开学季图片-秋膘

课 题：完 全 平 方 数
授课时间：10月29日
一、本课知识点和能力目标
1．知识点：
个位数的计算或判断，需要掌握由一般到 特殊的归纳思
想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数 ，有其独特的性质，通过
学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全
平方数的 性质解决一些数学问题。
2．能力目标：
本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进 行计算，
从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。

三、本次授课节次及内容安排
第1课时：个位数的判定。
第2课时：完全平方数
第3课时：典型例题剖析
第4课时：课堂反馈.

四．课外延伸、思维拓展

第一课时

[知识要点
]
个位数知识：
1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。
(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。
(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周
期
变化。
【经典例题】
例1.求1997
1999
的个位数。

答案：3。
< br>例2.试证：（）153
53
33
33
是10的倍数；（2）31998
4
1998
是5的倍数。

答案：（1）0；（2）3。

例3.数3
10001
7
10002
13
10003
的个位数字是什么？

答案：9

例4.a1997
答案：1


1996
1999
,求a的个位数字。

尝试练习：
1.求3
33
的個位數字.(香港青少年數學精英選拔賽200 0~2001)
2.78
87
87
78
的個位數字是______ _?(第一屆華羅庚杯香港小學精英賽)
3..2
1998
3
19997
2000
的個位數字是_______?(1999年香港數學奧林匹克)
4 .2001
2001
2002
2002
2003
2003

的個位數字是_______?(2001年香港數學奧林匹克)
5.6
32(73
13
17
8
)的個位數字是_______?
6.3
2111
10的餘數是多少?
答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2；

第二课时
[知识要点
]
如果n是一个整数，则n
2
就叫完全平方数。
性质：
（1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9.
（2） 平方数被3除的余数只能是0和1。
（3） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.
（4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。
（5） 平方数之积是平方数。
（6） 平方数的正约数个数为奇数。

根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：
（1） 两相邻平方数再没有平方数。
（2） 个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。
（3） 正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。
（4） 个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。
（5） 若存在质数p|a,而 p
2
†
a,则a不是平方数。
【经典例题】
例1. 试证：形如3n+2的数不是完全平方数。
证明：整数被3除，余数分别为0，1，2。
易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，
被3除余1的数的平方(3k+1)
2< br>=9k
2
+6k+1余数仍为1.
被3除余2的数的平方(3k+2)
2
=9k
2
+12k+4余数仍为1
故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。

6）7

（

例2. 求证：奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍
数。
证明：奇数(2n+1)< br>2
=4n
2
+4n+1=4n(n+1)+1,
n、n+1为连续整数，必有一个偶数.
偶数（2n）
2
=4n
2
,为4的倍数。
故得证。
例3. 使得（
n
2
19n91
）为完全平方数的自然数n的个数是多少？ 分析：若n
2
-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全
平方 数。
解：n
2
19n91(n9)
2
(10n),< br>当n10时，（n
2
19n91）不会为完全平方数。
当n10时，（ n
2
19n91）才能为为完全平方数。
（n
2
19n91 ）为完全平方数的值有2个。
例4. 一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍
是平方数，试求这个平方数。

经计算：当n9或10时，（n
2
19n91）为完全平方数。
解：设 这个自然数为x,得
2

x-45=m

22
其中m,n为 自然数。则nm89.

2


x44n
(nm )(nm)89.

89是质数，

nm89


得n=45,m=44.

nm1
代入得： x=1981.

尝试练习：
1.判断11、111、11 11、…、
111...11
，…这串数中是否有完全平方数。
(n1)个1
答：没有完全平方数。（由性质4可得）

2.已知A< br>4ab3
a2是a2的算术平方根，B=
3a+2b-9
2-b是2 b
的立方根，求AB的n次方根。

4ab32

a2< br>得

解：由题意得：


3a2b93b3.

所以A=2，B=-1。
当为奇数时，A+B的n次方根为1。
当为偶数时，A+B的n次方根为±1。

3.9999999919999的末尾有幾個零?

2004個2004 個2004個
方法一：由特殊到一般研究规律得：末尾有4008个0。
2
方法二：原 式（10
24
1）（210
24
1）1
2
（1 0
24
11）10
48
.

4.已知1176a是一个完全平方数，求a的最小值。
解：a的最小值为6.
5 .
一个四位正数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的
个数有几个？
解：设这个正数为x,
则1000x9999,1400x10399.
而3 8
2
1444140037
2
1369,
101
2
1020110399102
2
10404.
故共有64个四位数。

第三课时
【典型例题剖析】
例1. 已知四位数
abcd
是11的倍数，且有b+c=a，
bc
是完全平方
数，求此四位数。
__________
解：

abc d是11的倍数，则有ac(bd)11k(k1,0,1),

bc是完全平方 数，c0,1,4,5,6,9.

acbd
(1)当k0,由

d2c.

bca
c0,1,4.
当c=0时,d= 0,则a=b=0（不合题意，舍去）
当c=1时,d=2,bc是完全平方数，则b=8.
当b=8时，a=9.即满足条件的四位数为9812。
当c=4时,d=8,bc是完全平方数，则b =6.
当b=6时，a=10.舍去。

acbd11
(2 )当k1,由

2cd11,

bca
c6或9.
当c=6时,d=1,得b=1或3,
当b=1时，a=7;当b=3时，a=9.
满 足条件的数有7161，9361。
当c=9时,d=7,bc是完全平方数，则b=4.此时a=13 .(舍去)

acbd11
（3）当k1,

2c d11,c0,舍去。

bca
即满足条件的四位数是9812，716 1，9361。


_______
___
___
___
___

例2. 设有四个正整数2，5，13和d,
其中d2,5,13 .
求证：在这四
个数中存在两个数a、b，使得（ab-1）不是完全平方数。
证明 ：显然(25-1)，(213-1)，(513-1)皆为完全平方数，
若(2d-1),(5 d-1),(13d-1)均为平方数，
设2d-1=x
2
,5d1y
2
,13d1z
2
.
由2d-1=x
2
得x为奇数，设x 2x
1
1.
2d1(2x
1
1)
2
4 x
1
2
4x
1
1,
d2x
1
2< br>2x
1
1为奇数。
y、z均为偶数，
设y=2y
1,z2z
1
而z
2
y
2
8d,即(z+y)(z -y)=(2z
1
+2y
1
)(2z
1
-2y
1< br>)=4(z
1
+y
1
)(z
1
-y
1
)=8d
(z
1
+y
1
)(z
1
-y
1
)=2d,
由(z
1
+y
1
),(z
1
-y
1
)同奇偶得d为偶数。矛盾。
(2d-1),(5d-1),(13d-1)存 在非完全平方数。

例3. 一个四位数
xyzt
是一个平方数，且适合x= y+z，x+z=10t,求
这四个数。
______
解：0xz18,且x z10t,xz10,x10z
又

yxz(xz)2z 102z0,
得：z5.
又x10z9,得z1,
故（z,x,y）有 以下可能：(1,9,8);(2,8,6);(3,7,4);
(4,6,2);(5,5,0).< br>对应的数为9811，8621，7431，6241，5051。
由性质（4）9811，74 31，5051不是完全平方数，
经验证：6241符合题意。
【尝试练习】

1. 求证：四个连续整数的积加1是一个完全平方数。

证明：连续自然数n,n+1,n+2,n+3.
则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n
2
+3n+1)
2
.
命题得证。
2. 试证：完全平方数个位数字是奇数时，其十位数上的数字必为偶
数。
证明：当数为一位数时， 显然其完全平方数的个位数为奇数时，
十位数为偶数。(完全平方数为个位数时也符合题意。)
若这个数为多位数，设个位数为b,则该数可表示为10a+b,
(10a+b)
2
= 100a
2
+20ab+b
2
.显然偶数位数字为偶数。

第四课时

【课堂反馈】 姓名 得分
1.能够整除5
11
7
13
的最小质 数是（5）。
A.2B.3C.5D.7
_______
2.p12
427
3
(935)
4
的个位数字是0.
_______< br>
3.a、b是自然数，且1176a=b
4
,则a的最小值是2646.
4. 下列四个数：921438，76186，750235，2660161中，只有_2660161_
是完全平方数。
5. 能被252整除的最小完全平方数是1764.
提示：252=2
2
*3
2
*7，
6. 在下列括号中填入适当的正整数，
5(3)
2
(2)
2
;23 (12)
2
(11)
2
;1985(993)
2
( 992)
2
;

从以上填空中，你发现了什么规律？请用等式表示出来。
2k+1=(k+1)
2
-(k)
2

7.五个连续自然数的平方和不是平方数。
证明：连续自然数n- 2,n-1,n,n+1,n+2.
(n-2)
2
+(n-1)
2
+ n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
5(n
2< br>2),

5|5(n
2
2)，但5
2
不整除5( n
2
2)。
5(n
2
2)不是完全平方数。
8.一个 正整数若加上50得一个完全平方数，若减去31又得一个完全
平方数，求这个正整数。
简解：类似于第二课时例4.
解得：正整数为1631或175或31
9.试证：a(a+1)+1(a是自然数)不能是某个整数的平方。

证明：a
2
a(a1)1a
2
a1(a1)
2
a (a1)1不是某个数的平方。
解：设n10xy,x,y为整数，且0y9,
则 n
2
100x
2
20xyy
2
.
若n
2
的十位数字为奇数，则y
2
的十位数字也为奇数，
y
2
16或36。
则n
2
的个位数字为6.


四．课外延伸、思维拓展
1.若n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：n+1是3个完全平
方数的和。



10设n 是整数，如果n
2
的十位数字是7，那么n
2
的个位数字是多少？

证明：设3n1m
2
,显然3不整除m,
因此 ，m3k1或m3k（2k是自然数）。
m
2
1(3k1)
2< br>1
若m3k1,则n3k
2
2k
33
此时n 13k
2
2k1k
2
k
2
(k1)
2
.
m
2
1(3k2)
2
1
若m3k2 ,则n3k
2
4k3.

33
此时：n13k
2
4k31k
2
k
2
(k2)
2
.
综上所述，n1是3个完全平方数的和。
2.证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式 的数不能表示为两个整数的
平方差。
证明：（反证法）
若2(2n1)x
2
y
2
(x,y为正整数)（xy）(xy).
由xy和xy 的奇偶性相同，
得4（|xy）（xy）.
但4不整除（22n1）,矛盾。
3 .正整数n不同的约数的个数记为N（n），如24的约数是：1，2，3，
4，6，8，12，24共 8个，记N（24）=8。那么N（1）+N（2）+…+N(1994）
是奇数还是偶数？为什么？
简证：根据性质（6），平方数的正约数的个数为奇数个，非平方数的
正约数的个数为偶数个。
而44
2
<1994<45
2
,因此，在1，2，3，…，1994 中有44个平方数，
1950个非平方数。即在N(1),N(2),…,N(1994)中，有44 个奇数，1950
个偶数。全部的和为偶数。