寄生虫韩剧-凤凰涅盘

一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体 的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六
个全等的正方形组成的，见 图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一 展开图是六个
两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法， 还
有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下 底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到
圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长 方形的长是圆柱底面圆
的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱 的平面展
开图。

4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面 圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开
图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆 锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成

的，这个扇形又叫圆锥的侧 面展开图。具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
2
正方体的表面积=6×a
3
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
2
圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R）
2
圆柱体的体积=πRh（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
2
圆锥体的全面积=πRl+πR


母线长与高）。
三、例题
例1 图6—5中的几何体是一个 正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7
（a）、（b）、（c）也是这个正方体的 平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画
出来，请你给补上。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面 （即过长方体上
四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B 1C1的中点，
请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点
绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

例4 图6—14中的几何体是一棱长 为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各
打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔， 求打孔后几何体的表面积是多少（π
=3.14）？

例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多
少？

例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水

中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中 取出后，杯里
的水将下降几厘米？（π=3.14）

例7横截面直径为2分米的一 根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求
原来那根圆钢的体积是多少（π=3. 14）？








例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体
积是多少（π=3.14）？
分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按 题意画图6—17。
在图6—17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式： 弧长=2лR
×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧 长就
是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高
h。



例9 图6—18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱A B、AD、AA1的中点。现在沿三角
形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原 正方体体积的几分之几？

例10 图6—19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6—20是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上
时，水面 高各为多少厘米？


1、分析与解：从图6—5和图6—6中可知： 与；与 ；与互
相处于相对面的位置上。只要在图6—7（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在 互
为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与
再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与
最后再看图6—7中的（c），同上，1与
处在互为对面的位置上。
处在互为对面的位置上。
，2与4处在互为对面的位置上。
图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

2、分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—
10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。

3、分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6

—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的 一个顶点M到达
不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长 方
形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

4、分析与解：因为正方体的棱 长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。
这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来 正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱
的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘 米。
正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
5、分 析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层
7个，因为18 -7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，
前、后；左、右两 个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以
上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
答：（略）
6、分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际 是一个小圆柱，
这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥 体
铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
因为圆锥形铅锤的体积为

2
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
7、分析与解：根据圆柱体的体积公式， 体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截
成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上 四个底面圆的面积，所以有下面式子：
2
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）
=2πx+4π
根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：

2

圆钢的体积为π×（2÷2）×10≈31.4（立方分米）
答：（略）
8、









所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
在直角三角形中，根据勾股定理有：
222222
10=h+R，即h=10-R
=100-36=64，h=8（厘米）


9、分析与解：因为锯 掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角
形AGF所在的立方体的上底 面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的
3
一个三棱锥，如果我们假设 正方体的棱长为a，则正方体的体积为a。
三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为




分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水 的体积，与以
梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6 —20
可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因
为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推
算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为

以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值

此时水面的高度为：54÷6=9（厘米）
以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的

某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。
为方 便起见，我们把C面适当放大成图6—21，在图6—21中，因为PQ平行于FJ，PT
垂直于FJ， 所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为
1.5厘米 ，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形
状一样，面积 相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与
现在以三角形PQG为底 面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水
面的高度等于PQ的长度，即水面高 为1.5厘米。