体积和表面积,容积的区别

别妄想泡我
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2021年01月03日 12:57
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化学培训-轻盈的意思

2021年1月3日发(作者:隗羽)


,.







区别
表面积 体积
物体所占空间的( )。
容积
容器所能( )物体的
( )。
意义 六个面的面积之和
计算
需要
的元

长、宽、高(特殊
①正方体可知道一个面的面积②想对
面是正方形的长方
体可知道底面周长
和高)
长、宽、 高或底面积和高①长、宽、高②放入物体
(或横截面的面积和长方前液体的体积和放入液体
体的 长) 后的体积③拿出物体前和
拿出物体后液体的体积
计算
公式
和方

规则物体:
长方体:
计算方法
长方体:V=a×b×h
规则物体:
长方体:V=abh
正方体:V=a
3
但需要从里面测量
不规则物体:
排水法
S长=2×a×b+ 2×正方体:V=a×a×a
a×+2×b×h
S正=a×a×6


常用
单位
计算
结果
实质
cm
2
dm
2
m
2
cm
3
dm
3
m
3


L mL
有多少个面积单
位?
有多少个体积单位? 有多少个容积单位


,.
实际
应用
题问
题明
显特


①表面积?
②共用多少铁皮?
③贴纸的面积?
③涂漆的总面积?
①体积?
②空间的大小?
①容积?
②升?
③需要三合土、砂石多少③最多能装水多少?
立方米?
6个面、5个面、4
个面的总面积
和露出面的个数无关,只容器中物体的体积,可以
根据长、宽、高或底面积为液体的体积,也可是固
和高计算物体中包含多少体的体积
个体积单位
体积和表面积、容积的区别

表面积实际问题解决技巧:
①抓典型特征
含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词,一定是求表面积的问题。
②判读面的个数。
首先找题中是否含有:“无盖、上下面不贴等关键词,如果无盖,就是计算 五个面的总面积,上下
面不贴就是求前后、左右四个面的面积。
其次根据问题的实际情况判断 ,如游泳池和鱼缸就不算上面,衣柜和洗衣机罩就不算底面等,即
求5个面的总面积。烟囱给长(高)的 数值,一般左右(或上下)是空的,就是求四个面的总面
积。
表面积典型实际问题:


,.
类型一:计算长方体的五个面的总面积。(无底或无盖)
计算公式:S长=a×b+ 2×a×+2×b×h
技巧:记住求6个面长方体表面积的计算 公式,当少算上面的面积或下面的面积时,就把2个长
乘宽的面,只算一个。正方体就只算5个正方形的 面。
典型问题:亮亮家要给一个长0.75米,宽0.5米,高1.6米的简易衣柜换布罩,没有底面 ,至少
需要用不多少平方米?



同步练习:
(1)计算长方体的五个面的总面积。(无底)
学校要粉刷新教室。已知教室的长是8m,宽 是6m,高是3m,门窗的面积是11.4m
2
。如果每
平方米(求表面积的特征)需 要4元涂料费,粉刷这个教室需要花费多少钱?





(2)计算长方体的五个面的总面积。(无盖)
新建的游泳池长50m,长是宽的2倍,深2 .5m,现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖,一共
需要多少平方分米(求表面积的特征)的瓷砖?


,.





拓展延伸:如果每块瓷砖的边长是20cm,共需要多少块瓷砖?
(3)计算正方体的五个面的总面积。(无盖)
一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体,棱长是6 dm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米(求
表面积的特征)
?

棱是用角钢
四周用玻璃做成
底面用铁板

×




类型二:计算长方体的四个面的总面积。(无上下底)
1. 缺少长
×
宽的两个面:一个长方体茶叶盒,长10厘米,宽6厘米,高12厘米。如果围着它贴
着一圈商标纸(上下面不贴),这张商标纸的面积至少需要多少平方厘米?




2.缺少长
×
宽的两个面:一个大厅有4根长方体柱子,它的底 面是边长为4分米的正方形,柱子高3
米,把这4根柱子涂上油漆,涂漆的面积是多少?


,.






3.缺少长
×
高的两个面:一通风管尺寸如图,求做这个通分管至少需要多少铁皮?





60cm
30cm
20cm


类型三:拼接或截断计算变化之后的物体的表面积。
计算方法:拼接:原来的总面积-重叠处减少的总面积。
截断:原来的总面积+增加的面积。
典型问题:
(1)拼接:A两个棱长为1厘米的正方体 拼成大长方体,求大长方体的表面积与两个小正方体
的表面积?



,.

B计算下列组合图形的表面积。






(2)截断:如图:把一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米 的长方体截成两个完全一样的长方体,
这两个长方体的表面积之和是多少平方厘米?


思维拓展:若使截成的两个长方体的表面积之和最大,应怎样截,此时两个小长方体的表面积 之
和是多少平方厘米?
同步练习:
A.拼接:用3个长6cm,宽5cm,高3c m的长方体木块,拼成一个如下图所示的长方体。这个长
方体的表面积是多少平方厘米?


4
5
6


5cm


4cm


拓展延伸:这三个相同的长方体怎样拼,拼成的长方体表面积最大?拼成的长方体表面积最小?


,.
B.截断:如图:大长方体的长为7.5厘米,宽为2厘米, 高为1厘米,算一算,把大长方体截成
相同的小长方体,原长方体共增加了多少表面积?



类型四:凹凸问题
1. 凹陷问题
计算方法:在顶点处凹陷,各个面平移后,原来的表面积不变。
在面的中间处凹陷,原来的表面积+凹陷处立体图形周围四个面的面积。
(1)在顶点处凹。
一个棱长为2cm的正方体,在它的一个角上挖掉一个棱长为1cm的小正方体,它的表面积是多
少cm²?



(2)在面的中间凹:
在一个长方体的中间挖去了一个棱长2cm的小正方体,求挖掉后图形的表面积.




2. 凸起问题
计算技巧:凸起时计算表面积,要把原来几个物体的表面积之和去掉两个重合面的面积。


,.
典型例题:有一个形状如图的零件,由一个长方体和一个正方体组合而成 。长方体的长和宽都是
2c
m
6cm,高是3cm,正方体的棱长是2cm。求这个零件的表面积。


6cm
3cm




6cm
类型五:折叠问题
解题技巧:
①折叠问题求长方体的表面积,可不需折叠后再求长方体的表面积。
②折叠问题求长方体的表面积,如果未指定面,则表面积和长方体的长、宽、高数值的顺序无关。
③可设定长、宽、高的数值顺序,再进行计算。
(1).一块长方形铁皮,长40cm,宽3 0cm,像下图这样从4个角各剪掉一个边长为5厘米的正方
形,然后做成盒子,这个盒子的表面积是多 少平方厘米?
40cm



解题技巧:
方法一:
盒子的长=长-2×正方形的边长
30cm


,.
盒子的宽=宽-2×正方形的边长
盒子的高=正方形的边长
盒子的表面积=盒子的长×盒子的宽+盒子的长×盒子的高×2+盒子的宽×盒子的宽×2
方法二:盒子的表面积=长方形的面积-正方形的面积×4
(2)小明从一个长方体纸盒上撕 下两个相邻的面(展开后如图,单位:厘米),这个纸盒的面积
是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。




6





5

3

解题技巧:本题尽管未给出长方体的 另6个面,但根据本题的条件,立起来的长度为高,数值为
6,标注“前”字的面中的“5”为长方体的 长,标注“右”字的面中的“3”为长方体的宽。




(3).学校大门前有5级台阶,每级台阶长6米,宽0.4米,高0.2米。给这些台阶上铺地砖,
至少需要铺多少平方米地砖?



,.







解题技巧:台阶铺瓷砖之处为盒子的长×盒子的宽×4+盒子的长×盒子的高×5
体积实际问题解决技巧:
①抓典型特征
A含有“立方米,立方分米,立方厘米,体 积是多少,能截多少块木块,能装沙子多少吨,能装
砂石多少方、铸造、锻造、水面升高、水面下降”等 关键词,一定是求体积的问题。
B
含有“最大容积是多少升、可乘水多少,能装多少水,能 装多少沙子,能装汽油多少升、净含量
是多少”,一般就是求容积的问题。
体积典型实际问题:
1. 直接计算体积.
(1)已知长、宽、高求长方体体积或已知正方体的棱长,求正方体的体积:
①早在夏朝,中国人就已经掌握了存储冰块的技术,一块棱长30cm 的正方体冰块,它的体积是
多少立方厘米?

一个长方体的无盖水族箱,长是6m,宽是60cm,高是1.5m,它的体积是多少?


,.




③建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑,一共要挖出多少方的土 ?(在工
程上,1m
3
的土、沙、石等均简称“1方”。)




④红星村要修一条长1800m,宽12m的公路,要先铺10cm厚的三合土, 再铺6cm后的沙石。
需要三合土、沙石各多少立方米?

⑤花园小区为居民新安装 了50个休息的凳子,凳面的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm.
凳腿的长、宽、高 分别是45cm、5cm、35cm.这些凳子一共至少用了混凝土多少方?






⑥长方体木块被平均分为4段,求每块木头的表面积是多少平方分米?

4.8dm
2dm
1dm


,.


2. 计算体积实际问题的变式练习.
(1)
求小正方体拼成的正方体或长方体的体积:

①每个小正方形棱长为1厘米,分别计算下列长方体的体积。



②.把2块棱长为1.5dm的正方休木块拼成一个长方体。这个长方体的体积是多少?




(2)已知长方体的底面正方形的边长,或底面积和高,或底面周长, 求正方
体或长方体的体积:

①已知底面正方形的边长和长方体的长:
一个 长方体纸盒,长7m,横截面是一个正方形,边长为5分米。
这个长方体纸盒表面积是多少?




②已知横截面的边长和长方体的长:有一根长0.5米的方木料,横截 面的边长为2厘米,这根方


,.
木,平放时占地面积有多大?体积是多少?

③已知横截面的面积和长方体的长:家具厂订购500根方木,每根方木横截面的面积是2. 4dm
2
,
长是3m。这些木料一共是多少方?


④已 知增加的横截面的总面积和长方体的长:一个底面是正方形的长方体木料,长是5米,把它
截成4段,表 面积增加36平方米,求长方体的体积?


⑤已知底面正方形的周长和长方体的长 :一个长方体底面为周长12厘米的正方形,高为3分米,
它的体积是多少?



(3)已知正方体的棱长和(或体积)和长方体的长、宽、高中的两个,求长
方体的 另一个数据及长方体的体积:
①一个长方体和一个正方体的楼长总和相等。已知正方体的棱长为7dm ,长方体的宽、高分别为
5dm.4dm,那么长方体的长是多少分米? 它们的体积相等吗?

②把一个棱长8dm铁块铸成一个长10dm,宽4dm的长方体,铸成的这个长方体铁块的 高是多
少分米?

(4)与体积有关的其他问题:


,.
①已知长方体的体积,长和宽,求长方体的高:
学校运来7.6m
3
的沙子,铺在一个长5m.宽38dm的沙坑里,可以铺多厚?



大体积分成小体积,求块数:
A儿童节前,全市的小学生代 表用楼长3cm的正方体塑料排插积术在广场中央搭起了一面长6m、
高2.7m、厚6cm的奥运心愿 墙。这面墙一共用了多少块积木?



B一个长6dm,宽4dm,高5dm的长方体盒子,最多能放多少块棱长为2dm的正方体木块?
③体积和物体尺寸大小的比较:
容积计算典型实际问题
(1)直接计算规则物体的容积:
①A一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体,棱长是6 dm。此容器最大容积是多少
升?



B一个木盒从外面和里面测量尺寸如下图,计算这个长方体的容积。

40cm
30cm
10cm
20cm
50cm


,.




②2块棱长是3dm的正方体木块刚好能够放是进一个长方体纸箱内,纸箱的容积是多少?

③A某健身馆计划新建一个游泳池,该游泳池的长是25m,宽12m,深1.4m. 如果游泳池全装
满水,能装多少升水?
B一长方体游冰池,长30米,宽10米,深1.6米 ,池的四壁和地面用瓷砖砌,如果雨季用来储水,最多
可乘多少水?
C5某辆汽车的油箱是长 方体,长0.8米,宽0.5米,高0.3米,这个油箱最多能装汽油多少升?
如果每100升汽油能行 驶7.5千米,这箱汽油最多能行驶多少千米?

④.一种牛奶的包装盒如图,它的净含量是否存在虚假?为什么?

牛奶
净含量
12cm

780ml



6.5cm



10cm
2.
计算不规则物体的体积。

① .一个长方体水箱,长8分米,宽5分米,水深4分米。把一个铁球浸没在水中,水面升高到6分米。这个


,.
铁球的体积是多少立方分米?






②A一个长5分米,宽2分米,高4分米的长方体水缸里注入了15厘米深的水。 将一块石头放入水中后,水
位上升到18厘米,这些石头的体积是多少dm3?



B一个正方体玻璃容器棱长2dm,向容器中到入6L水,再把一块石头放入水中。这时量得 容器内水深17 cm。
石头的体积是多少立方厘米?






,.








C.珊瑚石的体积是多少?








③下面中,大球的体积是多少?小球的体积是多少?





乐至县劳动镇粉笔W


,.









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