娱乐游戏节目-论文选题

第7练球的体积和表面积
※基础达标
1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）.
3:1
B.
3:2
C.
2:3
D.
3:3

2．设正方体的全面积为
24cm
2
，一个球内切 于该正方体，那么这个球的体积是（ ）.
3284
A.
6

cm
3
B. C.

cm
3
D.

cm
3


cm
3

333
3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接 于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球
与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（ ）.
(1)
A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的
C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2)是正确的
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶 点都在同一球面
上，则这个球的表面积是（ ）.
A.
A.
25

B.
50

C.
125

D. 都不对
5．一个圆锥与一个球 的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半
径之比为（ ）.
(3)
(2)
(4)
49427
B. C. D.

94274
6．若三个球的表面积之比是
1:2:3
，则它们的体积之比是 .
A.
7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为 ，体积
为 .
※能力提高
8．已知过球面上
A,B,C
三点的截面和球心的距离为 球半径的一半，且
ABBCCA2
，求球的表面积.











9．半球内有 一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体
棱长为
6
，求球的表面 积和体积.











※探究创新
C
A
O
O'
B
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10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲 之的儿子祖暅首
先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个 平行平面
的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两
个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖
暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.
试用祖暅原理推导球的体积公式.



球的体积和表面积



1～5 DDCBC； 6.
1:22:33
； 7.
12

cm
2
,43

cm
3
.
C
O
O'
B
2323
8. 解：设截面圆心为
O< br>
，连结
O

A
，设球半径为
R
，则
O

A
，
2
323
在
RtO

OA
中，
OA
2
O

A
2
O

O
2
，∴
R
2
(
2
A< br>23
2
1
2
4
)R
，∴
R
，
34
3
A
'
D
'
C
'
D
A
O
B
'
B
C
64
∴
S4
< br>R

.
9
9. 解：作轴截面如图所示，
CC

6
，
AC2623
，设球半径为
R
，
则
R
2
OC
2
CC

2
( 6)
2
(3)
2
9
，∴
R3
，
2
A
'
R
O
C
'
4
A
∴
S
球
4

R36

，
V
球
< br>
R
3
36

.
3
10. 解：我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察
V
圆锥
、
V
半球
、
V
圆柱
这三个量（等底等高）之间的不等关系，可 以发现
V
圆锥
<
V
半球
<
V
圆柱
，
C
12
即

R
3
V
半球
< br>
R
3
，根据这一不等关系，我们可以猜测
V
半球


R
3
，
33
并且由猜测可发现
V
半球< br>V
圆柱
V
圆锥
.
下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的
参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理
证明猜想.
证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面
和圆环面. 如果截 平面与平面α的距离为
l
，那么圆面半径
rR
2
l
2< br>，圆环面
的大圆半径为R，小圆半径为r.
因此
S
圆

r
2


(R
2
l
2
)
，
S
环


R
2


l
2


(R
2
l
2
)
， ∴
S
圆
S
环
.



12根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
V
半球


R2
R

R
2
R

R
3
，
33
4
所以
V
球


R
3
.
3
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