过剪
一剪的活动情境，实现了“1”由一个物体到一组物体的自然过渡。第< /p>

（2）题，选取学生熟悉的实物模型（苹果），先让学生感受“把一
些 物体平均分了以后，这样的一份或几份，也可以用分数来表示”。
再指导学生借助分数的含义，理解“部 分”与“整体”的关系。
（3）教学中，要通过剪一剪、涂一涂、摆一摆等多种操作活
动，循 序渐进让学生体会“1”是一些物体时如何用分数表示整体与部
分关系，初步形成认识：与“1”是一个 物体是相同的，平均分成几份
分母就是几，取其中的几份分子就是几，取几份就有几个1份那么
多。
2．例2（问题解决）
（1）例2，教学求一个数的几分之几的实际问题，既能让学生
学习解决生活中类似的实际问题，又可加深对分数含义的理解。
（2）“阅读与理解”部分， 右面女生的话提示了：理解题目中两
个分数的含义，是正确解决问题的前提。
（3）“分析与 解答”部分，给出了借助直观图进行分析的方法，
分析时结合分数的含义，应用整数除法计算解决问题的 方法。
（4）通过小精灵的话，提示教学过程中要有意识地培养学生回
顾与反思的习惯。
五、教学建议
1．注意通过多元表征之间的转换，逐步加深对分数的认识
儿童通用 不同的方式表征同一分数概念的能力，即表征转换能力
代表了学生对分数概念的理解水平。通过多种外在 的表征方式，如
分割操作、画图、数学符号等之间的转化活动，可以加深学生对分
数的认识。在 最初接触分数时，先是从“行为”（平均分物体）入
手，再通过图形表征认识分数，最后抽象出分数的数 学符号。教师
教学时要充分考虑“行为”“图形”“符号”等表征方式的关系，努力做到
“有来 有回”。帮助学生既能读懂操作过程和图示，会用符号表示；
又能根据符号，用操作活动和图示进行解释 。例如，认识几分之
一，先利用教材创设的具体情境，在4次平均分物活动中给出分数
的“符号 ”，然后，进行变化“拿正方形纸折一折”则是根据给出的符
号回溯操作活动。在“有来”又“有回”的 过程中，使“平均分”“分的是
谁就是谁的几分之几”两重意思的理解得到了深化。教师可适当增加“回”的过程，如“想一个像这样的分数，用图形纸表示出来”。让
学生充分经历这样的过程，建立 起“行为（图示）”与“符号”之间

的一一对应关系，帮助学生逐步地理解分数含义。

2．借助多种直观模型和操作，理解分数的含义
学生 对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展。一方
面，在分数初步认识阶段，学生的活动要与直观 模型紧密结合。一
开始就要利用不同的实物模型（月饼、苹果等）面积模型（长方
形、正方形、 圆等），对分数有一个具体的认识，并不抽象分数的
意义。教师在教学过程中重视教材的呈现方式，除实 物、面积模型
外，可适当采用集合模型、“数线”模型，丰富学生的认识表象，为
学生全面理解 分数的含义提供多种直观支持，避免思维僵化。
另一方面，为学生提供动手操作、独立思考与合作交流 的素材。
数学教学是数学活动的教学，是学生观察、猜测、实验、操作、独
立思考与合作交流的 过程。教学中要依据教材，为学生提供大量学
习的素材，让学生在不同的动手活动中体验、认识分数。如 “分一
分” “折一折”“涂一涂”“圈一圈”“数一数”等，完成这些动手操作，需
要教师提 前的布置、准备必备的素材。尤其在认识在认识“1”是一些
物体时如何用分数表示时，因为一些物体组 成的整体被平均分以
后，每份里的物体都可以用整数表示它的个数，学生对用分数表示
“部分－ 整体”的关系感到不习惯。教学中，要通过剪一剪、涂一
涂、摆一摆等多种操作活动，循序渐进体会整体 与部分的关系，初
步形成认识：与“1”是一个物体是相同的，平均分成几份分母就是
几，取其 中的几份分子就是几，取几份就有几个1份那么多。
3．要把握好教学要求。
这儿只是初步 认识分数，对于分数的定义，分数表示的确切含
义，教材都不要求掌握。在学习分数的认识、大小比较和 加减法
时，都要借助于直观图来帮助学生理解，重点也不是为了学习分数
大小比较和加减法的方 法本身，而是巩固对分数意义的理解。
《分数的初步认识》重难点突破
安徽省黄山市实验小学 王启武（初稿）
安徽省黄山市教科院 高娟娟（修改）
安徽省黄山区教研室 齐胜利（统稿）

一、本单元的教学重难点：
1．在具体情境中，通过操作活动初步认识几分之一和几分之几；会读、写简单的分数；能进行简单分数的大小比较。
2．引导学生借助实物模型、面积模型和 数线模型，进一步认识
分数，知道把一些物体看做一个整体平均分成若干份，其中的一份
或几份 也可以用分数表示，能解决有关分数的简单实际问题。
二、突破建议：
（一）在“对折”活动中理解“平均分”，认识几分之一
1．在折纸中感知平均分。根据学生 的生活经验，分得同样多即
为平均分，这也是认识分数的前提。在教学中，通过用不同形状的
纸 片进行对折，能更好地观察平均分的结果。体会平均分几份，分
母就是几。
2．在辨析中体验 分数本质。为了让学生加深认识几分之一，在
练习中设计这样的环节，能有的放矢地引导学生。

让学生说说哪个图能用表示，其它的为什么不能？第一个图不
是平均分；第二个图平 均分的分数不是4份而是3份；第三幅图表
示的不是1份而是2份；第四幅图表示平均分4份取这张纸的 1
份，所以可以用表示。

（二）在“交流”活动中理解“取的份数”，认识几分之几
1．将感性认识上升为理性思考， 建立几分之几与几分之一的联
系。学生已有了探究几分之一的过程，对于几分之几的认识完全能
独立探究，着重引导学生说说自己的探究方法，说说几分之几与几
分之一的异同，在说的过程中明白：把 一个物体或图形平均分成几
份，分母就是几，表示这样的几份，分子就是几。根据分数说说几
分 之几里面有几个几分之一。
2．适当拓展，深化对几分之几的理解。在例5教学中，学生理
解 了将1分米长的彩带平均分成10份，可以找到哪些分数后，教师
可适时提问“如果把这条彩带平均分成 100份，，每份是它的多少？
2份呢？7份呢？”让学生在交流中外显思维过程。
（三）在“对比”活动中提炼“方法”，比较分数大小

1．在“比 大小、比长短”中总结分子是1的分数的比较方法。对
分子是1的分数进行大小比较，教材采用的是实物 模型和面积模型
直接让学生观察，在巩固对几分之一的认识前提下，汇报发现：分
子是1的分数 ，分母越大，表明分的分数越多，每一份反而小。在
练习中安排了数线模型，即线段图，比面积模型更抽 象些，将它们
上下排列再比长短，更便于观察比较分数的大小。
2．在“比多少”中体会同分 母分数的大小比较方法。对于同分母
的大小比较，在利用涂色表示分数的前提下，可以引导学生说说涂< br>了几份，同时联系分数的含义进行比较。例如：
，是几个，是几个，2个比3个大还是小，得出 比
较结果。对于的认识要联系图示，引导学生理解其实表示一个整
体即为“1”，对学有余力的 学生，可以顺势引导，那呢？

（四）借助“几何直观”理解“算理”，掌握简单的分数计算方法
1．利用直观演示，结合分 数含义，说明同分母分数加法算理和
算法。学生在计算中容易出现分子加分子，分母加分母的现象，为< br>了突破这一难点，让学生利用图形纸涂一涂、剪一剪，再根据分数
的含义进一步理解算理。 2．利用动态演示，结合分数含义，理解同分母分数减法的算理
和算法。通过动作直观演示分数减法 的过程，根据加法经验让学生
说说算理，重点说说“1减几分之几”的过程，培养学生数学语言表达能力和逻辑思维能力。
（五）利用“数形结合”感悟“一个整体”，体会分数的应用价值
1．由形到数，理解“把一些物体看做一个整体”。教学中，要通
过剪一剪、涂一涂、摆一摆等多种操 作活动，循序渐进地让学生体
会“1”是一些物体时如何用分数表示整体与部分的关系。
2． 由数到形，体会分数的实际应用。对于求一个数的几分之几
的实际问题，教学中要充分鼓励学生用图形（ 圆、三角形……)表示
总量，将一些物体如何根据分母平均分，根据分子取出份数，说说
自己的 操作过程，最后用算式表示出来。在深化对分数的认识的同
时，体会分数在生活中的应用价值。
三年级上册第九单元“数学广角──集合”教材介绍
人民教育出版社 小数室

一、教学内容
借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用直观图的方
式求出两项比赛都参加的人数。
二、教学目标
1．让学生经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感
受它的意义。
2．使 学生学会借助维恩（Venn）图，运用集合的思想方法来解
决较简单的实际问题，从而感受到数学与生 活之间的相互联系。
3．培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。
三、编排特点
1．数形结合，帮助学生感悟集合思想
在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这 种图被称
为维恩图。这种表示方法直观、形象，尤其对于解决比较复杂的问
题（例如，涉及三个 以上的集合的并、交的问题）更能显示出它的
优越性。因此，教科书注重借助维恩图表示集合及其运算， 帮助学
生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法。在通过例题介
绍了用维恩图表示集合 及其运算的方法后，接下来的练习中，不断
让学生应用维恩图解决简单的实际问题，并利用维恩图帮助学 生进
一步理解集合概念及其关系。例如，在维恩图中填出每个集合的元
素，体会集合元素的特性 （练习二十三第2题、第3题）；用画图
的方法表示出两个集合的交集（练习二十三第3题）；借助维恩 图
体会集合的包含关系（练习二十三第6题）等。
2．重视学生的已有基础，自主探索与有意义的接受学习有机结
合
虽然学生在计数和 计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生
在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个 集合间
的运算，尤其是交集的体会并不多。而且，在学习用画图的方法解
决问题时，更多的是用 列举的方法画出集合所有的元素，没有将一
个集合的元素圈出来的经验积累。因此，学生很难自己想到画 维恩
图来表示每一组数据，并用维恩图表示它们之间的运算。对于“重复
的人数要减去”，学生 是有经验的，能够列式解答。教科书在编排
时，充分考虑到学生已有知识和认知基础，先展示学生运用连 线法
解决问题的例子，再介绍画维恩图的方法，最后还让学生自己列算
式解答。这样编排符合学 生的认知规律，提示教师要根据学生的实
际情况把握好教学的起点和要求。
3．提供丰富的练习内容，有层次地渗透集合知识

首先，注重联系 学生生活实际，帮助学生学习掌握新知。本单元
共有9个题目（含例题、“做一做”、练习题），涉及学 生在生活
（比赛人数、水果品种、参观人数等）和学习（按要求填数、写成
语等）中经常遇到的 问题：求两个集合的并集或交集的元素个数。
学生虽然熟悉这些情境，但以前不一定从集合的角度来思考 并解决
问题。因此，这样安排不仅可以提高学生学习的兴趣，激发学生的
好奇心，而且还让学生 体会到数学知识与生活的密切关联，逐渐学
会从数学的角度看待身边的事物。其次，有层次地设计练习， 逐步
丰富并完善学生对集合知识的理解。例如，例题、“做一做”和练习
二十三的第1～4题， 都提供了具体的集合元素的支撑，帮助学生理
解集合及其运算。在学生积累了较丰富的活动经验的基础上 ，练习
二十三的第5题和第6题，则脱离了具体的集合元素的支撑，让学
生从集合元素的个数的 角度抽象地探索解决此类问题的方法，提升
思维的水平。再如，除了提供两个集合之间有交集且部分元素 相同
的情况外，为避免思维定势，还给出了两个集合没有交集（练习二
十三第4题第（1）题） 、有包含关系的两个集合（练习二十三第6
题第（1）题）等情况，丰富学生对集合间关系的认识。
四、具体编排
1．例1
（1）例1，通过解决生活中的实际问题（求两个集合的并 集的
元素个数），让学生体会集合概念的含义及集合的运算，学习用集
合的思想方法解决简单的 实际问题。
（2）用统计表的形式给出三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生
名单，提出要解决的问题。
（3）呈现学生小组讨论如何解决问题的场景，提示教师要让学
生自主探索，思考解决问题的方 法。随即，呈现了一一列举出参加
两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），把重复的连起来（找到交集的元素）解决问题的方法，让学生体会在求两个集合的并集
时，它们的公共元素在并集中只能出 现一次。
（4）介绍用Venn图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合
元素的特性：互 异性和无序性，体会集合的运算：交集、并集。
（5）提出问题“可以怎样列式解答？”让学生用计算 解决两个集
合的并集的元素个数问题，脱离具体的集合元素，从集合基数（元
素个数）的角度思 考解决问题的方法。
2．“做一做”

(1)第1题，要求学生根 据集合元素的特征填写维恩图，巩固对
维恩图的认识，进一步体会集合概念的含义和运算。突出强调中间
部分表示什么，让学生用语言表达出“既会游泳的，又会飞的”，加
深对交集含义的认识。 < br>（2）第2题，用表达逻辑关系的语言“既…又…”和“或”提出两个
关于集合运算后的元素个数 问题，让学生体会如何用生活语言表述
两个集合的运算：交集（由属于集合A且属于集合B的所有元素组
成的集合，称为集合A与B的交集）和并集（由所有属于集合A或
属于集合B的元素组成的集合 ，称为集合A与B的并集）。
（3）“思考题”渗透利用一一对应的思想解决问题的方法。A组和B组的小组赛都需要淘汰15人，都需要进行15场比赛，因此，一
共要进行30场比赛。
五、教学建议
1．注意自主探索与有意义的接受学习有机结合
学生对于“重复的人 数要减去”是有经验的，应充分尊重学生的基
础，放手让学生自主探索解决问题的方法。如果学生不能画 出维恩
图，不必一味让学生“创造”，教师可以用讲授法让学生认识并理
解。出示维恩图让学生 先独立填写，再汇报交流。同时利用多媒体
课件或教具，配合学生汇报直观演示将两个集合圈合并的过程 。在
汇报交流时，一要注意引导学生讨论发现“集合中的元素是不能重复
出现的”，体会集合元 素的互异性；“集合元素的顺序可以不同”，体
会集合元素的无序性。二要让学生说一说图中每一部分所 表示的含
义，尤其是“两项都参加的”和“参加这两项比赛的”，体会交集和并
集的含义。
2．重视多元表征，感悟集合思想
在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时，会 用到多
种方法，如画图示或列算式等。教师应放手让学生尝试解决，并充
分展示学生的方法。学 生画的图示并不一定是标准的维恩图，只要
能清楚地表示出两个集合的关系，教师都应给予充分的肯定。 另
外，要注重通过语言描述，让学生在图示与算式这两种表征之间进
行转换，感受集合的知识。 当让学生列式解答时，学生会有多种算
法。教师应让学生结合维恩图说一说算式所表示的意思，借助直< br>观，深刻理解维恩图中每一部分的含义，加深对集合知识的理解。
例如，当学生列式为9+8－3 ＝14后，让学生结合维恩图说一说求出
的是哪一部分，体会两个集合的并集，再说一说这样列式的理由 ，
体会“求两个的并集的基数，就是用两个集合的基数的和减去它们的

交集的基数”这一基本方法。再如，学生列式为8－3＝5，9+5＝14
时。让学生说明“8－3表 示只参加踢毽比赛的”，在维恩图上指一指
是哪两部分相减，体会差集，在说明“9+5表示参加跳绳比 赛的加上
只参加踢毽比赛的”的同时，在维恩图上指一指是哪两部分相加，体
会并集。
3．把握好教学要求
集合思想虽然在小学数学教学中有广泛的渗透，但是此内容并不
是必须掌握的内容。本单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概
念，也不是熟练掌握计算的方法，而是 让学生经历探究的过程，在
解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经
验。 因此，教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求，尽量用
通俗易懂的语言渗透集合思想。例如，对于 集合的术语，如集合，
元素、交集、并集等，虽然在教学中可以介绍给学生，但并不需要
让学生 掌握，只要学生能用自己的语言表达和交流就可以了。教科
书中出现的解决问题都是计算运算后的集合（ 并集或交集）的元素
个数，但重点不是熟练计算，而是让学生通过解决此类问题，了
解、体会集 合概念及运算的道理。另外，教科书中只给出了利用
Venn图表示两个集合的交和并的问题，没有出现 三个集合的情况。
如果学生在解决练习二十三第4题和第6题的时候，尝试用维恩图
表示三个集 合的运算，教师应给予鼓励和指导。
2014-12-22 人教网
《数学广角──集合》重难点突破
安徽省黄山市屯溪现代实验学校 洪志秋（初稿）
安徽省黄山市教科院 高娟娟（修改）
安徽省黄山市黄山区教研室 齐胜利（统稿）
1．引发认知冲突，激发探究欲望
突破建议
（1）激发学生学习的原点，唤起 学生对于“重复的人数要减去”
的知识经验，充分尊重学生的基础。如：有一行同学在做操，从前
数航航排第5，从后数航航排第6，这一行有多少人同学在做操？再
如：趣味题：有两对父子，可只有 3个人，你知道为什么吗？
（2）呈现例1主题图中统计表，提出“这两项比赛共有多少人参
加”的问题，激发学生探究的欲望。
2．重视多元表征，感悟集合思想
突破建议

（1）放手让学生自主探索解决问题的方法，并充分展示学生的
方法 。学生画的图示并不一定是标准的维恩图，只要能清楚地表示
出两个集合的关系，教师都应给予充分的肯 定。
（2）注重通过语言描述，用表达逻辑关系的语言，如：“既…
又…”和“或”提出两个 关于集合运算后的元素个数问题，让学生体会
如何用生活语言表述两个集合的运算，能在图示与算式这两 种表征
之间进行转换，感受集合的知识。
（3）借助直观，深刻理解维恩图中每一部分的含义 ，加深对集
合知识的理解。例如，当学生列式为9+8－3＝14后，让学生结合维
恩图说一说 求出的是哪一部分，体会两个集合的并集，再说一说这
样列式的理由，体会“求两个的并集的基数，就是 用两个集合的基数
的和减去它们的交集的基数”这一基本方法。再如，学生列式为8－
3＝5， 9+5＝14时。让学生说明“8－3表示只参加踢毽比赛的”，在
维恩图上指一指是哪两部分相减，体 会差集，在说明“9+5表示参加
跳绳比赛的加上只参加踢毽比赛的”的同时，在维恩图上指一指是哪< br>两部分相加，体会并集。
3．设计丰富练习，内化集合思想
突破建议：
设 计和选择一些趣味性、基础性、开放性和实践性的素材练习，
围绕着集合思想的感悟、理解和运用展开， 提升学生用数学解决现
实问题的意识和技能。
如果学生不能画出维恩图，不必一味让学生“创 造”，教师可以用
讲授法让学生认识并理解。出示维恩图让学生先独立填写，再汇报
交流。同时 利用多媒体课件或教具，配合学生汇报直观演示将两个
集合圈合并的过程。因此，教师在教学中要注意把 握好知识的难度
和要求，尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如，对于集合的
术语，如集合 ，元素、交集、并集等，虽然在教学中可以介绍给学
生，但并不需要让学生掌握，只要学生能用自己的语 言表达和交流
就可以了。教科书中出现的解决问题都是计算运算后的集合（并集
或交集）的元素 个数，但重点不是熟练计算，而是让学生通过解决
此类问题，了解、体会集合概念及运算的道理。另外， 教科书中只
给出了利用Venn图表示两个集合的交和并的问题，没有出现三个集
合的情况。如 果学生在解决练习二十三第4题和第6题的时候，尝
试用维恩图表示三个集合的运算，教师应给予鼓励和 指导。
三年级上册《总复习》教材分析

安徽省黄山市黟县碧阳小学 汤国英（初稿）
安徽省黄山市教研室 高娟娟（修改）
安徽省黄山区教研室 齐胜利（统稿）
一、单元目标
1．通过总复习，指导学生整 理本学期所学内容，使学生初步形
成知识网络，加深对全册所学内容的理解。
2．借助总复习 中的数学活动，在回顾梳理、查漏补缺的同时，
提高学生应用所学知识解决问题的能力，使不同层次的学 生在原有
基础上得到发展。
3．丰富学生的学习经历，积累复习知识的经验，感受复习的价
值，培养良好的学习习惯。
二、内容分析及教学建议
本单元的内容有三部分组成：一是成长小档案；二是数学活动；
三是综合练习。
1．成长小档案
这部分内容是对全册教材的复习与整理，包括对数学知识的整理
和对 学习中有趣事情的回顾两个方面，更重要的是唤醒学生借助已
有的经验，用自己的方法进行整理和复习。 对数学知识的复习与整
理，教材出示了4幅图，包括四部分的内容：时、分、秒的认识，
多位数 乘一位数，长方形和正方形，分数的初步认识。
对学习中有趣事情的回顾包括：一是对解决问题过程中 所获得的
基本方法、基本活动经验的回顾；二是唤起学生在学习过程中有兴
趣内容的感受记忆。
这样的编排，提示教师在复习时要关注学生在学习过程中获得的
学习方法和情感体验，帮助学生 感受数学学习与生活的密切联系，
感受到数学学习真有趣，增强学生学习数学的兴趣和信心。
2．数学活动
教材在总复习的第二部分以主题活动的方式，让学生在“动”中回
顾， 主要安排了三项数学活动。活动1：数的运算和常见的两内容
的巩固与提高；活动2：通过对两个长方形 拼成的新图形计算周长
的活动，复习长方形、正方形的特征和周长的概念与计算方法；活
动3： 借助“分数墙”巩固分数的初步认识，感受数学的神奇有趣。
3．综合练习
练习二十是对全 册教材所学内容的综合练习，目的是巩固本册所
学的主要内容，进一步体会解决问题的步骤、方法、策略 ，提高学
生运用所学知识解决实际问题的能力。

三年级上册《总复习》重难点突破
安徽省黄山市黟县碧阳小学 汤国英（初稿）
安徽省黄山市教研室 高娟娟（修改）
安徽省黄山区教研室 齐胜利（统稿）
1．体现学生的主体性
突破建议：
复习时，可以先让学生先独立回忆本学期学习了 哪些知识，然后
在小组中说一说互相补充。把回顾、比较、沟通、整理的机会交给
学生，让学生 自己建构起知识与知识的联系。小组汇报时，教师带
领学生梳理，帮助学生经历复习的基本过程，感受复 习的基本方
法，养成梳理知识的习惯。
知识梳理后，师生交流，了解学生对本学期所学知识哪 些掌握的
还不牢固，然后针对实际情况制定有针对性的复习计划。
2．关注学生积极的情感体验
突破建议：
帮助学生感受数学内容与生活的联系、数 学策略的价值、数学学
习有趣，增强学生学习数学的信心，培养学生对数学学习的持久兴
趣。
3．发展学生对量的认识
突破建议：
把分散的数学知识放在一个与飞机有关的生活 情境中适当归并，
便于学生在复习时更加全面、深入地理解和掌握所学的知识和技
能。同时也使 学生在复习相关知识的同时充分感受到数学和生活的
密切联系，进一步体会数学的应用价值。复习时让学 生回忆，我们
学过了哪些计量单位，然后出示数学活动的主题图，首先复习量与
计量（长度、质 量、时间）、计算，结合练习二十四的第1、2、
3、4题的练习继续强化巩固量的内容。
4．提高学生的计算能力
突破建议：
本活动通过创设现实的问题情境，将数与代数 领域的部分内容有
机串联起来，教学时引导学生观察航线表，从中获取信息，独立自
主解决问题 。通过质疑：“计算万以内输的加、减法要注意什
么？”、“多位数乘一位数要注意什么？”使学生进一 步理解和掌握万
以内数的加、减法和多位数乘一位数的算法和算理。复习时，可结
合练习二十四 的第5、6、7、8、9、14、17、18题，帮助学生感受
正确计算（口算、估算、笔算）都是解决 问题的重要方法，根据实

际情况选择合适的方法（估算、归一、归总）解决问 题，提高学生
灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
5．发展学生的空间关系，积累学习几何图形的活动经验
突破建议：
在动手操作丰 富体验，发展学生的空间观念。从复习周长概念，
计算长是6厘米，宽3厘米的长方形的周长切入，提出 用两个这样
的长方形拼成新的长方形或正方形的周长是多少？学生通过画一
画、拼一拼得出新的 图形，找到相关数据，计算出周长。引导学生
观察比较，发现拼成的新图形的周长并不是单个长方形周长 的两
倍，而且，由于拼法不同，周长也不相同。结合练习二十四的第
11、12、16题，使学 生进一步感受到图形之间的联系，发展空间观
念。
5．学生发现问题、提出问题、解决问题的能力
“分数墙”既能帮助学生回顾本册所学的分数的初步认 识，又为学
生进一步探索分数的性质提供了空间。“分数墙”是按照“几个几分之
一就是几分之 几”的原理，对分数（真分数和1）进行分解而得到的
模型，可以直观地两个分数的大小进行比较，同时 可以直观的进行
同分母分数的加减计算，还可以发现分数的基本性质。用好“分数
墙”让学生感 悟数形结合的思想和方法，发展学生的数感。
突破建议：
出示“分数墙”后，先提问：你能 从“分数墙”中找到那些分数知
识？“分数墙”中藏了哪些分数奥秘？你还能提出其他数学问题并解答吗？然后给足学生观察和交流的时间、空间，使学生在相互交流
中，完善对分数的认识。鼓励学生 发现问题，提出问题并解决问
题，使不同程度的学生可以得到不同程度的体验和收获。结合练习
二十四的第10、13题的练习，进一步巩固分数的认识，提高学生运
用所学知识解决实际问题的能力。



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