体积换算公式-普罗旺斯的传说

第八讲 完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全 平方数，也叫做平
方数。例如：
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81， 100，121，144，169，196，225，256，289，
324，361，400，44 1，484，……
判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘< br>积，这就需要用到分解质因数的知识。

阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数 目是1、4、9、16……等数时，小石子
都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：

分别记各图所示的小石子个数为
a
i
(
i
＝1、2、3、……、n)不难发现：
a
1
＝1＝
1
2

a
2
＝1＋3＝4＝
2
2

a
3
＝1＋3＋5＝9＝
3
2

a
4
＝1＋3＋5＋7＝16＝
4
2

……… < br>a
n
＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝

1(n1)

n
＝
n
2

2
毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和 图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何
连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是 奇数个数的平方）
【例一】 求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）

一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，
如果剩下的 球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？

【例二】 21×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？






练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？





练习二：
A
2
＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（ ）。





【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？







一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？







【例四】 （01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或 明或暗，十
分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；
那么第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。

练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？






练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？






【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？






一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？






课后作业：
1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：

· · · ·

· · ·



他们发现：
·
· ·
· ·
· · ·
· · ·
· · · ·
· · · ·
· · · ·
……
1＝1，1＋3＝
22
＝4，1＋3＋5＝
3
2
＝9，1＋3＋5＋7＝
4
2
＝16……
那么第100个图有 个点，第n个图有 个点。
也就是说：从1开始的连续n个奇数的和，等于 。

2、 黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、3、5、7、9……，擦掉其中一个奇数
后，剩下的奇数之 和为1998。那么擦掉的奇数是多少？

3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？





4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的 年龄之
积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？





5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。





6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。 第一次他们都向后转，
第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四 次报数
是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问：这
时面向教官的同学有多少个？





7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？






8、1～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？






9、求一个能被180整除的最小完全平方数。

10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？






11、已知一个自然数n满足：12！（即1× 2×3×4×……×12）除以n后，商是一个
完全平方数，则n的最小值是多少？






大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算
2008-11-17
湖北省宜昌市第十八中学: 谢玉林
大于100小于10000的完全平方数开平方用心算， 正确率达100﹪。现介绍其方法如
下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15＝225，2 5×25＝625，35×35＝1225，45
×45＝2025，55×55＝3025，65×6 5＝4225，75×75＝5625，85×85＝7225，95×95＝9025。
上面这组计算 经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位
数字乘以十位上的数字加1 得出。如:85×85＝7225中的72是由8×9得出的。又如65
×65＝4225中的42是由 6×7得出的。 现在我们来研究大于100小于10000的完全平方
数的开平方:
例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7
的平方＝49＜57＜64＝8的平方。 所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。 又因
为 5776＞5625＝75×75，且个位是6 ， 而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的
平方， 所以5776的算术平方根的个位上的数字是6； 所以5776的算术平方根是76。
例2:求6724的算术平方根解:①分节:67，24 ②观察67在那两个平方数之间 64＜
67＜81 ③取小定十位: 十位上的数字是8 ④与85的平方＝7225比较定个位: ∵ 6724
＜7225且个位是4， 而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方 ∴6724的算术
平方根个位上的数字是2 所以6724的算术平方根是82 例3:求1369的算术平方根解:①
分节:13，69 ②观察取小:∵9＜13＜16，∴3是十位上的数字 ③与35的平方1225比较
定个位:∵1369＞1225，且个位数是9 在5至9之间的平方数个位是9的只有7，∴1369