河北历年高考分数线-当我想你的时候歌词

空间几何体的表面积与体积
一、柱体、锥体、台体的表面积
A.多面体的表面积
1.多面体的表面积求法：求平面展开图的面积
注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.
2.直棱柱的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
Scl
（其中
c
为底面周长，
l
为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
（3）推论：
①正棱柱的侧面积：
S cl
（其中
c
为底面周长，
l
为侧棱长）.
②长方体的 表面积：
S2(abbcca)
.（其中
a,b,c
分别为长方体的长 宽高）
③正方体的表面积：
S6a
2
（
a
为正方体的棱长）.
3.斜棱柱侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：作出直截面（如图）；
注：这种处理方法蕴含着割补思想.
②公式：
Scl
（其中
c< br>为直截面周长，
l
为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
4.正棱锥的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
Sch

（其中
c
为底面周长，
h

为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋底面积.

5.正棱台的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S(cc

)h

（其中
c
、c

为底面周长，
h

为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：

正棱台侧面积公式：< br>S
1
(cc

)h



2

c

c

h

l

c

0



正棱柱侧面积公式：
Scl
正棱锥侧面积公式：
S
1
ch


2

B.旋转体的表面积
l

1
2
1
2
r

2

r

1.圆柱的侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S2

rl
（< br>r
为两底半径，
l
为母线长）；
（2）表面积：
S2

r(rl)
.
2.圆锥的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S

rl
；
（2）表面积：
S
r(rl)
（
r
为两底半径，
l
为母线长）. < br>事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为
2

r
，半径为圆锥母线
l
，故面积为
2

rl

rl
.
1
2
l

2

r

l

r

3.圆台的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S

(rR)l
；
事实上：圆台侧面展开图 为扇环，扇环的弧长分别为
2

r
、
2

R
，半径分别为
x
、
xl
，故圆台侧面积为
11xl
S 2

R(xl)2

rx

(Rr)x 

Rl
，∵
(Rr)xrl
，∴
S

(rR)l
.
22rRr
x
x

2

r


2

R

r


l

R
（2）表面积：

r
2


R
2


(rR)l
.（
r
、
R
分别为上、下底面半径，
l
为母线长）
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：

圆台侧面积公式：
S

(rR)l



r0

Rr


圆锥侧面积公式：
S

Rl
1
cl

圆柱侧面积公式：
S2

rlcl


2

二、柱体、锥体、台体的体积
A.棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱体积公式：
VSh
（
h
为高，
S
为底面面积）；
1
2.棱锥体积公式：
VSh
（
h
为高，
S为底面面积）；
3
1
3.棱台体积公式：
V
棱台
( S
1
S
1
S
2
S
2
)h
（
h
为高，
S
1
、
S
2
分别为两底面面积） .
3
事实上，设小棱锥高为
x
，则大棱锥高为
xh
.于 是
VS
2
(xh)S
1
xS
2
h(S< br>2
S
1
)x
.
x
1
3
1
3
1
3
1
3
∵
S
1
S
1
xx
(S
2
S
1
)xS
1
h
，
xhh
S
2
S
2
S
1
S
1


S
2
h


∴
VS< br>2
h(S
2
S
1
)(S
2
S
1
)xS
2
h(S
2
S
1
)S
1< br>h(S
1
S
1
S
2
S
2
)h
.
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：
圆台侧面积公式：
V< br>棱台

1
(S
1
S
1
S
2
S
2
)h

3
S
1
S
2
S

S
1
0

S
2
S

B.圆柱、圆锥、圆台的体积
1.圆柱的体积：
V

r
2
h
（
h
为高，
r
为底面半径）.
1
2 .圆锥的体积：
V

R
2
h
（
h
为高，
R
为底面半径）.
3
1
3.圆台的体积：
V

(r
2
rRR
2
)h
（
r
、
R
分别为上、下底半径，
h
为高）.
3
事实上，设小圆锥高为x
，则大圆锥高为
xh
（如图）.
1111
于是
V 

R
2
(xh)

r
2
h

(Rr)(Rr)x

R
2
h
.
3333
x
h


r


l

R
∵
xrxr111
(Rr)xrh，∴
V

(Rr)rh

R
2
h
(r
2
rRR
2
)h
.
xhRhRr333
4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：

圆台体积公式：
V
1

(rrRR)h

3


Rr

r0


圆锥体积公式：
V
1

Rh

圆柱体积公式：
V

rh


3

22
2
2
三、球的体积与表面积
4
1.球的体积
V

R
3
.
3
2.球的表面积
S4

R
2
.

四、题型示例

A.直用公式求面积、求体积
例1 （1）一个正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；
侧面积：120；表面积：120+
120+83
；体积
403
.
（2）一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积、< br>表面积和体积；
侧面积：
600

；表面积：
1100
；体积：
70003

.

3
（3）已知球的表面积是
64

，求它的体积.
结果：
256

.

3
（4）在长方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中，用截面截下一个棱 锥
CA
1
DD
1
，求棱锥
CA
1
DD
1
的体积与
剩余部分的体积之比.
结果
1:5
.

练习：

1.已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30
，求正四棱锥的侧面积和表面
积.
结果：
32cm
，
48cm
.

2.已知平行四边形
ABCD
中，
AB8
，
AD6
，
DAB60，以
AB
为轴旋转一周，得旋转体.
求旋转体的表面积.
结果：
843

.

3.正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则沿面对角线< br>AC
、
AB
1
、
CB
1
截得的三棱锥
BACB
1
的
22
体积为 C
1
11
A. B. C. D.1
2
36
4.已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm、8cm，求 它的侧面积和体积.
结果：侧面积：
4815cm
3
；体积：
2 2414
3
cm
.

3
5.正四棱锥
SABCD
各侧面均为正三角形，侧棱长为5，求它的侧面积、表面积和体积.
结果：侧面积：
253
；表面积：
25(13)
；体积：
1252
.
6
2
3
6.若正方体的棱长为
2
，则以该正方体各个面的中心为顶点的 凸多面体的体积为 .


B.根据三视图求面积、体积
例3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
2

23
B.
4

23


C.
2


结果：C.
2
2
正（主）视图

2
2
2
2
侧（左）视图
2323
D.
4



33



练习：
1.一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱柱的三视图
如图所示，则这个棱柱的体积为 .
结果：
363
.
俯视图
4
33

正视图
侧视图



2.下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果
直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为
A.1 B.
11
C. D.
36
答案：C.
俯视图
1
2
正视图 侧视图
俯视图

3.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，该几何体的体积是
A.
222

B.


3
3
43


3
2
4
10 10
正视图
侧视图
C.

D.
答案：A.

俯视图
4.已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，
计算该组合体的体积.
提示：该组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部
也是一个圆柱.
结果：
176

.
3
2
4
1
正视图
1
侧视图




5.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表
面积是 D
A.
9

B.
10

C.
11

D.
12



C.几何体表面上最短距离问题
例 三棱锥
PABC
的侧棱长均为1， 且侧棱间的夹角都是
40

，动
2
俯视图
点
M
在
PB
上移动，动点
N
在
PC
上移动，求
AMMNNA
的最小值.
结果：
3
.

D.与球有关的组合问题
例1（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
结果:
27

.

（2）若一个球内切于棱长为3的正方体，则该球的体积为 .
结果:
9

.

2
例2 有一个倒圆锥形容器，它的轴截 面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并
注入水，使球浸没在水中并使水面正好与球相切， 然后将球取出，求这时容器中水的深度.
结果：
15r
.

变式训练：
1.长方体
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
AB3
，
AD4
，
AA
1
5
，则其外接球的体积为 .
3
2.求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.
注：棱长为的正四面体中常用数据：
（1）高：
666
a
，中心到 顶点距离：
a
，中心到面距离：
a
，中心到顶点距离：中心到面的距离=3： 1.
3412
2
3
2
a
.（3）对棱距离：
a< br>.
122
（2）全面积：
3a
2
，体积：
（4）棱 面角：
aaiccos
3
622
1
或
aicsin
，面面角：
aiccos
或
aicsin
.
3
33
3

E.几个重要结论的补充及应用
结论1 锥体平行截面性质
锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面 积比，等于两锥全面积面积比，
等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的 平方.
结论2 若圆锥母线长为
l
，底面半径为
r
，侧面展开 图扇形圆心角为

，则


2

r
.
l
结论3 若圆台母线长为
l
，上、下底面半径分别为
r
、
R
，侧面展开图扇环圆心角为

，则

2


Rr
.
l
2

rxrxrrl
.∵，
x
xxlRlRrRr


证明：设小圆锥母线长 为
x
，则有
x

2

r


2

r2

r(Rr)Rr
.
2


xrll
∴


应用
1.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为 B
A.
120

B.
180

C.
240

D.
300


2.一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.
解：设圆锥底面半径为
r
，圆锥母线长为
l
，则扇形弧长为
2

r200

.
3
103203
2

l
，∴
l2r
.在
Rt△SOA
中，
l
2
r2
10
2
，有此得
r
，
l
.
3 3
2
∴圆锥侧面积为
S

rl
3.露露从纸上剪下一个 圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆
的半径为1．扇形的圆心角等于 120°，则此扇形的半径为 C
1
A.
3
B.
6
C.3 D.6
4.圆台的上、下底 面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是
180
，那么
圆 台的表面积是多少？
结果：
1100

cm
2
.
5.圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为
240

，则圆锥体积为 C
A.
22


81
B.
8


81
C.
45


81
D.
10


81
6.若圆锥的侧面展开图是圆心角为
12 0

、半径为
l
的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是
A.
3:2
B.
2:1
C.
4:3
D.
5:3

结果：C.
F.空间几何体体积求法例析
A.公式法
例1 四棱锥
PABCD
的顶点
P
在底面中的射影恰好是
A
，
其三视图如图，则四棱锥
PABCD
的体积为 .
解：根 据三视图可已将四棱锥
PABCD
的底面是边长为
a
的正方形，高为
a
，
P
a


利用锥体体积公式
V
P ABCD
a
2
aa
3
.
点评：1.计算几何体体积需要区别锥体、柱体、台体、
球体.它们的体积各自有不同的特征，注意准确运用体积公式.
A
D

C
1
3
1
3
主视图
a

侧视图

俯视图
a


B

2 .如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，高平齐”分别求出几何体的底面积和高，直接计算体积即可，若几何 体比较复杂或涉及
面积等计算时，则需复原几何体（本几何体复原后的图形如图）.
例2 一个几何体的俯视图是一个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们水平放置时（一边
在水平位置上）， 它们的斜二测直观图是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为 .
解：斜二 测画法原则是“横长不变纵减半”.据此，正视图的长可能是6或4，高是8或12，而且是矩形.可见该几何体 是圆柱体，底
面直径可能是6或4，高是8或12.根据圆柱体体积公式，
V
3
2
872

或
V

2
2
1248

.∴该几何体体积为
72

或
48

.
例3 用一块长3m，宽2m的矩形木板，在墙面互相垂直的墙角处，围出一 个直三棱柱形谷仓，
在下面的四种设计中，容积最大的是 A



3
3 2
2

45

30

30

45





解：略.
3 2
3
2
A B C A
B.分割法

例4 已知一个多面体的表面积为36，它的内切球的半径为2，求该多面体的体积.
解：设多面体有
n
个面，每个面的面积分别为
S
1
,S
2
,,S< br>n
，则
S
1
S
2
S
n
36
.∵多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于
球的半径
R
，运 用分割法，以内切球球心为顶点，多面体的每个面为底面，将多面体分割成
n
个棱锥，于是多面 体的体积等于这个棱锥的
体积和，即
11111
VS
1
RS< br>1
RS
1
RR(S
1
S
2
 S
n
)36224
.
33333
例5 如图3 ，在多面体
ABCDEF
中，已知面
ABCD
是边长为3的正方形，
EFAB
，
EF
EF
与
AC
面的距离为2，则该多面体的 体积为 .
解：取
AB
、
CD
边的中点
M
、
N
，将多
面体分割成斜三棱柱和四棱锥，
利用三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，
115

313
不难求得多面体积：
V

. < br>
32

2

2

2322
A
E
3
，
2

D

F

C
E

D

F


B
C

A
N


B

M


点评：本题中的几何体是不规则的，设法将几何体分割（或补）成规则 的常见的几何体，是解题的关键，由于
EFAB
，并没有说明
ADE
的确切位 置，因此可以将其位置特殊化，从而得到直三棱柱
ADBMNF
和四棱锥
FMNC B
，这是本题解法一个巧妙之处.

C.补形法
例6 已知三棱柱的一个侧面面积为
S
，相对的棱距离该侧面的
1
距离是
h
，求证：该三棱柱的体积是
VSh
.
2
S
，侧棱
CC
1
到该侧面的距离为
h
. 证明：设三棱柱
ABCA
1
BC
11
的侧面
ABB
1
A
1
的面积为
C

A
C
1

D

D
1


B
A
1

B
1


以三棱柱的侧面
ABB
1
A1
为底面，将三棱柱补形得到四棱柱，如图.则四棱柱的高恰等于
h
.四棱 柱的体积为
VSh
，它的一半，即为三棱柱的体积
VSh
.∴三棱柱 的体积为
VSh
.
点评：本体的结论可以作为结论用.
1
2
1
2
例7 已知
PA
、
PB
、
PC
两两互相垂直，且
△PAB
、
△PAC
、
△PBC
的面积分别为
1.5cm
2
，

2
c m
2
，6
cm
2
，则过
P
、
A
、
B
、
C
四点的外接球的体积为
cm
2
.
解：
PA
、
PB
、
P C
两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为一个长方体，长方体的对角线是外接球的直径.设三条棱长 分别为
x,y,z
，
则
xy3
，
xz4
，yz12
，解得
xyz12
，
x1
，
y3，
z4
.从而
(2r)
2
1
2
3
2
4
2
，
4r
2
26
，
r
44

26

1326

.
3
26
.
2
3
∴
V

r3




r
33

2

点评：对于三条棱两两互相垂直或者3个侧面两两互相垂直的三棱柱以及正四面体或对棱分别相等的 三棱锥，都可以补形成为长方体
或者正方体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长方体或正方体 的体对角线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.

A
1


D.特殊化法
例8 如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
体积为
V
，点
P
、
Q
分别在 侧
棱
AA
1
、
DD
1
上，
APD1
Q
，则四棱锥
BAPQD
的体积为 .
解：将 条件
APDQ
特殊化，使得
P
和
A
1
重合，Q
和
D
重合，四棱锥
BAPQD
就
1
变成 三棱锥
BADA
1
，它和直三棱柱等底等高，∴四棱锥
BAPQD
的体积等于
S
△ABD
hV
.

1
3
1
3
P

B
1
D
1



D

Q
A

B


E.等体积转化（变换角度）
例9 如图，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，如果分别过
BC
、
A
1
D
1
的2个平行平面将长方体分成
体积相等的3部分，那么
C
1
N< br>
.
ND
1
A
1
D
1

N

B
1
H
解：将长方体站立放置，从而更容易观察到相关 的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、
直三棱柱.∵长方体被分成体积相等的三部分，即
V< br>DHDAGA
V
DNCHAMBG
V
NCCMBB
.由于
111111


C
1
M

D

G


C
它们的等高且等体积，∴底面积也相 等，就是说
S
△AGA
S
△AMBG
S
△MBB
，
111
A

B
即
CN
1
AGAA
1
GBAA
1
，∴
AG2GB
，∴
1
2
.
ND
1
2

D
1

A
1
E
例10 如图，已知
E
、
F
分别 是棱长为
a
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的
棱
AA
1
、
CC
1
的中点，求三棱锥
C
1
B
1
EF
的体积. 解：
V
CBEF
V
EBFC
1111
C
1

B
1



D


F
C


11
S
△B
1
C1
F
ABa
3
.
312
A
B

点评：在三棱锥求体积问题中，变换角度就是换顶点、换底面，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略 之一，它的基本依据是变换
前后等体积.转换的标准是相应的底面和高是否容易求解.显然本题直接按照 题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高.
练习：
1.正六棱锥
P ABCDEF
中，
G
为
PB
的中点，则三棱锥
DGAC< br>与三棱锥
PGAC
体积之比为
C
A.
1:1
B.
1:2
C.
2:1
D.
3:2


2.如图，在多面体
ABCDEF
中，已知
ABCD
是边长为1的正
方形，且
△ADE
、
△BCF
均为正三角形，
EFAB，
EF2
，
则该多面体的体积为 A
A.

3
23
4
B.C. D.
2
3
3

3

3.某几何体的三视图如 下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是B


10
20





A.
10
20
正视图
20
侧视图
20
俯视图
40008000
cm
3
B.
cm
3
C.
2000cm
3
D.
4000cm
3

33

4.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 A
3
4
3
4
A.
48122
B.
48242
C.
36122
D.
36242






5.若正方体外接球的体积是
A.
22
B.
选D
6
正视图
6
侧视图
6
3
6
俯视图
32
，则正方体的棱长为
3
234243
C. D. < br>333
AD
两两垂直，
AB
，7.如图，已知多面体
ABC DEFG
，平面
ABC
平面
DEFG
，平面
BEF
AC
，
平面
ADGC
，
ABADDG2
，
A CEF1
，则该多面体的体积为
A.2 B.4 C.6 D.8

9.一个长方体的某3个面的面积分别是
2
，
3
，
6
.则这个长方体的体积是 .
10. 设等边三角形
△ABC
的边长为
a
，
P
是
△ABC
内的任意一点，且
P
到三边
AB
，
BC
，
CA
的
3
；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四
2
面体ABCD
的棱长为
a
，
P
是正四面体
ABCD
内的任意一点，且
P
到四个面的距离分别为
d
1
，
d
2
，
d
3
，
距离分别为
d
1
，
d
2
，
d
3
，则有
d
1
d
2< br>d
3
为定值
d
4
，则有
d
1
d
2
d
3
d
4
为定值是 .
结果：
6
.
3
11.某球的外切圆台上下底面半径分别为
r
，
R
，则该球的体积是 .

12.在三棱锥
ABCD
中，
ABCD6
，
ACBDADBC5
，则 该三棱锥的外接球的表面
积为 .
解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等， 因此可将该三棱锥补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别为
a,b,c
，且其外接球的
a
2
b
2
6
2
,

半 径为
R
，则

b
2
c
2
5
2
,
，得
a
2
b
2
c
2
43
，即
(2R)
2
a
2
b
2
c
2
43
.

c
2
a
2
5
2

∴三棱锥外接球的表面积为
S4

R
2
 43

.

13.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则球的体积是 .
结果：
86

.


11.体积为
8
的一个正方体，其全面积与球
O
的表面积相等，则球
O
的体积等于 .
结
果：
86


.
3
.
14.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则
a
_____.
结果：

1

1
3
正视图
俯视图
2
侧视图

15.三棱锥的顶点为
P
，
PA< br>，
PB
，
PC
为三条侧棱，
PA
，
PB，
PC
两两互相垂直，又
PA2
，
PB3
，
PC4
，则三棱锥
PABC
的体积为_____.
结果：4.


14.半径为
R
的球的外切圆柱的表面积为 ，体积为 .
结果：
6

R
；
2

R
.
23
16.直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1< br>的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
，
B AC120

，则此
球的表面积等于 .
结果：
20

.
17.三个球的半径
R
1,R
2
,R
3
，满足
R
1
2R
2< br>3R
3
，则它们的表面积
S
1
,S
2
,S
3
，满足的关系是 .
结果：
S
1
2S
2
3S
3
.

18.如图，已知底面半径为
r
的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长
的最大值为
a
，最小值为
b
，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
解：补形（如图），结果：

r(ab)
2
2
b

a

r

.
ab



b

r

19.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示. 墩的上半部分是正四棱锥
PEFGH
，下
半部分是长方体
ABCDEFG H
.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧视图；
P
（2）求该安全标识墩的体积.
结果：（1）与正视图一样；（2）
64000cm
3
.