幻剑术-大班育儿心得

球的表面积和体积
4
3
1．球的表面积公式：S
球面
＝4πR(R为球半径) 2．球的体积公式：
V
球
＝
π
R
(
R
为球 半径)
3
2
球的表面积和体积的计算

过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm
2
，试求此球的表
面积．


若截面不过球的半径的 中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面
积为π，试求此球的表面 积和体积．






球的表面积及体积的应用
一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入 水并且放入一个半径为r
的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是 多少？





圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，
若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？








有关球的切、接问题
求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．
1

有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切 ，第三个
球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．







一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm
2
和400π cm
2
，求球的表面积．






基础训练
1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
1
A. B．1C．2 D．3
2
2．用过球心的平面将一个球平均分 成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．

3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm
2
，试求此球的表面积
和体积．
4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )
A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π
5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条 棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，
2

则这个球的表面积是( )
A．25π B．50πC．125π D．都不对
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2RC．3R D．4R
6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa
2
B.
7
πa
2
C.
11< br>33
πa
2
D．5πa
2

7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后 ，水
恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.



提高训练．
1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这 三个面的距离分别为4、5、5，则这只
小球的半径是 （ ）
A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11

2.已知
A
、
B
、
C
是球
O
的球面上三点，三棱锥
OABC
的高 为
22
,且
ABC
=60º ，
AB
=2，
BC
=4，则球
O
的表面积为( )
A．
24
B.
32
C.
48
D.
192


3.一几何 体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．
4

B．
3


C．
2

D．





4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )
A.
32626264
3
B. 2+
3
C. 4+
326
3
D.
3



3

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）
A.5π





6.【江西省抚州市临川一中201 5届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6
的正三角形，若这 个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）


A． 18





7.【浙江省重 点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．

4

B．
3

C．
2

D．






8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都 为a，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A.

a
2
B.

9.【四川省成都 实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边
长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )
A.
3

B.
4

C.
2

D.




B．36 C． 45 D． 54
B.12π C.20π D.8π
7
2
11

a
C.

a
2
D.
5

a
2

33
5
2
4

10. 【全国高考新课标（I）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm， 将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度 ，则球的体积为( )

500π
3
A、cm
3



11. 矩形
ABCD
中，
AB 4,BC3,
沿
AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
BACD
,则四面体
ABCD
的外接球
的体积是( )
A.
866π
3
B、cm
3
1372π
3
C、cm
3
2048π
3
D、cm
3
5

B.

C.

D.


12963
12.在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（ ）

1

1

A. (2－1)R B . (6－2)R C.R D. R
43

13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .


14.三棱锥
PABC
的四个顶点均在同一球面上，其中
ABC
是正三角形，
PA
平面
ABC
，
PA 2AB6
，则该
球的体积是 .


15. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是
16. 四棱锥
PABCD
的五个顶点都在一个球面上 ，且底面ABCD是边长为1的正方形，
PAABCD
，
PA
则该球的体 积为 _ ．
2
，

17. 过球
O
表面上一 点
A
引三条长度相等的弦
AB
、
AC
、
AD
，且两两夹角都为
60
，若球半径为
R
，求弦
AB
的< br>长度．


5

19. 【改编自浙江 高考题】已知球
O
的面上四点A、B、C、D，
DA平面ABC
，
ABBC
，
DA=AB=BC=3
，
求球
O
的体积.

20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形
ABCD
中，
AB= 2DC=2
，
DAB=60
0
，
E
为
AB
的中点，将
ADE
与
BEC
分布沿
ED
、
E C
向上折起，使
A、B
重合于点
P
，求三棱锥
P-DCE< br>的外接球的体积.

21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为
3
，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.


22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
半径．





1
，经过3个点的小圆的周长为
4

，求这个 球的
6


6