可爱公主-基本不等式

第27周表面积与体积（一）
专题简析：
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图 形到
立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌 握这些几何
图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结 合的好习惯，解题
时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1 ）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2） 把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之， 把
两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3） 若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
例题1:
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长 10厘米、宽2厘米、高2厘米的小 长
方体，剩下部分的表面积是多少？
这是一道开放题，方法有多种：
① 按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592平方厘米。

②
挖，剩下部分的表面积为
按图27-2所示，在某个面
632平方厘米。

图
27--2
③
两个对面，剩下部分的表面积为
按图27-3所示，挖通某
672平方厘米。
图
27--3
练习1：
1、 从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2厘米的 小
正方体，剩下部分的表面积是多少？
2、 把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小 厂
房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分 米？
3、 在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是 1厘米的小正方体后，表面积会 发
生怎样的变化？
例题2：
把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求 这个
立体图形的表面积

要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个
方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5所示）

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
表面积可米用（S上+S左+S前）
X
2来计算。
整个立体图形的
（
3
X
3
X
9+3
X
3
X
8+3
X
3
X
10
）X
2
=
(
81+72+90
)X
2
=243
X
2
=486 (平方厘米)
答：这个立体图形的表面积是 486平方厘米。
练习2:

1用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面 积。

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们 的
表面积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成 64个相等的小 正
方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？
例题3：
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方 体，
这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体 的表
面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合

面的面积最大，即减少两个9
X
7的面。
（
9
X
9+9
X
4+7
X
4
）X
2
X
2
—
9
X
7
X
2
=
（
63+36+28
）X
4
—
126
=508—126
=382 （平方厘米）
答：这个大厂房体的表面积最少是 382平方厘米。
练习3：
1、 把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积 是
多少？
2、 将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼 成
一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。
3、 用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中 表
面积最小的是多少平方厘米？

例题4：
一个长方体，如果长增加 2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米, 则体积
增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表 面积。 我们知道：体积=长乂宽
X
高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽
X
高
=40-2=20 （平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长
X
高=90 -3=30 < br>（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长
X
宽=96-4=24
（平方厘米）。而长方体的表面积=（长
X
宽+长
X
高+宽
X
高）
X
2= （20+30+24）
X
2=148 （平方厘米）。即
40 - 2=20 （平方厘米）
90 - 3=30 （平方厘米）

96 - 4=24 （平方厘米）
（
30+20+24
X
2
=74
X
2
=148 （平方厘米）
答：原 长方体的表面积是148平方厘米。
练习4:
1、 一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米,
则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的 表面
积是多少平方厘米？
2、 一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成
为一个正方体，其表面积减少了 120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？
3、 有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、
高都是质数，这个长方体的体积是多少？

例题5：
如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱 组
成一个物体。求这个物体的表面积。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实 际上
三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等 于一个大
圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

3.14
X
1.5
X
1.5
X
2+2
X
3.14
X
1.5
X
1+2
X
3.14
X
1
X
1+2
X
3.14
X
0.5
X
1
=3.14
X(
4.5+3+2+1
)
=3.14
X
10.5
=32.97 （平方米）
答：这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5：
1、 一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有 一
个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。
2、 用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？
3、 如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在
上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10厘米，侧面上的洞口是
边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4厘米的圆，求该立方体的表面积 和体
积（口取3.14 ）。
不
图
27—12
I
15
答案：
练1
1、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面 3个1
X
1的正方形，新增加了左右 下
面三个1
X
1的正方形，所以表面积大小不变。
2、 4
X
4
X
6-2
X
2
X
2 = 92 平方厘米
3、 中心挖去的洞的体积是：1
2
X
3
X
3- 1
3
X
2= 7立方厘米，挖洞后木块的体积：3
3
- 7 =20
立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是 1
2
X
4- 1
2
= 3平方厘米，挖洞后木块 的表面

积：（3
2
+3
）X
6= 72平方厘米。
练2
1、从三个不同的方向看，得到图答 27- 1：
从上往下看 从前往后看 从左往右看
(1
X
1
X
12+1
X
1
X
8+1
X
1
X
7
)X
2 = 54
平方厘米

2、 (2
X
2
X
9+2
X
2
X
9+2
X
2
X
7
)X
2 = 200 平方厘米
3、 因为64= 4
X
4
X
4,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4被，那么大正方体
的表面积是小正方体的4
X
4= 16倍，小正方体的表面积是：384- 16= 24平方厘米 练
3
1、 将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2个30十6= 15平方厘米，拼成大正方
体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1个30十6= 15平方厘米，所以大长
方体的表面积是30+30+6= 35平方厘米。
2、 要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答
27- 2两种：表面积都是(3
X
3+3
X
4
X
2
)X
2 = 66平方厘米。
3、 设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是 x
2
平方分米。 其< br>余的面积为2x
2
平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：
8
X< br>2
+8
X
2x
2
= 600 x =5
大长方体的体积是：5
X
5
X
2
X
5 = 250立方分米
练4
1、 (48- 2+65- 5+96- 4
)X
2= 122 平方厘米
2、 减少的表面积实质是高度分别为 2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之 和。
把两个合并起来，用120-( 2+3)= 24厘米，求到正方体底面的周长，正方 体的棱长就
是24- 4= 6厘米。圆长方体的体积是：6
X
6
X(
6+3+2)= 396立方厘 米
3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长
X(
宽 +高)，209= 11
X
19,
所以长=11，宽+高=19，或长=19，宽+高=11，根据题意，宽和高只能是17和 2,长方
体的体积就是11
X
17
X
2 = 374
练5
1、 40
2
X
6+3.14
X
4
X
10
X
2 = 9651.2 平方厘米
2、 用两个同样的工件可拼成图答27- 3的圆柱体。
3.14
X
15
X(
46+54)十 2 = 2355 平方厘米
3、 立方体的表面积和是：6
X
10
2
-
4
2
X
4-2
X
3.14
X(
2 )
2
= 510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
2
4
2
3.14
X
4
X(
10
-
4
)
+4
X(
10
-
4
)X
4
X
2+4
X
2
-
3.14
X(- ) X
2
=
274.24 平方 厘米
表面积是：510.88+274.24= 785.12平方厘米
体积是：10
3
—
4
2
X
10
X
2+4
3
- 3.14
X(
4 )
2
X(
10-4)= 668.64平方厘米