曹操是哪里人-林肯简介

表面积与体积

一、填空题
1. (2010·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的
侧面积是________．
2. 各棱长为1的正三棱锥的全面积为________．
3. 长方体的一个顶点上三条 棱的长分别为2,4,6，，且它的八个顶
点都在同一个球面上，这个球的表面积为________．
4. 一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则此
三棱柱的体积为________．
5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥
的全面积是________．
6. (2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三
个相同的球(球 的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面
的球(如图所示)，则球的半径是_______ _cm.

7. (2010·宁夏)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
8. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母
线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm
2
.

9. (2010·全国Ⅱ)已知正四棱锥S- ABCD中，SA＝23，那么当该
棱锥的体积最大时，它的高为________．
二、解答题
10. 已知正三棱柱形木桶，底面边长为2，侧棱长为3，这样的
π< br>桶里能否放进一个体积为
3
的小球(桶壁厚度忽略不计)?








11. (2011·扬州中学期中 试题)如图，某养路处建造圆锥形仓库用
于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)．已建的仓库的底 面直径
为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的
食盐，现有两 个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4 m(高不
变)，二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积；
(2)分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积；
(3)哪一个方案更经济些？

12. (2009·辽宁改编)正六棱锥P- ABCDEF中，G为PB的中点，
求三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比．








参考答案
1. 2 解析：圆锥的底面半径为r=2
2
-3=1，则圆锥的侧面积为
S
侧< br>=2.

33
2. 3 解析：每个正三角形的面积为
4
，全面积为
4
4=3.
3. 56 解析：长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线．设
球半径为R，由题意知2R=2
2
+4
2
+6
2
=214，则R=14.所以球的表
面积 为S=4R
2
=56.
813
4.
4
解析：该正 三棱柱的底面边长为3，高为9，则其体积
3
2
813
为V=Sh=
4
39=
4
.
5. 3 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2r.
3
由题意知，轴截面面积S=4
(2r)
2
=3r
2
=3，∴r=1.
故圆锥的全面积S=rl+r
2
=3.
4
6. 4 解析 ：设球半径为r，则由3V
球
+V
水
=V
柱
可得3
3
r
3
+r
2
8=r
2
6r，解得r =4.
7.
7
2
2
a 解析：如图，P为三棱柱底面中心， O为球心，易知AP=
33


1

2
7
2
331
2

3

2


2< br>a=
3
a，OP=
2
a，所以球的半径R满足：R=
a
+
2
a

=
12
a，
3


7
22
故S
球
=4R=
3
a.
8. 2 600 解析：S=(50+80)20=2 600.
2

a
2
9. 2 解析：设底面边长为a，则高h=SA
2
-

a

2
=12-
2
，

2


1
2
1
2
1
2
所以体积为V=
3
ah=
3
a12-
2
a=
11
6
1
64435
12a-a，设y=12a-a，则y′=48 a-3a，令y′=0解得a=0
322
或4，易得当a=4时，V最大，此时h=2.
41

10. 设球的半径为R，则
3
R
3
=< br>3
，解得R
3
=
4
，而正三棱柱底面内
3311切圆半径r=
6
2=
3
，则R
6
=
16，r
6
=
27
，则R
6
＞r
6
，即R ＞r，故这

样的桶里不能放进一个体积为
3
的小球．
11. (1)当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m，高为
1
2
256
4 m，体积V
1
=
3
84=
3
 m
3
；
当仓库的高比原来大4 m时，底面半径为6 m，高为6 m，体积
1
2
为V
2
=
3
68=96 m
2
.
(2)当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m，高为4 m，
侧面积为S
1
=88
2
+4
2
=325 m
3
.
当仓库高度比原来大4 m时，底面半径为6 m，高为8 m，
侧面积为S
2
=68
2
+6
2
=60 m
2
.
V
1
8V
2
888
(3)∵S
=，
S
=
5
，且＜
5
.
1
35
2
35
所以第二个方案更经济一些．